直線與圓錐曲線綜合解題方法的幾點(diǎn)探討

許光安

摘 要：圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容，它體現(xiàn)了解析方法和代數(shù)方法在刻畫平面曲線方面的強(qiáng)大作用，然而，這部分內(nèi)容對學(xué)生各方面能力要求較高，學(xué)生懼怕綜合題和繁雜計算，本文就從解決此類問題，著重介紹了涉及直線與圓錐曲線綜合題的解題方法及策略。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線 直線 交點(diǎn) 中點(diǎn)弦 定值

圓錐曲線綜合題在高考中多以難題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定、弦長、最值問題等，突出考查數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等思想方法，要求考生分析和解決問題及計算能力較高，有利于選拔的功能。因此，許多學(xué)生對做此題心存余悸，不敢輕易下筆，甚至完全放棄，師生深感遺憾，為了讓自己在教學(xué)中這種被動的局面有所扭轉(zhuǎn)，更好的把握住圓錐曲線的相關(guān)問題，結(jié)合自己多年的教學(xué)實踐，從以下幾個方面進(jìn)行了探討：

一、直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問題的探討：

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可通過對直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，將直線L的方程Ax+By+C=0（A、B不同時為0）代入圓錐曲線C的方程f（x，y）=0，消去y（或x）得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，如消去y后，得ax+bx+c=0（1）若a=0，當(dāng)曲線是雙曲線時，直線L與雙曲線的漸近線平行與圓錐曲線只有一個交點(diǎn)，當(dāng)直線L與雙曲線的漸近線重合時，無交點(diǎn)；當(dāng)曲線是拋物線時，直線L與拋物線對稱軸平行（重合），此時直線L與拋物線只有一個交點(diǎn)。（2）若a0， =b2-4ac，①>0時，直線與圓錐曲線有兩個交點(diǎn)；②=0時，直線與圓錐曲線只有一個交點(diǎn)；③<0時，直線與圓錐曲線沒有交點(diǎn)。只有一個公共點(diǎn)時，未必相切，如拋物線與平行（重合）于其對稱軸的直線，只有一個公共點(diǎn)，但不相切，而是相交。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，分析時注重函數(shù)、方程、判別式法、代點(diǎn)法、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)方法的培養(yǎng)。

橢圓、雙曲線、拋物線是三種外型上差異很大的幾何圖形，本質(zhì)上卻有統(tǒng)一的背景和定義，都是平面截圓錐得到的截口曲線；都是平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離和到一條定直線距離的比值是一個常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，比值不同就形成了不同的曲線.直線與圓錐曲線綜合問題是充分反映代數(shù)與幾何不可分割關(guān)系的一個非常好的素材。

參考文獻(xiàn)

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[3]劉少偉；圓錐曲線的教學(xué)探討；《西南師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）》；2014年10期。endprint