小學(xué)數(shù)學(xué)“模型思想”中“核心素養(yǎng)”解讀

編者按：本刊組織編輯于2018年4月赴河北邢臺，對該市的教育教學(xué)情況進行了調(diào)研并深入到英華小學(xué)等實地考查和座談，看到了他們數(shù)學(xué)教研方面取得的成效。鑒于此，本刊特約小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專家、冀教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的主要編者之一、原邢臺市教育局教研室副主任馬增福老師，就小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“核心素養(yǎng)”的內(nèi)容與教學(xué)實踐進行解讀和總結(jié)。從2018年19/22期開始，我們將連續(xù)刊出馬增福老師的文章，以供廣大教師借鑒，以期能引起大家對“核心素養(yǎng)”的進一步思考。

摘 要：在教學(xué)中培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就需要教師堅持以讀懂《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的理念為指向；以理解把握教材為重點；以改變課堂教學(xué)方法為手段，結(jié)合人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，簡析教材中“模型思想”部分內(nèi)容中“核心素養(yǎng)”的體現(xiàn)及其教學(xué)實踐。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)；教學(xué)實踐；模型思想

中圖分類號：G623.5 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-010X（2018）31-0004-08

模型思想是2011版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱《課標(biāo)》）新增加的核心概念。所謂數(shù)學(xué)模型，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形象化的數(shù)學(xué)語言，去抽象、概括地表述所研究對象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。小學(xué)數(shù)學(xué)模型一般是實際事物的一種數(shù)學(xué)簡化。在小學(xué)，數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、公式、法則、定律、規(guī)律、數(shù)量關(guān)系、圖表、程序等都是數(shù)學(xué)模型?！皵?shù)學(xué)模型”的主要模型形式是數(shù)學(xué)符號表達和圖表，因而它與符號思想有很多相似之處。如，模型思想與符號化思想都是經(jīng)過抽象后用符號或圖表表達數(shù)量關(guān)系和空間形式。而不同之處在于，模型思想更加注重如何經(jīng)過分析抽象建立模型，更加重視如何應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決練習(xí)、生活應(yīng)用和科學(xué)研究中的各種問題。這也是落實《課標(biāo)》中“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”的重要方面。小學(xué)模型思想的教學(xué)過程應(yīng)以“問題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用與擴展”的模式展開。問題情境：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題。這說明發(fā)現(xiàn)問題和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點，也是《課標(biāo)》“兩能變四能”的原因之一。建立模型：“用數(shù)學(xué)符號表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律和空間形式”。這一步，主要是通過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等數(shù)學(xué)活動，完成模式抽象得到模型。這是建模最重要的一個環(huán)節(jié)。解釋、應(yīng)用與擴展：通過模型去求出結(jié)果，并用此結(jié)果去解釋、討論它在現(xiàn)實問題中的意義。小學(xué)生模型思想的形成是多方位的，應(yīng)該蘊涵于“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”等教學(xué)內(nèi)容之中，并與數(shù)感、符號感、空間觀念、推理能力等緊密結(jié)合。

一、教材中“模型思想”內(nèi)容簡析

（一）數(shù)與代數(shù)

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域涉及到的概念、性質(zhì)、法則、定律、數(shù)量關(guān)系、程序、方程等很多內(nèi)容。而這些內(nèi)容都與數(shù)學(xué)模型聯(lián)系密切。

1. 概念

如整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)的概念，以及由數(shù)概念派生出的數(shù)的讀、寫方法，大小比較方法等。而這些內(nèi)容的模型（符號）建構(gòu)，都經(jīng)歷了“問題情境——建立模型——應(yīng)用與擴展”的過程。如：

整數(shù)概念模型的建立、應(yīng)用與擴展。無論是10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識、20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識、100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識、萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識、億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識還是億以上大數(shù)的認(rèn)識，首先經(jīng)歷了從現(xiàn)實生活或具體情境中發(fā)現(xiàn)需要用數(shù)來表示事物的順序或事物多少的問題，提出用數(shù)字（符號）來表示的過程。然后分析“數(shù)”表示的模式，即數(shù)字在不同的數(shù)位上表示的意義分別是什么，通過分析、概括抽象出“數(shù)”的表示模型，即某一個數(shù)位上是幾就表示幾個這樣的計數(shù)單位，同一個數(shù)字在不同的數(shù)位上表示的意義不同。如5在個位上表示5個一，在十位上表示5個十……在千億位上表示5個千億等，這樣就完成了用數(shù)表示具體量的模型建構(gòu)。最后通過模型與外部產(chǎn)生聯(lián)系，用數(shù)表示生活、生產(chǎn)中的事物的數(shù)量等。如一排學(xué)生一共有7人，最后一個人是第7人；我們班有學(xué)生48人，全校有學(xué)生1890人……某企業(yè)2017年的生產(chǎn)利潤用數(shù)量表示是3750萬元等。

數(shù)的讀法。數(shù)的讀法是結(jié)合具體情境抽象出如何讀數(shù)模型的。如百以內(nèi)數(shù)的讀法，結(jié)合小棒圖，認(rèn)識10個一是1個十，10個十是一百；10的數(shù)字“1”在十位上，讀作一十；70的數(shù)字“7”在十位上讀作七十； 23的數(shù)字“2”在十位上，數(shù)字“3”在個位上，讀作二十三……100的數(shù)字“1”在百位上，讀作一百；個位上或十位、個位上連續(xù)的0都不讀。分析讀數(shù)模式，十位上是1讀一十，十位上是2讀二十……個位上是幾就讀幾（10以內(nèi)數(shù)讀法遷移），個位上是0不讀。抽象概括讀數(shù)模型：十位上是幾就讀幾個十，個位上是幾就讀幾，個位上或十位、個位連續(xù)是0時都不讀。最后，通過運用模型練習(xí)數(shù)出或讀出生活中各種事物的數(shù)量。百以內(nèi)讀數(shù)模型遷移到萬以內(nèi)數(shù)讀數(shù)的過程，首先是遷移到千以內(nèi)數(shù)，遷移的方法是結(jié)合實物或點子圖，理解哪一位上是幾就讀幾個這樣的計數(shù)單位。如728讀作七百二十八。數(shù)字中間十位上是0的讀數(shù)方法，是在學(xué)生“從一百起，一個一個地數(shù)到一百二十……”，在數(shù)的過程中，初步知道百位和個位都有數(shù)字，十位上是0，這兩個數(shù)字中間的0要讀出來。然后遷移到萬以內(nèi)數(shù)的讀數(shù)，例7結(jié)合計算器先認(rèn)識四位數(shù)的讀數(shù)模式，最高位是千位，從千位讀起，每個數(shù)位上是幾就讀幾個這樣的計數(shù)單位，如3475讀作三千四百七十五；2080讀作二千零八十……，然后抽象出萬以內(nèi)數(shù)的讀數(shù)方法，建立模型。即從高位讀起，哪一位上是幾就讀幾個這樣的計數(shù)單位，中間有一個或兩個0，只讀一個“零”，末尾不管有幾個0都不讀。最后，運用讀數(shù)模型讀出指定的數(shù)或生活中的數(shù)量，掌握讀數(shù)方法。萬以內(nèi)數(shù)的讀數(shù)方法遷移到億以內(nèi)數(shù)的讀數(shù)時，教材是結(jié)合“數(shù)位順序表”呈現(xiàn)的，學(xué)生嘗試讀數(shù)時會出現(xiàn)如24960000讀作二千萬四百萬九十萬六萬的情況，這是萬以內(nèi)數(shù)讀法的正遷移，應(yīng)肯定這種讀法是正確的。然后通過比較“二千萬四百萬九十萬六萬”與“二千四百九十六萬”，哪種讀法簡便，知道萬級數(shù)的讀法模式，按級數(shù)的讀法來讀，在萬級的末尾加個“萬”字比較簡便。接著，學(xué)生以填空形式歸納總結(jié)出含有兩級的數(shù)怎么讀。之后，運算模型通過“做一做”掌握含有兩級數(shù)的讀法。億以上數(shù)的讀法，由學(xué)生自主嘗試，按“含有兩級數(shù)的讀法”來研究含有三級的數(shù)怎樣讀，歸納總結(jié)出多位數(shù)讀數(shù)模型，即：先分級，再從最高級讀起，讀完億級或萬級的數(shù)，要加“億”字或“萬”字，每一級中間不管有一個或兩個0都只讀一個“零”，每一級末尾不管有幾個0，都不讀。在學(xué)生掌握讀數(shù)方法后，應(yīng)強化學(xué)生讀數(shù)應(yīng)用練習(xí)。

數(shù)的大小比。數(shù)的大小比較模型是在一年級上冊建構(gòu)的。教材從具體情境中事物的比多、比少引入，發(fā)現(xiàn)問題。即猴子與香蕉比多少，一個猴子對一個香蕉，3個猴子與2個香蕉比多1個，也就是猴子多，香蕉少；猴子與梨比，3個猴子與4個梨比少1個，也就是猴子少，梨多。這種比多少的方法（模式）雖然直觀、清楚，但很麻煩。然后通過分析3只猴子與2個香蕉數(shù)的大?。ㄕJ(rèn)識了2添上1是3），得出3大于2。將事物數(shù)量的比較多少轉(zhuǎn)化為數(shù)的大小比較。介紹符號表達模式：為了書寫簡便、表達方便，把“大于”兩個字用“>”符號表示，把“小于”兩個字用“<”符號表示。因為3大于2，可以寫作“3>2”；3小于4可以寫作“3<4”。3大于2，也可以說是2小于3，所以可以寫成“2<3”。抽象模型：在比較數(shù)的大小書寫時，把大數(shù)寫在“開口”一邊，小數(shù)寫在“尖角”的一邊，如果大數(shù)寫在符號左邊，小數(shù)寫在右邊，用“>”連接；如果大數(shù)寫在符號右邊，小數(shù)寫在左邊，用“<”連接。模型應(yīng)用：通過“做一做”練習(xí)題掌握數(shù)大小比較方法。模型拓展：隨著學(xué)生學(xué)習(xí)知識的深入和生活經(jīng)驗的豐富，數(shù)的大小比較模型在學(xué)習(xí)方面將拓展到多位數(shù)的大小比較、小數(shù)的大小比較、分?jǐn)?shù)的大小比較以及幾個數(shù)的大小比較并排序，只是比較方法在變，模型不變。在生活中將應(yīng)用模型進行分析、判斷和定論。如二年級下冊學(xué)習(xí)了萬以內(nèi)數(shù)的大小比較后可以解決這方面的問題：李伯伯家和王叔叔家去年種了同樣大的一塊小麥田，李伯伯家收小麥1350千克，王叔叔家收小麥1420千克。誰家的收成好一些？在學(xué)習(xí)了速度、時間和路程的數(shù)量關(guān)系后，可判斷這樣的問題：甲、乙兩輛小汽車同時從縣城開往省城，到達省城時甲車用了120鐘，乙車用了90分鐘。哪輛汽車的速度快一些？

2.性質(zhì)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中主要性質(zhì)有減法的性質(zhì)、除法的性質(zhì)、小數(shù)的基本性質(zhì)、商不變的基本性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)和等式的基本性質(zhì)等。

減法的性質(zhì)。四年級下冊“加法運算定律”例4是減法的性質(zhì)。教材以情境加問題方式呈現(xiàn)：一本書共234頁，一位叔叔昨天看到第66頁，今天又看了34頁，還剩下多少頁？可以讓學(xué)生試完成。教材呈現(xiàn)了學(xué)生交流的三種解題模式。首先理解算理，重點使學(xué)生明確“234-66-34”和“234-（66+34）”列式的道理，每一步算的是什么？然后觀察三位同學(xué)都是怎樣算的，認(rèn)為哪種計算簡便？之后由三種計算模式結(jié)果相等，推出兩個等式，即：①234-66-34=234-（66+34）；②234-66-34=234-34-66。觀察兩個等式，抽象數(shù)學(xué)模型。由等式①可以發(fā)現(xiàn)：一個數(shù)連續(xù)減去兩個數(shù)，等于減去這兩個數(shù)的和。由等式②可以發(fā)現(xiàn)：一個數(shù)連續(xù)減去兩個數(shù)，交換減數(shù)的位置差不變。驗證：可以讓學(xué)生自主舉例檢驗減法性質(zhì)的正確性。驗證無誤后抽象出減法性質(zhì)字母表達式，即：a-b-c=a-（b+c）；a-b-c=a-c-b。應(yīng)用：完成“做一做”練習(xí)題及解決生活中的實際問題。擴展：一個數(shù)連續(xù)減去幾個數(shù)等于減去這幾個數(shù)的和。

3.數(shù)量關(guān)系

教材在四年級上冊安排了“單價×數(shù)量=總價”和“速度×?xí)r間=路程”常見的數(shù)量關(guān)系。教材中涉及到的數(shù)量關(guān)系還很多，如：工作效率×工作時間=工作總量、每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)、利潤=出售價-成本、利息=本金×利率×?xí)r間、奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)、奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)、總數(shù)÷總份數(shù)=平均數(shù)等，另外，加、減、乘、除各部分之間關(guān)系、計量單位的換算等內(nèi)容也都是數(shù)量關(guān)系的內(nèi)容，這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)都是結(jié)合相應(yīng)內(nèi)容安排的。

速度、時間和路程之間的關(guān)系。教材呈現(xiàn)了兩個問題并要求學(xué)生自己解答。（1）一輛汽車每小時行70千米，4小時行多少千米？（2）一人騎自行車每分鐘行225米，10分鐘行多少米？學(xué)生能輕松解答。完成解答后，觀察、分析并交流“這兩個問題有什么共同點？”發(fā)現(xiàn)情境與問題模式，都是知道每小時或每分鐘行的路程，還知道行了幾小時或幾分鐘，求的問題都是一共行了多少路程。在此基礎(chǔ)上，介紹“路程、速度和時間”的名稱，并將上面兩問題中的數(shù)量、問題與名詞建立聯(lián)系，如每小時行70千米是這輛汽車的速度。之后將模式抽象成模型，即速度×?xí)r間=路程。應(yīng)用：解決“做一做”中的問題及生活中求路程的現(xiàn)實問題。擴展：四年級下冊學(xué)習(xí)“乘、除法各部分之間關(guān)系”后，推出“路程÷速度=時間”和“路程÷時間=速度”；學(xué)習(xí)“相遇問題”后，推出“速度和×相遇時間=總路程”；六年級學(xué)習(xí)反比例后推出反比例模型“兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的乘積一定，這兩種量叫做成反比例的量，這兩個變量之間的關(guān)系叫做反比例關(guān)系”；字母關(guān)系式模型是“xy =K”。圖像模型如圖：

4.程序

程序是指事情進行的前后次序。如：計算方法、四則運算的估算方法、四則混合運算的運算順序、求近似數(shù)的方法、解決問題的一般步驟、單位之間換算的思維方法等。

四則混合運算中有括號的混合運算順序。教材在四年級下冊“四則運算”中安排了認(rèn)識中括號的內(nèi)容。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩級四則混合運算和含有小括號的四則混合運算。例4（1），總結(jié)學(xué)過的四則混合運算的運算順序，通過添加小括號，進一步明確小括號的作用是改變運算順序。在含有小括號的算式里，要先算小括號里面的，再算括號外面的；小括號外面按照先算乘、除法，再算加、減法的順序進行。（2）在96÷（12+4）×2基礎(chǔ)上加上中括號“[ ]”，變成另一個算式96÷[（12+4）×2]，提出“運算順序是怎樣？”的問題。這里不需要學(xué)生探索，教師可以直接說明：一個算式里既有小括號又有中括號，要先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的。讓學(xué)生運算這一模型完成（2）的計算。應(yīng)用：通過“做一做”進一步掌握小括號里含有兩級運算和含有小括號、中括號的運算順序。

（二）圖形與幾何

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“圖形與幾何”領(lǐng)域涉及到圖形的概念、特性、性質(zhì)、公式、數(shù)量關(guān)系、操作程序等很多內(nèi)容。這些內(nèi)容也都與數(shù)學(xué)模型聯(lián)系密切。

1.概念

無論哪一種圖形概念的建立，小學(xué)階段都依賴具體的實物、圖形或圖片，提供給學(xué)生充分的觀察，體驗、感受、交流的機會。教材中長（正）方體、長（正）方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓、角、圓柱、圓錐等概念，都是從具體物體上剝離并抽象形成的，經(jīng)歷了從生活原型到模型的建構(gòu)過程。如：四年級下冊“三角形的認(rèn)識”。本課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了線段、角和直觀認(rèn)識了三角形的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。三角形的認(rèn)識，教材設(shè)計了四個層次。①從主題圖中找三角形引入本課的學(xué)習(xí)，感受三角形在日常生活中隨處可見。②提出教材中“畫一個三角形”的要求。觀察所畫的各種三角形，理解“圍成”的含義，即每相鄰兩條線段的端點相連。之后歸納出三角形概念的模型：由三條線段圍成的圖形叫做三角形。③結(jié)合教師和學(xué)生畫出的三角形，認(rèn)識三角形各部分名稱。提出“說一說三角形有幾條邊？幾個角？幾個頂點？”的問題，通過對所畫各種三角形的觀察與三個問題的交流，形成三角形在頭腦中的模型表象：三角形有三條邊、三個角、三個頂點。盡而學(xué)會用字母A、B、C表示三角形的三個頂點及用字母表示三角形。④學(xué)習(xí)三角形的底和高。教師結(jié)合“畫三角形的高”的過程，介紹三角形的“底”和“高”。思考討論：三角形可以畫幾條高？三角形的高在什么位置？然后試著畫出三角形的三條高（理解直角三角形兩條直角邊互為底邊上的高及畫鈍角三角形的高都是學(xué)習(xí)的難點）。三角形的底和高也是一個數(shù)學(xué)模型，而應(yīng)用是結(jié)合圖形描述三角形的各部分名稱，能畫出三角形的高。

2. 特性

三角形特性：三角形任意兩邊的和大于第三邊。教學(xué)設(shè)計可分為五個層次。（1）先結(jié)合插圖提出“從小明家到學(xué)校有幾條路線？哪一條最近？”的問題，用自己的生活經(jīng)驗說明走直路最近。再將生活情境“小明家、郵局和學(xué)?！比齻€位置看作三個點，連結(jié)三個點，將路線圖抽象成三角形ABC幾何圖形。測量AC、AB、BC的長度，并計算出“AB+BC”的長度和與AC比較，說一說發(fā)現(xiàn)了什么？兩點間所有連線中線段最短（數(shù)學(xué)模型），這條線段的長度叫做兩點間的距離。感受計算結(jié)果與生活經(jīng)驗的一致性。（2）假設(shè)A、C兩點固定，B點可以移動，想象B點如何移動，“AB+BC”的長度和與AC的長度越來越接近？猜想當(dāng)B點位于什么位置時，AB+BC=AC。此時圖形還是三角形嗎？成了什么圖形？接著思考、猜想：什么情況下三條線段能組成三角形？什么情況下不能？（3）小組操作實驗，用教材中提供的四組長度的紙條或小棒來拼三角形。記錄下能或不能拼成三角形的三個紙條的長度，分析三個紙條的長度，你能發(fā)現(xiàn)什么？第①、④兩組的任何兩邊長度的和都比另一邊長，能拼成三角形，第②、③兩組兩條較短邊的和等于或小于第三邊的長度，不能拼成三角形。（4）交流、總結(jié)（數(shù)學(xué)模型）：三角形的任意兩邊的和大于第三邊。任意兩邊的和等于或小于第三邊都不能拼成三角形。（5）應(yīng)用：①用本課所學(xué)知識解釋為什么小明從家與學(xué)校走中間的路近？②判斷下面三組線段能否圍成一個三角形？說明理由。A.3厘米、7厘米、5厘米；B.6厘米、1厘米、3厘米；C.8厘米、3厘米、5厘米。擴展：一個活動角，角的兩邊分別剪剩下9厘米和7厘米。要加上多長一根小棒能拼成一個三角形？這根小棒最長是幾厘米，最短是幾厘米？說出理由。

3. 公式

“圖形與幾何”內(nèi)容有很多的公式，長（正）方形、圓周長公式，長（正）方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓面積公式，長（正）方體、圓柱、圓錐體積公式等，這些每一個公式都是數(shù)學(xué)模型。無論哪一個公式的建構(gòu)都經(jīng)歷了“問題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用與擴展”的過程。如圓面積公式。圓面積公式是在學(xué)生認(rèn)識了圓，知道了圓的各部分名稱、圓的半徑?jīng)Q定圓的大小，同時具有了轉(zhuǎn)化思想解決未知圖形面積基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。教材從“每平方米草皮8元。這個圓形草坪的占地面積是多少平方米？”的問題情境引入，提出“怎樣計算一個圓的面積呢？”。首先猜想：計算圓的面積可能與圓的什么有關(guān)系？如何把圓轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形，轉(zhuǎn)化成什么圖形來計算面積？接著按照教材設(shè)計，驗證猜想。提出“在硬紙上畫一個圓，把圓分成若干（偶數(shù)）等份，然后剪開，用這些近似等腰三角形的小紙片拼一拼，能發(fā)現(xiàn)什么？”的操作要求和問題思考。通過操作可發(fā)現(xiàn)：圓的形狀變了，面積不變。圓形變成了近似長方形（或平行四邊形），圓周長的一半就是近似長方形的長，圓的半徑就是近似長方形的寬。之后根據(jù)等量變換推理出圓面積計算公式及字母表達式，建立圓面積計算的模型。應(yīng)用：應(yīng)用圓面積公式解決草坪面積和花錢問題。擴展：用圓面積公式解決圓環(huán)面積計算及生活中和圓面積有關(guān)的計算問題。

4. 操作程序

“圖形與幾何”內(nèi)容有很多需要按操作程序進行測量和畫圖的內(nèi)容。主要有：測量線段長度、測量角大小、畫指定長度線段、畫指定度數(shù)的角、畫平行線、畫垂線、畫長（正）方形、畫簡單圖形平移或旋轉(zhuǎn)后的圖形、畫簡單的線路圖等。如四年級上冊用量角器畫指定度數(shù)的角。此內(nèi)容是在學(xué)生認(rèn)識了量角器及學(xué)會用量角器測量角大小的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。教材呈現(xiàn)了用量角器畫60°角的分步示意圖和畫圖步驟（畫角的操作模型），即：（1）畫一條射線，使量角器的中心和射線的端點重合，0°刻度線和射線重合。（2）在量角器60°刻度線的地方點一個點。（3）以畫出射線的端點為端點，通過剛畫的兩點畫出一條射線。學(xué)生畫圖的難點在第（2）步，因為量角器上60°刻度線（里圈和外圈）有兩個。所以進行第（2）步時要讓學(xué)生討論：用量角器畫指定度數(shù)的角時，量角器有兩圈刻度，找里圈還是外圈刻度點？通過討論，形成結(jié)論（找刻度線的操作模型）：當(dāng)先畫的那條射線是與內(nèi)圈的零刻度線重合，那么找點時就應(yīng)該在內(nèi)圈找所要畫的角刻度線；如果先畫的那條射線是與外圈的零刻度線重合，那么找點時就應(yīng)該在外圈找所要畫的角刻度線。畫圖應(yīng)用：做一做，用量角器畫指定度數(shù)的角，尤其是開口向左、向上或向下的角。擴展：在四年級下冊學(xué)習(xí)三角形分類后，可以擴展到畫指定度數(shù)的三角形及后面學(xué)習(xí)畫簡單的路線圖。

（三）統(tǒng)計與概率

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域涉及到分類整理、數(shù)據(jù)收集整理、平均數(shù)、條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖和可能性等內(nèi)容。這些內(nèi)容大都與程序模型或圖示模型聯(lián)系密切。

1.分類整理

教材在一年級下冊安排了“分類整理”的內(nèi)容。

例1按指定標(biāo)準(zhǔn)分類整理；例2自己確定標(biāo)準(zhǔn)分類整理。兩個例題的呈現(xiàn)方式?jīng)Q定了教學(xué)要按照以下程序進行。

如例2，情境問題：教材呈現(xiàn)了有男女大人、孩子準(zhǔn)備參加游戲活動的場景，提出“分兩組做游戲，他們可以怎樣分組呢？”的問題。確定分類標(biāo)準(zhǔn)：可以按大人和孩子分，也可以按男、女分。分類整理：按自己確定的分類標(biāo)準(zhǔn)（按大人和孩子分），數(shù)出人數(shù)填在表格中。觀察分析：觀察表格中的數(shù)據(jù)，了解分類的結(jié)果（8個大人、4個孩子）。形成結(jié)論：按大人和孩子分的結(jié)果是大人多，孩子少。解釋問題：按大人和孩子分，大人多，孩子少，孩子們自己不會做游戲，不合適?？梢愿淖兎诸惙椒?，按男、女分怎么樣？

2.數(shù)據(jù)收集整理

教材在二年級下冊安排了“數(shù)據(jù)收集整理”的內(nèi)容。數(shù)據(jù)收集整理的過程也要滲透程序模型，使學(xué)生了解數(shù)據(jù)收集整理的方式方法，但可以根據(jù)“問題情境”簡化或增加程序。二年級下冊“數(shù)據(jù)收集整理”例1，可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感受以下程序模型。

情境問題：例1，選擇方法：在全班進行調(diào)查；收集數(shù)據(jù)：舉手或填寫表格；歸納整理：填寫統(tǒng)計表；觀察分析：分析表格中喜歡每種顏色的人數(shù)；初步結(jié)論：喜歡藍色的人數(shù)最多，如果這個班訂做校服，選擇藍色合適；檢驗校正：征求其它班級的意見……

3.復(fù)式條形統(tǒng)計圖

教材在四年級下冊安排了“復(fù)式條形統(tǒng)計圖”。本課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了復(fù)式統(tǒng)計表和單式條形統(tǒng)計圖基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。學(xué)生已經(jīng)知道了復(fù)式統(tǒng)計表的基本模型，知道了在單式條形統(tǒng)計圖（立式）中，橫軸一般表示“項目”，縱軸一般表示“數(shù)量”，縱軸上1格可以表示1個單位，也可以表示幾個單位。單式統(tǒng)計圖的建構(gòu)模型可以遷移到繪制復(fù)式統(tǒng)計圖的學(xué)習(xí)中。本課的學(xué)習(xí)重點是學(xué)會繪制簡單的復(fù)式統(tǒng)計圖并根據(jù)復(fù)式統(tǒng)計圖進行分析和判斷。問題情境：學(xué)生補充完成單式統(tǒng)計圖。觀察發(fā)現(xiàn)：要想直觀看到城鎮(zhèn)和鄉(xiāng)村在某一年人數(shù)的多少情況，很不方便。提出猜想：兩個有關(guān)聯(lián)的單式統(tǒng)計表可以合并成一個復(fù)式統(tǒng)計表，兩個有關(guān)聯(lián)的單式條形統(tǒng)計圖，是否也可以合并成一個復(fù)式統(tǒng)計圖呢？建立模型。觀察（79頁）不完整的立式復(fù)式條形統(tǒng)計圖，與單式條形統(tǒng)計圖比較，有哪些相同點？有哪些不同點？相同點是：橫軸都是表示年份，都有四個年份?？v軸都是表示人數(shù)，1個刻度表示10萬人。不同點是：同一年份把城鎮(zhèn)人數(shù)與鄉(xiāng)村人數(shù)排在了一起，左邊是城鎮(zhèn)人數(shù)的條形圖，右邊緊靠著是鄉(xiāng)村人數(shù)的條形圖，城、鄉(xiāng)條形圖用不同的顏色表示，在圖中還標(biāo)出了城鎮(zhèn)、鄉(xiāng)村的圖例。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生自己補充完成其它年份條形圖的繪制。分析復(fù)式條形統(tǒng)計圖的優(yōu)勢：能直觀看到同一年份城鎮(zhèn)和鄉(xiāng)村人數(shù)的多少及不同年份城鎮(zhèn)和鄉(xiāng)村人數(shù)的變化。應(yīng)用：回答教材中提出的四個問題及“做一做”中的習(xí)題。最后，介紹橫式的復(fù)式條形統(tǒng)計圖的基本模型。

二、在教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的模型思想

（一）模型思想需要教師在教學(xué)中逐步滲透和引導(dǎo)學(xué)生不斷感悟

模型思想作為一種數(shù)學(xué)思想要學(xué)生真正有所感悟需經(jīng)歷一個長期的過程。在這一過程中，學(xué)生總是從相對簡單到相對復(fù)雜，從相對具體到相對抽象，逐步積累經(jīng)驗，掌握建模方法，逐步形成用模型去進行數(shù)學(xué)思考的習(xí)慣。教師在教學(xué)中要注意根據(jù)學(xué)生的年齡特征和不同學(xué)段的要求，逐步滲透模型思想。如：在第一學(xué)段，可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實問題情境中抽象出整數(shù)、整數(shù)四則運算概念和方法、整數(shù)的讀寫方法、整數(shù)的大小比較方法、兩級混合運算的程序等；從簡單幾何體到平面圖形的過程抽象出各種圖形模型及特征、特性等；從觀察物體、圖形的運動抽象出兩視圖與三視圖的轉(zhuǎn)化方法及簡單的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)概念等；從簡單數(shù)據(jù)收集、整理的過程中學(xué)會用適當(dāng)?shù)姆杹肀硎具@些現(xiàn)實情境中的簡單現(xiàn)象，并提出一些力所能及的數(shù)學(xué)問題。第二學(xué)段，通過一些具體問題情境，引導(dǎo)學(xué)生猜想、觀察、分析、抽象出更為一般的模式表達，如用字母表示各種平面圖形的周長、面積公式，用字母表示各種立體圖形的體積（容積）公式，用字母表示有關(guān)的運算律和運算性質(zhì)等；總結(jié)出路程、速度、時間，單價、數(shù)量、總價的關(guān)系式等。通過一些具體問題情境，指導(dǎo)學(xué)生實驗、操作，抽象畫圖程序、定理、公式等。

總之，模型思想的滲透是多方位的。模型思想的感悟應(yīng)該蘊涵于概念、公式、法則、定理、定律、性質(zhì)等的教學(xué)之中，并與數(shù)感、符號意識、空間觀念、計算能力、推理能力等的培養(yǎng)緊密結(jié)合，模型思想的建立是一個循序漸進的過程。

（二）使學(xué)生經(jīng)歷“問題情境——建立模型——求解驗證”的教學(xué)活動過程

“問題情境——建立模型——求解驗證”的教學(xué)活動過程體現(xiàn)了《課標(biāo)》中的模型思想的基本要求，有利于學(xué)生在活動過程中經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的過程，也有利于學(xué)生在活動過程中理解、掌握有關(guān)知識、技能，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感悟模型思想的本質(zhì)。

上述活動過程完全可以結(jié)合相關(guān)課程內(nèi)容有機進行。比如教材中大部分概念教學(xué)、公式的推導(dǎo)、結(jié)論的拓展等可以按此模式進行。

如：分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識。問題情境：逐個把4個蘋果、2個蘋果、1個蘋果，平均分成兩份，分的結(jié)果每一份怎樣表示用數(shù)表示？

問題情境：三角形內(nèi)角和是180°，凸四邊形、凸五邊形……內(nèi)角和是多少度呢？

探索規(guī)律：把凸多邊形分割成若干個三角形。分割成三角形的個數(shù)比多邊形的邊數(shù)少2。

發(fā)現(xiàn)模式：四邊形內(nèi)角和=（4-2）×180°=360°；

五邊形內(nèi)角和=（5-2）×180°=540°；六邊形內(nèi)角和=（6-2）×180°=720°。

建立模型：思考，如果多邊形的邊數(shù)是n，n邊形能分割成多少個三角形，n邊形的內(nèi)角和怎樣求？n邊形內(nèi)角和=（n-2）×180°。

求解驗證：先用n邊形內(nèi)角和公式計算凸八邊形內(nèi)角和。再畫一個八邊形，分割成三角形，計算出八邊形內(nèi)角和。比較與公式計算的結(jié)果，驗證公式是否適用于求任意凸多邊形的內(nèi)角和。

（三）落實新《課標(biāo)》增加的“兩基、兩能”

《課標(biāo)》在“總目標(biāo)”中指出：獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必須的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力。基本思想、基本活動經(jīng)驗是新增加的“兩基”，發(fā)現(xiàn)問題能力和提出問題能力是新增加的“兩能”。

前面提到“問題情境”是建立數(shù)學(xué)模型的起點和基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，“發(fā)現(xiàn)問題”，是指充分利用教材中“問題情境”，引導(dǎo)學(xué)生多方面、多角度的數(shù)學(xué)思考，從一些現(xiàn)象中找到數(shù)量或空間方面的某些聯(lián)系，并把這些聯(lián)系提煉出來?！疤岢鰡栴}”，是在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)問題的基礎(chǔ)上，把找到的聯(lián)系用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號集中地以“問題”的形態(tài)表述出來，以便于研究、探索解決問題。如：“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”可以創(chuàng)設(shè)這樣的問題情境?？谒阆旅娓鹘M題，你能發(fā)現(xiàn)什么？

“基本思想”和“基本活動經(jīng)驗”是建立數(shù)學(xué)模型的主要途徑。這里“基本思想”指學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中運用的假設(shè)思想、比較思想、符號化思想、轉(zhuǎn)化思想、化歸思想、類比思想、代換思想、數(shù)形結(jié)合思想等。“活動經(jīng)驗” 指學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)活動中的直接活動經(jīng)驗、間接活動經(jīng)驗、設(shè)計的活動經(jīng)驗和思考的活動經(jīng)驗。上面“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”模型的建立過程，教材呈現(xiàn)方式就是應(yīng)用了學(xué)生“折紙”的“直接活動經(jīng)驗”和“數(shù)形結(jié)合思想”，使學(xué)生借助“形”直觀理解算理，進而抽象出分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計算模型，即一個分?jǐn)?shù)除以一個整數(shù)，等于用這個分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的倒數(shù)。

（未完待續(xù)）