抓住問題本質 突破教學難點
——以“烙餅問題”教學為例

□ 吳新結

在“解決問題”的教學中，我們常常會面臨一些教學難點的困擾，這不僅讓我們煩惱，也在很大程度上影響教學目標的達成。教學難點產生的原因較為復雜，突破難點的方法也有很多。本文試圖以“烙餅問題”的教學為例，從不同的角度，嘗試尋找突破難點的新途徑。

近期連續(xù)觀摩了幾節(jié)“烙餅問題”的教學課，雖然學生用學具操作烙餅時熱熱鬧鬧，但教學的進程卻顯得疙疙瘩瘩。整節(jié)課忙于對具體烙法的尋找和表達，缺乏冷靜的思考和感悟。不僅對烙餅方法的探索感到茫然，而且對教材中提供的“交替烙”的方法也不能理解。常常是課堂嚴重超時，而教學效果卻不能盡如人意。課后與上課教師一起進行分析，梳理出本節(jié)課教學的幾個難點：一是優(yōu)化思想的建立；二是對烙3張餅時“交替烙”方法的理解；三是烙多張餅時發(fā)現(xiàn)規(guī)律。產生這些難點的原因是多方面的，有的是教師對教材理解有偏差，把“烙餅問題”的教學目標僅定位為尋找一種節(jié)約時間的烙餅方法，忽略了數(shù)學思想方法的滲透和引領，也有的是學生生活經(jīng)驗短缺和思維能力不強所導致的。根本的原因則在于，學生被烙餅問題的新奇性所吸引，僅僅關注烙餅方法的花樣翻新，沒有透過表面現(xiàn)象把握問題的實質，沒有形成“充分利用空間”這一數(shù)學優(yōu)化的本質，始終在具體的“烙法”上糾纏，思維方向不明確，故難點重重。

如何有效突破這些難點呢？我們認為，教材用“烙餅”這一素材作為例子，意在滲透一些數(shù)學思想，其中蘊含的“優(yōu)化”思想是其靈魂。我們要用數(shù)學的眼光看待“烙餅”這一生活問題，緊緊抓住“充分利用空間”這一數(shù)學優(yōu)化的本質。在教學伊始，就借助關于2張餅的烙法的討論建立這種觀念，再運用比較、分析、化歸、分類、量化等方法，引導學生圍繞“如何充分利用空間”這一核心問題開展探索，才有可能較好地化解上述教學難點，也才有可能提高教學的效率。

基于以上認識，我們對一些教學環(huán)節(jié)進行了改進和嘗試。

一、分析問題，抓住本質

充分利用鍋的空間，這是“烙餅”這一問題優(yōu)化的具體體現(xiàn)，也是該問題的數(shù)學優(yōu)化的本質。建立這一本質認識的最佳時機在烙2張餅時的思辨。我們提出問題，烙2張餅可以怎樣烙？1張1張地烙，2張一起烙（這是鍋的容量容許的）。比較兩種方法所用時間的不同，第一種方法需要12分鐘，第二種方法只要6分鐘。為什么第一種方法浪費時間呢？這是因為第一種烙法鍋里還能放一張餅同時烙而沒有放，浪費了鍋的空間，也就浪費了時間。通過比較，師生一致認為，在鍋的容量容許的情況下，充分利用鍋的空間，每次烙2張餅最節(jié)省時間。師生們的這一認識，是烙餅問題優(yōu)化的基礎，是該問題的數(shù)學優(yōu)化的本質內涵，也是進一步探索的基礎，更是思維的方向。把握這一本質認識，也就為下一步的學習打下了基礎，為難點的突破提供了可能。

二、量化引導，突破難點

教學實踐表明，烙3張餅最省時的方法（交替烙）如果放手讓學生去操作探索，是很難得到滿意的結果的，最終大多是由教師或優(yōu)生來“告訴”，費時費力不說，教學效果也很不理想。教師在這里應該有一些引導，立足優(yōu)化的本質，借助計算量化分析，引導學生有所發(fā)現(xiàn)。3張餅如果先烙2張再烙1張，第二次鍋里有空余，存在浪費的現(xiàn)象。我們不妨把“烙餅問題”簡化為烙“面”的次數(shù)。1張餅有2個面，3張餅有6個面。鍋里1次能夠也最好烙2個面，需要3分鐘，烙6個面只需要6÷2=3次，計9分鐘。這里需要強調的是，最省時的方法是鍋里每次都有2個面在烙。在具體烙法的實踐中，學生本著“鍋里不能空著”這一本質認識，基于鍋里每次都要有2個面在烙的前提，從“面”的角度對烙餅的順序做適當?shù)恼{整，是不難發(fā)現(xiàn)正確的方法的。在先前經(jīng)驗的基礎上，運用對本質的認識，借助計算量化，對問題進行簡潔的數(shù)學化處理，縮小了探索的范圍，明確了思維基本路徑，有助于學生的發(fā)現(xiàn)，也有助于一些學生對“交替烙”這種方法意義的理解。不讓學生被動地等待，在學生百思不得其解時，予以恰當?shù)乃悸伏c撥，教師的主導作用在這里得到了很好的發(fā)揮。

三、舉一反三，探明規(guī)律

有的教師在教學4、5、6張餅怎樣烙節(jié)省時間時，還是從具體的操作入手，沒有適時進行抽象思考。我們認為，從教學的效率來講，不容許我們還在具體的烙法上過多地糾纏，從思維能力的培養(yǎng)上來看，此時需要我們跳出具體的情境走向抽象的王國。我們提出，如果要烙很多張餅，怎樣才能保證節(jié)省時間。學生將烙3張餅時的經(jīng)驗進行遷移，自然會想到，只要每次鍋里都有2個面在烙，就能保證所用的時間最少。所用時間=餅的張數(shù)×2÷2×3。進一步簡化為所用時間=餅的張數(shù)×3，也可以理解為1個餅剖開成2個面，一次烙好需要3分鐘。在具體的烙法上，我們可以利用已有的經(jīng)驗，2張餅同時烙6分鐘最節(jié)省時間，3張餅交替烙9分鐘最節(jié)省時間，對4張餅和5張餅的情況進行分析。4張餅2張2張地烙，5張餅2張3張地烙。進而可分偶數(shù)張餅為若干個2的和，奇數(shù)張餅為若干個2和一個3的和，問題得到進一步的解決。不難發(fā)現(xiàn)，在這里起作用的還是“充分利用空間——每次鍋里都有2個面在烙”這一本質認識，并在新的問題情境中得到拓展和深化。當然，擺脫對學具的依賴，由直觀的“烙餅”到抽象的分析，分類、轉化的思想方法在這里也起到了積極的作用。

四、教學反思，升華思想

教學至此，“烙餅問題”基本得到了解決，但教學并不能就此停下腳步。前面的關于烙餅問題的本質性認識，還囿于具體的實例，有必要將這種認識上升到對一類數(shù)學思想的感悟。我們引導學生反思，為什么不同的烙法所用的時間不同，有的節(jié)省時間，有的浪費時間？這是因為不同的烙法對鍋的使用程度不同，有的充分利用空間，有的有空余。上一節(jié)課學習的“燒開水”問題時間節(jié)省在哪里？人在等水燒開的時候，洗茶杯、找茶葉，人沒有閑著，從中我們可以體會到，人或設備在完成一些工作時，要盡量充分利用，不閑置和空余，才能最好地節(jié)省時間。人們在完成一項工作時，往往要提前籌劃，反復比較，找出最優(yōu)的方案，這就是數(shù)學上的“優(yōu)化”，也叫“統(tǒng)籌”，是一種合理安排工作進程的方法。我們熟悉的華羅庚爺爺，當年倡導、應用、推廣“統(tǒng)籌法”，為提高工廠的生產效率做出了突出的貢獻。

通過具體的教學實踐，我們發(fā)現(xiàn)，課前我們提出的幾個教學難點都在一定程度上得到了較好的突破。綜觀整節(jié)課的教學，教學進程梗阻少了，思路順暢多了；漫無目的的操作少了，交流思辨多了；整節(jié)課毫無收獲的現(xiàn)象少了，有所感悟多了。這都得益于整節(jié)課始終抓住了“烙餅問題”的本質認識，教學的目的性更強，學生的思路目標更明確，學生活動經(jīng)驗的積累和數(shù)學思想方法的感悟得到了落實，教學效益得到了提高。

同時我們也認識到，由于經(jīng)驗、知識和認知方

式的局限，學生對某些生活問題往往只能夠關注其表面現(xiàn)象，對問題的數(shù)學本質缺乏深刻全面的認識，影響他們對問題的順利解決。在教學中，教師有責任引導學生透過事物的表面現(xiàn)象審視其數(shù)學實質，縮短學生已有認知水平和新學習內容之間的差距，尋找新知識的落腳點，搭建認知跨越的平臺。

我們知道，一類問題中往往蘊含著該類問題的本質屬性，它是某種數(shù)學思想方法的源泉，是一節(jié)課的“課眼”，抓住了這個關鍵，就有了思考的落腳點，就有了思維的方向，也就有了突破難點的路徑。因此，我們在遭遇教學難點時，不妨從數(shù)學的角度著眼，從問題的本質入手，創(chuàng)新思想方法，在解決問題的過程中去尋求突破難點的方法。