正確表征數(shù)學(xué)的抽象意義
——《倒數(shù)的認(rèn)識(shí)》教學(xué)后的思考

彭應(yīng)奎

教學(xué)《倒數(shù)的認(rèn)識(shí)》（人教版六年級(jí)上冊(cè)第三單元第28頁(yè)）后，批改學(xué)生的作業(yè)，發(fā)現(xiàn)了一些有意思的錯(cuò)誤：

（2）小紅和小亮誰(shuí)說(shuō)得對(duì)？（題目見(jiàn)教材第29頁(yè)）：

學(xué)生C：為什么不可以呢？小數(shù)和分?jǐn)?shù)是可以互化的，我們把0.75化成分?jǐn)?shù)后就是分子和分母上下對(duì)調(diào)了。

……

學(xué)生的回答讓我陷入沉思：看來(lái)，學(xué)生們對(duì)于倒數(shù)的“倒”字印象非常深刻。為什么學(xué)生一定要強(qiáng)調(diào)分子分母互相對(duì)調(diào)的形式，而不是從倒數(shù)的本質(zhì)特征“乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)”來(lái)進(jìn)行判斷呢？

細(xì)細(xì)想來(lái)，這可能與教材的編排以及老師的教法有很大的關(guān)系。教材這樣舉例說(shuō)明：因?yàn)椤?1,所以的倒數(shù)是，的倒數(shù)是，與互為倒數(shù)。接著教材提問(wèn)“你是怎樣找一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的？”再次舉例的倒數(shù)是，在找倒數(shù)的過(guò)程中，只要把分子、分母交換位置就可以了。再加上那天教學(xué)時(shí)用的PPT封面圖片是“兩只猴子，一正一倒，配合著與這兩個(gè)數(shù)”，給學(xué)生強(qiáng)烈的視覺(jué)沖擊力就是一個(gè)“倒”字。因此，學(xué)生們對(duì)于“倒數(shù)”的理解就是：求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)只要分子和分母對(duì)調(diào)就可以，所以學(xué)生們根深蒂固地認(rèn)為5的倒數(shù)是5。分子和分母對(duì)調(diào)，這樣形式上的、簡(jiǎn)潔的方法就深深地刻入到學(xué)生的腦海里。對(duì)1的倒數(shù)是它本身，0沒(méi)有倒數(shù)，也還是從分子和分母對(duì)調(diào)上去理解的——因?yàn)?無(wú)論怎么倒，都是1，把0倒回來(lái)的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)0不能做除數(shù)……

這樣教學(xué)，對(duì)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)倒數(shù)的本質(zhì)特征產(chǎn)生了很大的負(fù)面影響。如何避免“倒數(shù)”這個(gè)名字給學(xué)生認(rèn)知帶來(lái)的負(fù)遷移，如何在教學(xué)中順利地引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到倒數(shù)的本質(zhì)特征——“乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)”呢？

其實(shí)，教材上是有這句話(huà)的。不過(guò)，學(xué)生的注意力被具體的例子給吸引了。所以上課時(shí)，教師要注意淡化倒數(shù)的形式特征，強(qiáng)化倒數(shù)的本質(zhì)——“兩個(gè)數(shù)的乘積為1”。同時(shí)，讓學(xué)生多舉不同類(lèi)型的兩個(gè)數(shù)的乘積為1的例子——分?jǐn)?shù)的；小數(shù)的；整數(shù)的。比如 0.25×4=1；5×0.2=1等。然后進(jìn)行全班匯報(bào)交流，教師選擇性地把各種類(lèi)型的例子進(jìn)行板書(shū)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)”，用字母表示為：如果ab=1,則a、b互為倒數(shù)。這樣教學(xué)，學(xué)生對(duì)倒數(shù)的理解就能抓住本質(zhì)特征，就不會(huì)有倒數(shù)就是分子分母對(duì)調(diào)這種錯(cuò)覺(jué)出現(xiàn)。

《倒數(shù)的認(rèn)識(shí)》是一節(jié)概念課。在概念課教學(xué)中，我們強(qiáng)調(diào)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，在概念形成之初，就讓概念的本質(zhì)深深地刻在學(xué)生的腦海中，而不是僅僅記住表面的知識(shí)，然后讓學(xué)生經(jīng)過(guò)數(shù)次的“犯錯(cuò)”、教師不斷地“糾錯(cuò)”過(guò)程后才真正認(rèn)識(shí)倒數(shù)的本質(zhì)。否則，學(xué)生永遠(yuǎn)無(wú)法真正觸及倒數(shù)的本質(zhì)。

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，在教學(xué)中，有時(shí)候我們利用部分有趣的生活現(xiàn)象來(lái)展開(kāi)教學(xué)，可以讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)。但是，當(dāng)有趣的生活現(xiàn)象不能正確表征數(shù)學(xué)的抽象意義，反而對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知造成一定的干擾時(shí)，教師應(yīng)給予拋棄，多利用純數(shù)學(xué)的變式訓(xùn)練，抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，以防止學(xué)生的思維定式，讓學(xué)生從生活形式的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)提升到數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。