簡諧力激勵下多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體優(yōu)化設(shè)計

朱繼宏，趙華，劉濤，張衛(wèi)紅

1.西北工業(yè)大學(xué) 航宇材料結(jié)構(gòu)一體化設(shè)計與增材制造裝備技術(shù)國際聯(lián)合研究中心，西安 710072 2.西北工業(yè)大學(xué) 金屬高性能增材制造與創(chuàng)新設(shè)計工信部重點實驗室，西安 710072 3.西北工業(yè)大學(xué) 無人系統(tǒng)技術(shù)研究院-智能材料與結(jié)構(gòu)研究所，西安 710072

自從Bends?e和Kikuchi[1]在1988年首次提出均勻化方法以來，拓?fù)鋬?yōu)化就一直被認(rèn)為是結(jié)構(gòu)概念設(shè)計階段非常有效的方法。目前，拓?fù)鋬?yōu)化在理論研究和實際應(yīng)用中都獲得了顯著的進(jìn)步[2-4]。尤其是在航空航天領(lǐng)域，拓?fù)鋬?yōu)化對于提高結(jié)構(gòu)性能，減輕結(jié)構(gòu)重量具有十分重要的意義。然而，在實際結(jié)構(gòu)中常見的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計仍然是一個充滿挑戰(zhàn)的問題。

典型的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)主要包括支撐結(jié)構(gòu)及其上面具有特定功能的組件。其中，組件通過鉚釘或螺栓等連接件與支撐結(jié)構(gòu)連接成為一個整體。這類結(jié)構(gòu)廣泛存在于機(jī)械、汽車以及航空航天等領(lǐng)域。

最初，多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計是在固定組件位置的情況下，只對支撐結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化[5-6]。為了克服組件無法移動的問題，朱繼宏等[7]提出一種對支撐結(jié)構(gòu)構(gòu)型和組件位置同時優(yōu)化的方法。同時，這也帶來組件間的位置干涉和支撐結(jié)構(gòu)與組件間的有限元模型連接問題。針對這類問題，Qian和Ananthasuresh[8]提出過一種通過指數(shù)函數(shù)描述組件幾何形狀來實現(xiàn)多組件系統(tǒng)布局優(yōu)化的方法?？簯?zhàn)等[9]發(fā)展了基于水平集的非干涉約束方法，并將其應(yīng)用到結(jié)構(gòu)拓?fù)浜涂梢苿涌斩吹膮f(xié)同優(yōu)化中。張維生等[10]提出基于結(jié)構(gòu)骨架的水平集方法去控制嵌入式組件間的最小和最大距離。朱繼宏等[11]提出的有限包絡(luò)圓法(FCM)和多點約束(MPC)方法，由于可靠和易實現(xiàn)而被本文所采用。目前多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體優(yōu)化的研究主要針對結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)性能，而忽視了考慮結(jié)構(gòu)的動力學(xué)性能。

在結(jié)構(gòu)動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計中，相關(guān)研究主要關(guān)注結(jié)構(gòu)動態(tài)特性和動響應(yīng)兩類問題。Pedersen[12]、Du[13]和Tsai[14]等學(xué)者在提高結(jié)構(gòu)動態(tài)特性方面做了有效的研究工作，比如最大化結(jié)構(gòu)的特征頻率或使特征頻率遠(yuǎn)離激勵頻率等。事實上，相較于提高結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性，優(yōu)化結(jié)構(gòu)的動響應(yīng)能夠更加直接地提高結(jié)構(gòu)的動力學(xué)性能。Ma[15]、Jog[16]和Shu[17]等通過不同的方法在結(jié)構(gòu)簡諧激勵下的動柔順度和位移響應(yīng)優(yōu)化方面作了富有成效的研究。在結(jié)構(gòu)動響應(yīng)求解方面，Yoon[18]、Besselink[19]和Liu[20]等分析比較了不同方法的優(yōu)缺點。其中，模態(tài)加速度法(MAM)對于大規(guī)模自由度優(yōu)化問題在求解精度和效率方面有很好的表現(xiàn)。

在結(jié)構(gòu)整體設(shè)計和動力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化兩個方面盡管已經(jīng)分別有相應(yīng)的研究[21-22]，但結(jié)構(gòu)在動力學(xué)激勵下的整體優(yōu)化方面僅有很少一部分研究內(nèi)容。張橋等[23]對靜力和隨機(jī)激勵下的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體優(yōu)化問題進(jìn)行了研究，由于采用密度點和網(wǎng)格嵌入技術(shù)而無法模擬螺栓等常用連接形式。

實際工程中多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)往往會由于結(jié)構(gòu)不平衡產(chǎn)生簡諧激勵和各種周期性載荷，而這些周期性載荷可以通過傅里葉變換轉(zhuǎn)化為不同頻率下簡諧激勵的疊加。因此，研究結(jié)構(gòu)簡諧載荷下的整體優(yōu)化問題將變得很有意義。

1 整體優(yōu)化的基礎(chǔ)公式

1.1 幾何約束

為了避免優(yōu)化過程中組件與組件之間產(chǎn)生重疊，并且保證組件始終位于支撐結(jié)構(gòu)區(qū)域內(nèi)，本文中引入FCM作為幾何約束。所謂FCM就是利用一系列圓去近似組件的輪廓和設(shè)計域的邊界(如圖1)。這樣，將模型的幾何約束轉(zhuǎn)化為包絡(luò)圓間的非干涉約束，而非干涉約束可以通過式(1)獲得，同時其靈敏度也能夠輕松求解得到。

(1)

式中：(xim,yim)和rim為第i個組件的第m個包絡(luò)圓的圓心坐標(biāo)和半徑；(xjn,yjn)和rjn為第j個組件的第n個包絡(luò)圓的圓心坐標(biāo)和半徑；gk為第k個非干涉約束值。

圖1 有限包絡(luò)圓近似組件和設(shè)計域邊界Fig.1 FCM approximation for components and design domain boundary

1.2 MPC方法

MPC方法廣泛應(yīng)用在模擬連接、對稱邊界條件以及網(wǎng)格強(qiáng)制兼容方面[24]。本文采用的MPC方法不同于傳統(tǒng)組件節(jié)點與支撐結(jié)構(gòu)節(jié)點間直接連接的形式，而是通過單元形狀函數(shù)建立組件節(jié)點與支撐結(jié)構(gòu)單元上某處的位移約束，具體描述如圖2所示。

(2)

實際上，MPC方程節(jié)點是位移的線性組合。當(dāng)有多個MPC連接節(jié)點時，MPC方程可以寫為

Hu=0

(3)

圖2 多點約束方法的定義Fig.2 Definition of MPC method

式中：H為由參與構(gòu)成MPC連接的節(jié)點坐標(biāo)和單元形狀函數(shù)決定的系數(shù)矩陣；u為多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的總體位移矢量。

1.3 多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的簡諧響應(yīng)分析

考慮到多點約束，通過引入拉格朗日乘子建立修正的線性系統(tǒng)動平衡方程[25]為

Hu(t)=0

(4)

式中：M、C和K分別為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；u(t)為結(jié)構(gòu)整體位移向量；P(t)為外部簡諧載荷，且P(t)=Pejωpt(j2=-1)，P和ωp分別為載荷幅值和頻率；λ1(t)為拉格朗日乘子。

在采用模態(tài)疊加法求解簡諧響應(yīng)時，可以通過求解自由振動下的平衡方程式(5)獲得結(jié)構(gòu)的特征值和特征頻率。

Hu(t)=0

(5)

式中：λ2(t)為拉格朗日乘子。結(jié)構(gòu)的第i階圓頻率ωi和特征向量Φi可以通過求解自由振動系統(tǒng)的參數(shù)方程式(6)得到。

HΦi=0

(6)

式(6)可以寫成塊矩陣的形式，即

(7)

假設(shè)

(8)

因此，式(7)可以寫為

(9)

{Φ*TM*Φ*=I

(10)

假設(shè)系統(tǒng)的瑞利阻尼矩陣是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合，即

C=αM+βK

(11)

式中：α和β為瑞利阻尼系數(shù)，本文中取α=10-2，β=10-5。將式(10)展開，可以得到

(12)

式中：ξi為第i階阻尼系數(shù)，可以通過式(13)求解得到。

(13)

通過引入廣義坐標(biāo)，位移響應(yīng)可以寫為

u(t)=Φy(t)

(14)

(15)

(16)

因此

(17)

通過模態(tài)位移法(MDM)可以求得

(18)

考慮到計算效率，求解中只取結(jié)構(gòu)前l(fā)階模態(tài)疊加，即

(19)

對于大規(guī)模自由度問題的求解，MDM由于只考慮了低階模態(tài)，使得求解精度無法滿足要求。而MAM在求解精度和效率之間取得很好的平衡，下面對MAM進(jìn)行推導(dǎo)。

解耦的運(yùn)動方程式(16)可以寫為

(20)

將式(20)代入式(19)可得

(21)

通過使式(18)中ωp=0,可以得到結(jié)構(gòu)的靜力分析結(jié)果為

聯(lián)合收割機(jī)的使用季節(jié)性強(qiáng)，閑置時間長。要保持收割機(jī)良好的技術(shù)狀態(tài)，有效地延長其使用壽命，閑置階段的優(yōu)質(zhì)保養(yǎng)非常重要。

(22)

式中：usd可以直接通過式(23)求解。

{Kusd+HTλ3=P

Husd=0

(23)

綜合式(20)～式(22)可以得到通過MAM求解的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)為

(24)

并且，將式(22)代入式(24)可以得到

(25)

式(25)右邊第2項相當(dāng)于對MDM求解結(jié)果的修正。

假設(shè)a是除s項為1其余項均為0的列向量。那么，目標(biāo)自由度的位移可以表示為

us(t)=aTu(t)

(26)

進(jìn)而，目標(biāo)自由度的位移幅值可以表示為

(27)

式中：Xs為目標(biāo)自由度位移的復(fù)數(shù)形式;Re(Xs)和Im(Xs)分別為Xs的實部和虛部。

2 整體優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型

在多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體優(yōu)化設(shè)計中，以目標(biāo)自由度的位移響應(yīng)幅值最小為優(yōu)化目標(biāo)。另外，包含兩類設(shè)計變量，即控制組件位置的幾何設(shè)計變量和控制支撐結(jié)構(gòu)構(gòu)型的拓?fù)湓O(shè)計變量，以及3個約束條件：控制結(jié)構(gòu)優(yōu)化后質(zhì)量的體積約束、實現(xiàn)組件與支撐結(jié)構(gòu)間連接的MPC約束和FCM的非干涉約束，以數(shù)學(xué)模型形式可以表示為

(28)

式中：ηh為單元h的偽密度設(shè)計變量；Nd為設(shè)計單元的個數(shù)；ζjx、ζjy、ζjθ為第j個組件位置和轉(zhuǎn)角的幾何設(shè)計變量；Nc為組件的個數(shù)；Ng為非干涉約束的個數(shù)；V和V0分別為設(shè)計域的體積分?jǐn)?shù)及其上限值。為了防止結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣出現(xiàn)奇異，給偽密度設(shè)置一個下限值η0=0.001。

2.1 材料插值模型

實體各向同性微結(jié)構(gòu)懲罰(SIMP)模型是經(jīng)典的材料插值模型，由Bends?e和Sigmund[26]提出。但在動力學(xué)分析中，SIMP模型會導(dǎo)致局部模態(tài)問題[27]。針對這種問題，Sotlpe[28]和筆者團(tuán)隊[29]分別采用了材料屬性有理近似(RAMP)模型和多項式插值(PIS)模型。在本文中，采用PIS模型,即

(29)

式中：mh和kh分別為單元h的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；mh0和kh0為單元h在實體材料下的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。

2.2 靈敏度分析

將式(17)代入式(24)可得

(30)

假設(shè)

(31)

那么，式(30)可以簡化為

(32)

進(jìn)而，結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)關(guān)于設(shè)計變量的偏導(dǎo)數(shù)可以表示為

(33)

通過伴隨法[30]求解得到目標(biāo)自由度靜力分析位移us(sd)對設(shè)計變量的偏導(dǎo)為

(34)

式中：λa為拉格朗日乘子；Λ為伴隨矢量，且滿足a=KΛ。

由于H與偽密度設(shè)計變量ηh無關(guān)，因此

(35)

另外，當(dāng)組件在支撐結(jié)構(gòu)上移動時，系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣不發(fā)生改變，因此

{?K/?ρ=0

?M/?ρ=0ρ=ζjxorζjy

(36)

但是，當(dāng)組件在支撐結(jié)構(gòu)上轉(zhuǎn)動時，系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣將發(fā)生改變，并且與初始的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣滿足

(37)

式中：Kd、Kcj、Md和Mcj分別為支撐結(jié)構(gòu)和第j個組件初始的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；Aj為第j個組件的剛度和質(zhì)量變換矩陣。

經(jīng)過進(jìn)一步推導(dǎo)，us(sd)關(guān)于不同設(shè)計變量的偏導(dǎo)可以表示為

(38)

針對式(33)剩余部分偏導(dǎo)的求解，需要用到特征值和特征向量關(guān)于設(shè)計變量的偏導(dǎo)。因此，通過求解式(6)關(guān)于設(shè)計變量的偏導(dǎo)，可以求得

(39)

(40)

(41)

聯(lián)合式(6)、式(40)和式(41)可得

(42)

進(jìn)一步求解和化簡后可以得到

(43)

相應(yīng)的特征向量關(guān)于設(shè)計變量的偏導(dǎo)數(shù)可以表示為[21]

(44)

式中：

當(dāng)i≠r時

βi r=

(45)

當(dāng)i=r時

(46)

(47)

而

{xglobal=ζjx+xlocalcosζjθ-ylocalsinζjθ

yglobal=ζjy+xlocalsinζjθ+ylocalcosζjθ

(48)

式中：(xlocal,ylocal)為P1在組件局部坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

由于矩陣Aj由與ζjθ相關(guān)的坐標(biāo)變換矩陣組裝而成，因此，Aj對設(shè)計變量ζjθ的偏導(dǎo)數(shù)實際是矩陣各分量中三角函數(shù)對ζjθ的導(dǎo)數(shù)。

最后，可以通過下面的鏈?zhǔn)椒▌t求解目標(biāo)自由度位移幅值關(guān)于設(shè)計變量的靈敏度。

(49)

3 數(shù)值算例

3.1 帶組件的懸臂梁結(jié)構(gòu)

3.1.1 給定頻率下的簡諧力激勵

如圖3(a)所示，大小為1.2 m×0.6 m的矩形支撐結(jié)構(gòu),左端固定，上面有3個不同組件，每個組件的尺寸和MPC節(jié)點位置如圖3(b)所示。將支撐結(jié)構(gòu)劃分為80×40的殼單元網(wǎng)格，并在其右下角節(jié)點處施加幅值為5 kN的簡諧力，支撐結(jié)構(gòu)和組件采用相同的材料參數(shù)，具體見表1。

以載荷施加節(jié)點處豎直方向的位移響應(yīng)幅值最小為優(yōu)化目標(biāo)，并對優(yōu)化模型施加非干涉約束和40%的體積分?jǐn)?shù)上限約束。采用移動漸近線全局收斂算法(GCMMA)來求解該優(yōu)化問題。

圖3 簡諧力激勵下的優(yōu)化問題Fig.3 Optimization under harmonic force excitation

表1 支撐結(jié)構(gòu)和組件的材料參數(shù)Table 1 Material properties of supporting and components

材料編號彈性模量E/GPa泊松比μ密度ρ/(kg·m-3)Ⅰ2100.37800

將支撐結(jié)構(gòu)內(nèi)所有單元的偽密度初值賦為0.4。為了研究初始結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性，首先對其進(jìn)行模態(tài)和簡諧響應(yīng)分析。由圖4可知，在結(jié)構(gòu)的前4階模態(tài)中，只有第4階模態(tài)沿載荷方向振動，對目標(biāo)自由度的位移響應(yīng)幅值貢獻(xiàn)最大，因此第4階模態(tài)頻率是初始結(jié)構(gòu)的1階共振頻率。

圖4 初始結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)幅值和低階模態(tài)振型Fig.4 Displacement response amplitude and low order mode shapes of initial structure

給定簡諧力的激勵頻率ωp=70 Hz，低于初始結(jié)構(gòu)的1階共振頻率。作為比較，假設(shè)組件固定在初始位置，僅對支撐結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，優(yōu)化過程和最終優(yōu)化構(gòu)型如圖5所示。結(jié)果顯示，目標(biāo)自由度的位移響應(yīng)幅值由2.05 mm減小為0.055 4 mm，且支撐結(jié)構(gòu)和組件共同起到降低結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的作用。

在組件可以移動的情況下，對支撐結(jié)構(gòu)和組件進(jìn)行整體優(yōu)化，優(yōu)化過程和最終優(yōu)化構(gòu)型如圖6 所示。結(jié)果顯示，目標(biāo)自由度的位移響應(yīng)幅值由2.05 mm減小為0.052 4 mm。在優(yōu)化過程中，組件首先移動到合適的位置，然后在支撐結(jié)構(gòu)上逐漸形成一個包含組件的清晰傳力路徑。由于組件可以自由移動，因此更能獲得最優(yōu)的結(jié)構(gòu)構(gòu)型。

圖5 組件固定下的收斂過程Fig.5 Convergence history with fixed components

圖6 組件移動下的收斂過程Fig.6 Convergence history with moveable components

當(dāng)簡諧力的激勵頻率ωp=100 Hz，高于結(jié)構(gòu)的1階共振頻率時。經(jīng)過優(yōu)化，目標(biāo)自由度的位移響應(yīng)幅值由1.41 mm減小為0.004 29 mm。但在最終的優(yōu)化構(gòu)型中存在大量中間偽密度單元，結(jié)構(gòu)的固定端和加載點處非常薄弱，使得結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)性能很差(如圖7所示),并且，這種優(yōu)化構(gòu)型由于沒有清晰的材料分布，因此在結(jié)構(gòu)設(shè)計中也不具有參考性。

為了深入理解外部激勵頻率對優(yōu)化結(jié)果的影響，分別對初始結(jié)構(gòu)和前面3個優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡諧響應(yīng)分析，結(jié)果如圖8所示。在簡諧激勵下的優(yōu)化問題中，一個重要的目標(biāo)就是使結(jié)構(gòu)的共振頻率盡可能遠(yuǎn)離激勵頻率。因此，當(dāng)激勵頻率低于初始結(jié)構(gòu)共振頻率時，只有通過逐步提高結(jié)構(gòu)共振頻率才能夠避免產(chǎn)生共振。相反，當(dāng)激勵頻率高于初始結(jié)構(gòu)共振頻率時，在優(yōu)化過程中，結(jié)構(gòu)的共振頻率值會逐漸降低。

由圖8可知，當(dāng)激勵頻率為70 Hz時，2種優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的共振頻率分別由85.7 Hz提高到317.3 Hz和328.8 Hz。但當(dāng)激勵頻率為100 Hz時，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的共振頻率反而降低為68.2 Hz。

圖7 激勵頻率ωp=100 Hz時的優(yōu)化構(gòu)型Fig.7 Optimized configuration with given excitation frequency ωp=100 Hz

圖8 頻點激勵下初始和3種優(yōu)化結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)幅值 Fig.8 Displacement response amplitudes of initial and three optimized structures under certain frequency excitation

針對高于共振頻率下簡諧激勵存在的問題，Olhoff和Du[31]曾提出一種施加靜柔順度約束的方法。最近Olhoff和Du[32]又提出一種廣義增量頻率法用于解決無阻尼連續(xù)結(jié)構(gòu)在簡諧力激勵下的拓?fù)鋬?yōu)化問題。

3.1.2 頻段簡諧力激勵

在實際問題中，結(jié)構(gòu)通常受到的簡諧載荷頻率是在[ωA,ωB]范圍內(nèi)。針對這種載荷下的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，是以該頻段內(nèi)位移響應(yīng)幅值的積分最小為目標(biāo)，如式(50)所示，具體詳見文獻(xiàn)[20]。

(50)

在圖3帶組件的懸臂梁結(jié)構(gòu)上分別施加頻段為[0,100]、[0,200]和[0,400] Hz的簡諧力激勵，并允許組件在支撐結(jié)構(gòu)上移動。3種不同頻段下優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)構(gòu)型如圖9所示，可以看出，3種優(yōu)化構(gòu)型中，組件都能移動到合適位置，并參與降低結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)。圖10表示目標(biāo)函數(shù)的迭代過程，可以看出，優(yōu)化過程中目標(biāo)函數(shù)值均逐漸降低，并趨于收斂。

圖9 3種不同頻段激勵下的優(yōu)化構(gòu)型Fig.9 Optimized configurations at three different multi-frequency excitation

圖10 頻段激勵下目標(biāo)函數(shù)迭代過程Fig.10 Iteration history of objective function under multi-frequency excitation

圖11 頻段激勵下初始和3種優(yōu)化結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)幅值Fig.11 Displacement response amplitudes of initial and three optimized structures under multi-frequency excitation

同樣，對初始結(jié)構(gòu)和3種優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)分別進(jìn)行簡諧響應(yīng)分析，結(jié)果如圖11所示。相比于初始結(jié)構(gòu)，3種優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)在低頻處的位移響應(yīng)幅值都有所降低。另外，當(dāng)頻段范圍較小時，例如本例中的[0,100]和[0,200] Hz，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的1階共振頻率明顯提高，甚至超出了相應(yīng)激勵頻段上限值。但是結(jié)構(gòu)1階共振頻率的提高也是有限的，當(dāng)頻段范圍較大時，優(yōu)化將很難使其超出激勵頻段的上限值。

3.2 錐形圓柱艙結(jié)構(gòu)系統(tǒng)

圖12 錐形圓柱艙結(jié)構(gòu)系統(tǒng)Fig.12 Conic cylindrical cabin structure system

錐形圓柱艙結(jié)構(gòu)系統(tǒng)如圖12所示。結(jié)構(gòu)通過底框處均勻分布的8個節(jié)點進(jìn)行固定，簡諧力施加在一個等效的集中質(zhì)量點上，質(zhì)量點通過剛性單元與主體結(jié)構(gòu)連接，8個組件對稱分布在底框上。其中，框架、隔板、蒙皮及加強(qiáng)筋結(jié)構(gòu)的厚度分別為0.01, 0.012, 0.001 5和0.012 m，底框、頂框和隔板作為設(shè)計域，具體結(jié)構(gòu)尺寸如圖13所示。組件的有限元模型及MPC節(jié)點位置如圖14所示。所有結(jié)構(gòu)的材料屬性賦為表1中的材料Ⅰ。

圖13 設(shè)計域的詳細(xì)尺寸Fig.13 Detailed sizes of design domain

圖14 組件的有限元模型和連接節(jié)點Fig.14 Finite element models and connection nodes of components

每個組件的位置通過3個參數(shù)控制:① 組件局部坐標(biāo)系與系統(tǒng)整體坐標(biāo)系原點間的距離R，稱為極徑；② 極徑與整體坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的夾角θ，稱為極角；③ 組件局部坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)參數(shù)γ。其中，R和θ的變化可以通過坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)化為組件在x和y方向坐標(biāo)的變化，具體如圖15所示。

圖15 3個控制參數(shù)的示意圖Fig.15 Schematic of three control parameters

圖16 位移響應(yīng)幅值迭代曲線Fig.16 Iteration curves of displacement response amplitude

圖17 優(yōu)化構(gòu)型和組件布局Fig.17 Optimized configurations and layout of components

在加載點處施加頻率為80 Hz的簡諧力激勵(低于初始結(jié)構(gòu)1階共振頻率)，并以加載方向的位移響應(yīng)幅值最小作為優(yōu)化目標(biāo)，設(shè)計域中框架和隔板的體積分?jǐn)?shù)分別約束為60%和40%。經(jīng)過140步迭代，目標(biāo)函數(shù)最終收斂。圖16表示目標(biāo)函數(shù)迭代曲線，其中，位移響應(yīng)幅值由0.317 m下降為0.017 4 m。從圖17中可以看出，不僅組件移動到了合適的位置，同時設(shè)計域也獲得了清晰的拓?fù)錁?gòu)型。在該優(yōu)化問題中，隔板作為主要的承力構(gòu)件，其拓?fù)錁?gòu)型幾乎沿旋轉(zhuǎn)軸對稱分布。

對初始結(jié)構(gòu)和優(yōu)化結(jié)構(gòu)分別進(jìn)行頻率響應(yīng)分析，獲得的位移響應(yīng)幅值曲線如圖18所示?？梢钥闯觯粌H結(jié)構(gòu)的1階共振頻率由88.7 Hz提高到179.9 Hz，且位移響應(yīng)的峰值也有所降低。

圖18 初始結(jié)構(gòu)和優(yōu)化結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)幅值Fig.18 Displacement response amplitudes of initial and optimized structures

4 結(jié) 論

1) 本文建立了簡諧力激勵下多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，并對目標(biāo)函數(shù)關(guān)于設(shè)計變量的靈敏度進(jìn)行了推導(dǎo)。

2) 當(dāng)簡諧力激勵的頻率低于初始結(jié)構(gòu)的1階共振頻率時，經(jīng)過整體優(yōu)化可以獲得清晰的結(jié)構(gòu)構(gòu)型，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)不僅1階共振頻率提高，且位移響應(yīng)峰值也有所下降；當(dāng)激勵頻率在某一頻率范圍內(nèi)時，通過引入頻段優(yōu)化方法，經(jīng)過優(yōu)化同樣可以獲得清晰的結(jié)構(gòu)構(gòu)型并提高結(jié)構(gòu)的靜力性能。

3) 該整體優(yōu)化方法不僅針對帶組件的簡單二維懸臂梁結(jié)構(gòu)有效，同時對于與實際結(jié)構(gòu)接近的錐形圓柱艙結(jié)構(gòu)同樣可以優(yōu)化得到合理的構(gòu)型。

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