鏈?zhǔn)蕉噙呅闻c三角形的穩(wěn)定性的理想模型

☉湖北省武漢科學(xué)技術(shù)館 張忠斌

一直以來，在數(shù)學(xué)詞典中都找不到三角形的穩(wěn)定性的確切定義，現(xiàn)有各種版本的教材中給出的描述性定義也不統(tǒng)一，同時，給出的實驗?zāi)Ｐ鸵脖容^粗糙.本文擬提出鏈?zhǔn)蕉噙呅危⒁源藰?gòu)建一種有關(guān)三角形的穩(wěn)定性的理想模型，或可對認(rèn)識這一問題有所幫助.

一、教材中三角形的穩(wěn)定性描述

三角形的穩(wěn)定性一直是初中幾何的一個教學(xué)內(nèi)容.它早期出現(xiàn)在上海人民出版社1973年版《幾何》［1］.內(nèi)容如下：

我們先來做一個實驗：用木條釘一個三角形和一個四邊形的架子，如果拉動這兩個架子，就會發(fā)現(xiàn)三角形架子的形狀始終不變，而四邊形架子的形狀可以改變.這個事實說明，三角形具有一種使結(jié)構(gòu)不變的性質(zhì)，我們把這種性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.由于三角形具有穩(wěn)定性，采用三角形結(jié)構(gòu)，就能增加物體的堅固程度，而且又節(jié)約了材料，因此它在生產(chǎn)實踐中被廣泛地采用.

由吉林工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編的1973年版《幾何》［2］，對三角形的穩(wěn)定性的表述如下：

由定理3，我們知道一個三角形如果三邊固定下來，那么這個三角形的形狀就隨之固定下來了，就是說，外力不改變?nèi)切蔚男螤?，這就是所謂的三角形的穩(wěn)定性.

筆者讀初中所用的幾何課本是人教版1981年版《幾何》［3］.有關(guān)三角形的穩(wěn)定性的內(nèi)容與上述表述相當(dāng)，只是多畫了兩幅示意圖.內(nèi)容如下：

邊邊邊公理表明，只要三角形三邊的長度固定，這個三角形的形狀和大小就完全確定.例如，取三條長度適當(dāng)?shù)哪緱l，用釘子把它們釘成一個三角形，所得到的三角形的形狀和大小就固定（圖1）.三角形這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.這是三角形特有的性質(zhì).其他多邊形就沒有這種特性.例如，把四條長度適當(dāng)?shù)哪緱l訂成一個四邊形的架子，它的形狀是可以改變的（圖2）.

圖1

圖2

最新版本的人教版2013年版八年級《數(shù)學(xué)》［4］也有關(guān)于三角形的穩(wěn)定性知識點.該書沒有給出三角形的穩(wěn)定性定義，但卻得出了如下的一些提問和結(jié)論：

如圖3（1），將三根木條用釘子釘成一個三角形木架，然后扭動它，它的形狀會改變嗎？

如圖3（2），將四根木條用釘子釘成一個四邊形木架，然后扭動它，它的形狀會改變嗎？

如圖3（3），在四邊形木架上在釘一根木條，將它的一對不相鄰的頂點連接起來，然后扭動它，這時木架的形狀會改變嗎？為什么？

圖3

可以發(fā)現(xiàn)，三角形木架的形狀不會改變，而四邊形木架的形狀會改變.這就是說，三角形是具有穩(wěn)定性的圖形，而四邊形沒有穩(wěn)定性.

上述“用木條釘一個三角形和一個四邊形的架子”，這個驗證三角形的穩(wěn)定性的實驗?zāi)Ｐ惋@得很粗糙；一是釘子與木條是否都垂直，二是釘子與木條之間必定有很大的摩擦力，三是木條與木條之間也有一定的摩擦力.這三個因素都會阻礙木條的旋轉(zhuǎn)，于是就造成了操作時需要“拉動”，從而看起來像力學(xué)實驗一樣，容易造成幾何與力學(xué)的理解上的混亂.這個不良模型需要改進(jìn).

二、鏈?zhǔn)蕉噙呅渭叭切蔚姆€(wěn)定性的理想模型

為了討論三角形的穩(wěn)定性，有必要引入旋轉(zhuǎn)點和鏈?zhǔn)蕉噙呅胃拍?關(guān)于旋轉(zhuǎn)點，可以從角的動態(tài)定義和圓的一個定義中找到.一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形叫做角.所旋轉(zhuǎn)射線的端點叫做角的頂點.當(dāng)一條線段繞著它的一個端點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時，它的另一個端點的軌跡叫做圓.

借此可以定義旋轉(zhuǎn)點.空間上具有旋轉(zhuǎn)特性的點，叫做旋轉(zhuǎn)點.采用同心圓“ ”表示，內(nèi)圓表示旋轉(zhuǎn)點，外圓表示旋轉(zhuǎn)；或者借用圓心符號“⊙”來表示，內(nèi)中的點表示旋轉(zhuǎn)點，外圓表示旋轉(zhuǎn).上述角的頂點和圓心都是旋轉(zhuǎn)點.以下分別用“ ”和“⊙”表示角的頂點和角.如圖4所示.

圖4

這個圖形看起來像鐘表的兩個指針，可以繞軸旋轉(zhuǎn).也就是，頂點為旋轉(zhuǎn)點的角，其角度不是固定不變的.

由端點為旋轉(zhuǎn)點的線段組成的多邊形叫做鏈?zhǔn)蕉噙呅?那么，在所有的鏈?zhǔn)蕉噙呅沃?，只有三角形的形狀是不變?下面用旋轉(zhuǎn)點組成鏈?zhǔn)饺切魏玩準(zhǔn)剿倪呅?，旋轉(zhuǎn)點用“⊙”表示.如圖5所示.

圖5

比較圖4中的角和圖5中的鏈?zhǔn)饺切危梢钥闯?，如果讓頂點為旋轉(zhuǎn)點的角固定不變，可以連接這個角的兩條邊組成一個三角形，那么這個角就不會再改變了.實際中，將人字梯的兩個支撐梯的橫檔用一根繩子的兩端分別系住，展開繃緊，人字梯就穩(wěn)固了；一些圓規(guī)的設(shè)計也采用了這種原理.

下面筆者結(jié)合鏈?zhǔn)蕉噙呅翁岢鲚^為理想的實驗?zāi)Ｐ?

三角形的穩(wěn)定性的實驗?zāi)Ｐ停涸诠饣线m的木條兩端分別鉆直徑相等的孔，在木條與木條之間配上減少摩擦力的墊圈，再用相當(dāng)尺寸的銷子適當(dāng)鎖定，組成鏈?zhǔn)饺切魏玩準(zhǔn)剿倪呅?如圖6所示.

圖6

這里鉆的孔和銷子所組成的結(jié)構(gòu)就相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)點的結(jié)構(gòu).輕輕撥動這兩個木架，會發(fā)現(xiàn)三角形木架的形狀始終不變，而四邊形木架的形狀可以改變.也就是說，在鏈?zhǔn)蕉噙呅沃?，只有鏈?zhǔn)饺切蔚男螤罟潭ú蛔?鏈?zhǔn)饺切蔚倪@種性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.

如果將鏈?zhǔn)剿倪呅蔚囊粭l對角線連接起來，組成兩個鏈?zhǔn)饺切?，這樣的圖形其形狀也固定不變.這一點體現(xiàn)在理想實驗?zāi)Ｐ蜕?，則是用木條代替對角線，鉆孔鎖定.如圖7所示.

圖7

三、結(jié)束語

三角形的穩(wěn)定性同三角形的確定性［5］“給定三邊，則三角形唯一確定”命題有所聯(lián)系.另外，三角形的穩(wěn)定性也可以同余弦定理相聯(lián)系：已知三角形的三邊，根據(jù)余弦定理可以計算出三角形三個角的度數(shù).也就是說，給出三角形的三條邊，那么這個三角形的三個角都可以計算出來，相當(dāng)于這三個角也都給出了，從而鏈?zhǔn)饺切蔚男螤罟潭ú蛔?

三角形的穩(wěn)定性問題主要是特殊圖形的形狀是否存在不變性的問題，這類特殊圖形可稱之為鏈?zhǔn)蕉噙呅?本文得到的結(jié)論是：在鏈?zhǔn)蕉噙呅沃校挥墟準(zhǔn)饺切蔚男螤罟潭ú蛔兌哂蟹€(wěn)定性.

1.《初等數(shù)學(xué)》編寫組.《幾何》［M］.上海人民出版社，1973.

2.吉林工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編.《幾何》［M］.吉林工業(yè)大學(xué)，1973.

3.中小學(xué)數(shù)學(xué)編輯室編.《幾何》（第一冊）［M］.人民教育出版社，1981.

4.課程教材研究所等編著.《數(shù)學(xué)》（八年級上冊）［M］.人民教育出版社，2013.

5.張忠斌.三角形的確定性問題探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2017（5）.