淺析數(shù)學(xué)歸納法的思想原理及應(yīng)用

李佳霖

摘要：介紹了什么是數(shù)學(xué)歸納法，并通過與經(jīng)驗(yàn)歸納法對比，論證其科學(xué)性，探討數(shù)學(xué)歸納法的思想原理。以例題探討數(shù)學(xué)歸納法在解決問題時(shí)的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法 思想原理 應(yīng)用

引例：在多米諾骨牌，①只要第一塊骨牌倒下；②前一塊倒下能保證后面一塊骨牌倒下。那么整個(gè)多米諾骨牌都會(huì)倒下。數(shù)學(xué)歸納法，正是運(yùn)用了相似的思想。

一、數(shù)學(xué)歸納法的規(guī)范表述

a）對于任意正整數(shù)r，如果命題Ar為真，則可推出命題Ar+1為真；

b）第一個(gè)命題A1為真。

二、數(shù)學(xué)歸納法與經(jīng)驗(yàn)歸納法

其實(shí)，在遇到引言中內(nèi)角和的命題時(shí)，可以輕易驗(yàn)證前幾個(gè)是成立的?？梢岳^續(xù)驗(yàn)證，n不斷增大，而命題依然成立。但這并不是一般的規(guī)律。我們并不能這樣輕易認(rèn)定命題是否成立，這屬于經(jīng)驗(yàn)歸納法。這并不嚴(yán)謹(jǐn)，因?yàn)槲覀儾荒苡糜邢迋€(gè)命題的正確性直接代替無限個(gè)命題的正確性。數(shù)學(xué)歸納法則有嚴(yán)密的邏輯推理過程。雖然我們不用對每一個(gè)命題進(jìn)行驗(yàn)證證明，但在我們得以證明a）、b）步驟時(shí)，通過邏輯推理就能給出所有項(xiàng)都成立的結(jié)論了。

三、數(shù)學(xué)歸納法的思想原理

在面對類似于引言中的與自然數(shù)n相關(guān)的一系列命題時(shí)，一般有兩種思路，一種是找出這一系列命題其中的共同規(guī)律，一次性證明這所有命題。第二個(gè)思路就是數(shù)學(xué)歸納法，把無限個(gè)命題分開，找到其中的遞推關(guān)系，用已知命題的正確性證明后續(xù)命題，無限循環(huán)，進(jìn)而證明這一系列命題。我們可以注意到，遞推關(guān)系并不是只有 “Ar為真推證Ar+1為真”這一種，“Ar和Ar+1為真推證Ar+2為真”、“Ar為真推證Ar+2為真”也都是有可能的。這樣，我們的思路就可以更開闊一些了。

四、數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用

在解決數(shù)列問題時(shí)，常常遇到知道通項(xiàng)公式是什么卻無法證明的情況。這里不妨用歸納法解決。具體的解法是：①驗(yàn)證前兩項(xiàng)符合條件；也就像是引言中提到的，多米諾骨牌的第一塊倒下了②通過遞推公式說明若an滿足猜想，則an+1也滿足猜想；也就是前一塊多米諾骨牌倒了，后面一塊也一定會(huì)倒。下面有一道例題。例1（廣州高考題）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和滿足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N*，且S3=15。求：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

從上面的例子可以看出，對于求數(shù)列通項(xiàng)公式，如果能猜出通項(xiàng)公式，并且題目告知或者能間接推出遞推公式，用歸納法解題最為簡單。

應(yīng)用（2）證明不等式或等式

近年來證明不等式一直是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，不僅僅靈活多變，在平時(shí)解題中，往往難以找到突破口。此時(shí)運(yùn)用歸納法從特殊到一般的思想，往往能一招見奇效。需要注意的是，歸納法往往與其他方法混合使用，當(dāng)題目較為復(fù)雜時(shí)，常常要先用分析法順著題目條件找到證明解決問題比較簡單的數(shù)學(xué)形式，化簡條件或者問題中的式子，找到關(guān)鍵的共同點(diǎn)，再運(yùn)用“要證明……”，“只需證明……”最后將問題證明。

五、結(jié)語

數(shù)學(xué)歸納法一直是高考考場中的利器，在運(yùn)用時(shí)要注意先特殊，后一般的使用順序。從特殊轉(zhuǎn)化到一般的關(guān)鍵是找出前后兩項(xiàng)的遞推關(guān)系。此外，將數(shù)學(xué)歸納法與多米諾骨牌對比，能夠加深對其的理解，使解題更加流暢自如。

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（作者單位：牡丹江一中）endprint