巧用幾何畫板動(dòng)態(tài)分析磁場“縮放圓”和“旋轉(zhuǎn)圓”問題

明翔宇

摘 要：當(dāng)磁場中的帶電粒子速度大小或方向發(fā)生變化時(shí)，其在磁場中的軌跡圓將發(fā)生縮放或旋轉(zhuǎn)，這是物理教學(xué)中的重難點(diǎn)。為了突破這一難點(diǎn)，筆者通過不斷摸索和比較，發(fā)現(xiàn)應(yīng)用幾何畫板能非常方便地動(dòng)態(tài)展示和分析磁場中的“縮放圓”和“旋轉(zhuǎn)圓”問題。

關(guān)鍵詞：幾何畫板；磁場；縮放圓；旋轉(zhuǎn)圓；動(dòng)態(tài)圓

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2017）12-0052-4

帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)一直是高中物理教學(xué)中的重難點(diǎn)，特別是當(dāng)粒子的速度僅僅大小或方向變化時(shí)，其在磁場中的軌跡圓將會(huì)縮放或旋轉(zhuǎn)，由于涉及到較為抽象和復(fù)雜的幾何關(guān)系，很多學(xué)生無法建立正確的物理模型，導(dǎo)致此類問題的出錯(cuò)率較高。

為了解決這一難點(diǎn)，老師們通常會(huì)采用一個(gè)定圓模型來模擬軌跡圓的旋轉(zhuǎn)問題，但圓的縮放還是無法直觀展示，而且定圓模型也難以方便地展示其中的幾何關(guān)系。也有老師利用現(xiàn)代教育技術(shù)手段來模擬這個(gè)過程，其中若用Flash動(dòng)畫模擬，對老師信息技術(shù)專業(yè)要求較高，而用PowerPoint制作課件，又難以用動(dòng)畫展示其變化過程。筆者通過不斷地摸索和比較，發(fā)現(xiàn)用幾何畫板能非常方便地動(dòng)態(tài)展示和分析磁場中的“縮放圓”和“旋轉(zhuǎn)圓”問題。筆者根據(jù)粒子速度變化的情況進(jìn)行分類討論，詳細(xì)講解在幾何畫板中制作磁場動(dòng)態(tài)圓的方法。

1 縮放圓（粒子速度方向相同，大小不同）

問題引入 在無限寬廣的勻速磁場中，帶電粒子（不計(jì)重力）以任意大小的速度、沿特定方向垂直射入勻強(qiáng)磁場時(shí)，它們將在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌跡半徑隨速度的變化而變化，速度v0越大，運(yùn)動(dòng)半徑也越大。

在幾何畫板中，先畫出一條線段ab，在線段上再畫一點(diǎn)O，以a、O這兩點(diǎn)畫圓，構(gòu)造aO之間的線段為半徑，并構(gòu)造與之垂直的方向?yàn)樗俣确较?，移?dòng)圓心O，可以看到圓隨之縮放，如圖1所示，利用這個(gè)動(dòng)畫演示，可以給學(xué)生留下縮放圓的基本概念。

當(dāng)用鼠標(biāo)拖動(dòng)圓心O1時(shí)，我們已經(jīng)可以看到一個(gè)能隨意縮放的圓了。為了根據(jù)題意美化效果，我們需要把在磁場中的圓軌跡設(shè)置為實(shí)線，磁場外的部分設(shè)置為虛線。

（3）用“點(diǎn)工具”在軌跡圓與ab邊的交點(diǎn)上繪制一個(gè)點(diǎn)，并在磁場內(nèi)的圓軌跡上再繪制一個(gè)點(diǎn)，然后依次順時(shí)針選中交點(diǎn)、圓周上的點(diǎn)和O點(diǎn)，選擇“構(gòu)造”菜單中的“過三點(diǎn)的弧”；再用線段工具，在圓心O1和交點(diǎn)之間繪制線段，并設(shè)置為虛線，拖動(dòng)圓心，可以動(dòng)態(tài)展示軌跡圓與ab相交的區(qū)域，當(dāng)軌跡圓分別與ab和cd邊相切時(shí)，對應(yīng)著粒子能打在ab邊上的最小和最大軌跡圓半徑，如圖6和圖7所示；

2 旋轉(zhuǎn)圓（粒子的速度大小相同，方向不同）

問題引入 在無限寬廣的磁場中，帶電粒子以一定大小的速度、沿任意方向垂直射入勻強(qiáng)磁場時(shí)，它們將在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌跡半徑相同，改變速度方向，軌跡圓也隨之旋轉(zhuǎn)，相當(dāng)于軌跡圓的圓心也在繞入射點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。

在幾何畫板中，先畫點(diǎn)a，表示粒子源從a點(diǎn)沿不同方向以相同大小的速度射出同種粒子，過a點(diǎn)作出速度v的方向和洛倫茲力的方向，在洛倫茲力的方向上再畫一點(diǎn)作為圓心O，依次選中O點(diǎn)和a點(diǎn)作出軌跡圓，如圖9所示；拖動(dòng)O點(diǎn)，可以看到軌跡圓的旋轉(zhuǎn)情況，如圖10所示。

例2 真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0.6 T，磁場內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場方向平行，在距ab的距離l=16 cm處，有一個(gè)點(diǎn)狀的α放射源S，它向各個(gè)方向發(fā)射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106 m/s，已知粒子的電荷與質(zhì)量之比=5.0×10 C/kg，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動(dòng)的α粒子，求：ab上被α粒子打中的區(qū)域的長度。（圖12）

解析 本題需要突破的難點(diǎn)在于確定粒子擊中感光板ab的范圍，先可以作出任意速度方向的軌跡圓。在分析時(shí)應(yīng)注意根據(jù)半徑公式R=，計(jì)算得到粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑R=10 cm，即R

考慮粒子繞行方向是逆時(shí)針，則拖動(dòng)圓心O，可以很直觀地看到軌跡圓能擊中ab最右邊的交點(diǎn)到S的連線為一條直徑，如圖14所示。繼續(xù)逆時(shí)針拖動(dòng)圓心O，當(dāng)軌跡圓與ab相切時(shí)，切（上接第54頁）點(diǎn)是粒子能擊中的最左側(cè)的點(diǎn)，如圖15所示。求解兩個(gè)臨界狀態(tài)間交點(diǎn)間的距離，即可得到ab上被α粒子打中區(qū)域的長度。

值得提醒的是，在利用幾何畫板制作軌跡圓旋轉(zhuǎn)動(dòng)畫時(shí)，由于圓心O其實(shí)是繞粒子源S在一個(gè)圓周上運(yùn)動(dòng)的，因此，圓心O不能隨意繪制一個(gè)點(diǎn)，應(yīng)該先以S為圓心繪制一個(gè)圓，然后在圓周上繪制點(diǎn)O，隱藏掉該圓后，不管怎樣移動(dòng)O點(diǎn)，它都只能在該圓周上運(yùn)動(dòng)了。

幾何畫板由于其較為簡單易學(xué)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中給老師和學(xué)生們帶來了極大的便利。同時(shí)，由于物理規(guī)律大都有數(shù)學(xué)的依據(jù)，巧妙地把幾何畫板應(yīng)用于物理教學(xué)中，同樣也能達(dá)到事半功倍的效果。

（欄目編輯 王柏廬）