新課標背景下導數(shù)教學的實踐與反思

【摘要】導數(shù)是刻畫變化率問題的重要模型，在數(shù)學、物理及其他學科中有著廣泛的應用。但在中學階段，由于學生不具備極限等理論知識，因而在學習這一概念時會有很大的困難。那么在新課標背景下，教師應該如何把握教學的“度”，而學生又如何學習這部分內(nèi)容呢？這是值得我們每一位中學數(shù)學教師思考的問題。本文我將針對上述問題，結合自己在教學中的實踐提出幾點思考。

【關鍵詞】新課標 導數(shù) 實踐 反思

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）52-0179-03

為了描述現(xiàn)實世界中運動變化的現(xiàn)象，數(shù)學中引入了函數(shù)這一重要概念。通過對函數(shù)性質(zhì)的研究，我們把握事物變化的規(guī)律。對于基本初等函數(shù)，研究方法是通過圖像研究性質(zhì)。對于相對復雜的函數(shù)，導數(shù)成為了研究這類函數(shù)性質(zhì)非常重要的工具。導數(shù)有著豐富的實際背景，凡是變化率的問題，本質(zhì)上都是導數(shù)的問題。那么，在新課標下，如何學好導數(shù)這部分內(nèi)容呢？本文我將從以下幾個方面進行分析。

一、導數(shù)如何教

新課標高中數(shù)學教材對于導數(shù)的編排下了很大的功夫，并不是把數(shù)學分析中導數(shù)的內(nèi)容縮編后加以簡單下放，而是充分考慮到高中學生的認知水平和思維特點，考慮微積分思想與初等數(shù)學方法的共存，考慮到高中課程的學時分配，對導數(shù)的教學提出了明確而具體的要求，這就要求我們在教學中做到以下幾點：

1.強調(diào)過程，淡化概念

在數(shù)學分析中，導數(shù)內(nèi)容的安排順序是：數(shù)列的極限→函數(shù)的極限→函數(shù)的連續(xù)性→導數(shù)→導數(shù)的應用。而在人教版課本中，導數(shù)是由實際情境出發(fā)，沿著平均變化率→瞬時變化率→導數(shù)的概念→導數(shù)的幾何意義→導數(shù)的應用這一思路發(fā)展的，充分體現(xiàn)了由特殊到一般、由具體到抽象的數(shù)學研究方法。

設想一下，如果按照數(shù)學分析的方法講導數(shù)，函數(shù)的極限和函數(shù)的連續(xù)性不可避免，如果拋給高中生“對任意，存在一個使得當時，便有”這樣的問題，多少學生會感到絕望，學習導數(shù)的興趣從一開始就被澆滅了。因此，高中教材大膽逾越極限的嚴格定義，從兩個實際問題出發(fā)（氣球膨脹率問題和高臺跳水瞬時速度問題），經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景，知道導數(shù)即瞬時變化率，體會導數(shù)的思想及其內(nèi)涵。以變化率為核心，引導學生在知識發(fā)生發(fā)展的過程中，在解決認知沖突的矛盾中，在已有的平均變化率知識基礎上積極探索。

2. 突出應用，弱化嚴謹

數(shù)學是講究精確與嚴密的一門科學，數(shù)學的精確性表現(xiàn)在數(shù)學的邏輯推理和數(shù)學結論的確定無疑和無可爭辯。數(shù)學分析中的導數(shù)對概念、性質(zhì)和公式都有嚴格的定義和證明。但是在高中課程中，由于學生的知識結構和思維水平的局限性，導數(shù)內(nèi)容的嚴謹性必須要弱化，弱化的對象主要在導數(shù)的概念及其計算公式上。

事實上，《課標》中除了要求對五個基本初等函數(shù)的導數(shù)由瞬時變化率推導外，其它則只需能利用給出的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則進行計算，包括簡單的復合函數(shù)的求導法則也是直接給出公式的。這都說明在新教材中，強調(diào)的是對導數(shù)概念本質(zhì)的理解，真正的落腳點是希望學生能利用導數(shù)解釋生活中大量存在的變化率問題，而非這些公式的嚴格證明。因而教學中不必舍本逐末，對于本質(zhì)的問題應該迎難而上，對于推導公式的問題可以暫時緩緩。

3. 強調(diào)本質(zhì)，適度形式

“強調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”是新課標所倡導的數(shù)學課程的一個基本理念，此理念在導數(shù)這里體現(xiàn)的可謂是淋漓盡致。

在教學中，我們可從物理中的平均速度類比得到平均變化率，那么如何順利過渡到瞬時變化率呢？注意，這里出現(xiàn)了極限符號，這是導數(shù)概念教學的一個難點，對于此極限符號該講到什么程度呢？把握不好的話就牽涉到數(shù)學分析中的左極限、右極限了。實際上，對于高中生來講，最高效的解決方案就在課本中。

在高臺跳水問題中，先計算某一時間段內(nèi)的平均速度，然后時間間隔越來越小，學生在經(jīng)歷計算、觀察、比較、分析之后發(fā)現(xiàn)無論是從左邊還是右邊趨近一個時刻時，平均速度都會無限逼近一個確定的常數(shù)，這個常數(shù)實質(zhì)上就是這一時刻的瞬時速度。平均速度和瞬時速度的關系其實就是由平均變化率向瞬時變化率過渡的一個影子和模板。另外，下節(jié)在研究導數(shù)幾何意義時，我們又從圖形角度進一步理解極限和導數(shù)的本質(zhì)?？傊诟咧薪虒W中，完全沒有必要人為加深極限這一概念，重要的是透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，極限就是無限逼近的思想，導數(shù)就是一個確定的常數(shù)，是瞬時變化率，是在這個點處切線的斜率，反映在這個點附近函數(shù)的變化情況。

二、學生如何學

高中數(shù)學課程應注重培養(yǎng)學生的數(shù)學思維水平，恰恰微積分這部分內(nèi)容是非常好的契機。導數(shù)有著豐富的實際背景，且在研究函數(shù)性質(zhì)時相當好用，高二的學生對它可謂是愛不釋手?？墒橇硪环矫?，導數(shù)屬于微分領域，它的概念與本質(zhì)對于高中生仍然有一定的難度。那么，對于學生來說，應該如何把握呢？

1.聯(lián)系實際，抓住本質(zhì)

導數(shù)來源于生活，氣球的膨脹率問題就是人們的生活經(jīng)驗，物理學中處于運動狀態(tài)的物體就要分析速度及其加速度，化學中的平均反應速率問題，甚至行星的運動、熱傳導問題等等，本質(zhì)都是數(shù)學中的導數(shù)問題。導數(shù)解決的是函數(shù)的核心問題：函數(shù)到底是怎么變化的？它是增還是減？增減的范圍是什么？增減的快慢如何？我們最終得到的結果非常明了：由導數(shù)的符號可知函數(shù)是增還是減，由導數(shù)絕對值的大小可知函數(shù)變化得快還是慢。人教版2-2課本上有一道例題，雖然簡單，但很能說明問題。

例：將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果在第時，原油的溫度（單位：℃）為。計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義。

解析：這里還沒有學到導數(shù)的計算公式，通過計算瞬時變化率可得。意義是在第2h附近，原油溫度大約以3℃/h的速率下降；在第6h附近，原油溫度大約以5℃/h的速率在上升。endprint

再如，課本另一道練習題也恰如其分得說明了導數(shù)的本質(zhì)。

例：如圖，直線與圓C，當從開始在平面上繞點O按逆時針方向勻速轉動（轉動角度不超過90°）時，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時間t的函數(shù)，這個函數(shù)的圖象大致是（ ）。

解析：對于函數(shù)圖象高中生通常的做法是求出函數(shù)解析式，可是此題完全是根據(jù)變化率，即變化的快慢來解決的。

總之學生要想學好導數(shù)，不至于流于形式或者套路，必須得吃透這一本質(zhì)問題。

2.重視基礎，理清關系

學完導數(shù)的概念之后，緊接著就要利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，包括增減性、極值以及最值問題。無論是具體的函數(shù)還是實際問題抽象出來的函數(shù)解析式，在研究其性質(zhì)時，最起碼應該先求函數(shù)的定義域，這一點很多同學都失誤了，直接造成了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或者極值點出現(xiàn)錯誤。因此，高中數(shù)學中，應該重視基礎和解題習慣的養(yǎng)成。另外，對于增減性、極值及其最值，它們?nèi)咧g是息息相關的，比如對于增減性的研究等價于在定義域范圍內(nèi)解兩個不等式和；是函數(shù)有極值的必要不充分條件；在閉區(qū)間的最值來源只能是極值點或者端點處。理清這些關系，解決基礎問題就會信手拈來。

3.舉一反三，歸納反思

當能利用導數(shù)解決一些基礎問題時，千萬不可得意忘形。我們需要時時反思，解決一類問題的通法是什么？易錯點是什么？反思越多，對導數(shù)的理解就越深刻，進而對函數(shù)的理解就越深刻。函數(shù)才是數(shù)學的核心，導數(shù)只不過是研究函數(shù)性質(zhì)的工具而已。在高考所謂的壓軸題中，充分體現(xiàn)的是導數(shù)的工具性，真正的難點仍然在于函數(shù)本身，在于方程、函數(shù)、不等式之間的關系上。

三、導數(shù)如何用

1.利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

例：函數(shù)的零點的個數(shù)是_________。

解析：對于三次函數(shù)的研究是導數(shù)應用的一個很好的體現(xiàn)。對于三次函數(shù)的零點問題，只需畫出函數(shù)簡圖結果便一目了然。

定義域為R

可得或；當或時，；當時，。

因而在上遞增，在上遞減，在上遞增。

因而在處取得極大值，且，此時可做函數(shù)簡圖，由圖象可得此函數(shù)有且只有一個零點。

2.利用導數(shù)證明不等式

例：證明：當時，不等式恒成立。

解析：這類題通常的做法是構造新函數(shù)，求函數(shù)在已知區(qū)間上的最值，解答的關鍵在于找到函數(shù)在什么時候等于0。

構造函數(shù)，定義域為。

當時，恒大于0，因而在上單調(diào)遞增，所以，原不等式成立。

3.利用導數(shù)解決幾何問題

例：在上求一點P，使P到直線的距離最短？

解析：解析幾何中的距離問題有很多解法，對于拋物線來講，導數(shù)提供了一種非常便利的解法，這里利用的是導數(shù)的幾何意義。原理是將直線平移至與曲線相切的位置，此時切點恰好就是所求的點。

，可得，因而所求的點P 為（2，4）。

4.導數(shù)在函數(shù)綜合性問題中的使用

這類問題中著重體現(xiàn)的是導數(shù)的工具性，其核心是代數(shù)中函數(shù)、方程、不等式之間的關系，很多時候用到分類討論、數(shù)形結合、等價轉化等高中數(shù)學中重要的思想，具有一定難度。

例：（2015年寧夏高考題21）設函數(shù)。

（1）證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

（2）若對于任意，都有，求m的取值范圍。

解析：此題作為高考壓軸，難度很大，許多同學第（1）問都證不出來?？梢园l(fā)現(xiàn)，高考中的導數(shù)題目是跳脫常規(guī)的，必須要建立在對于函數(shù)的研究方法非常熟悉的基礎上。

定義域為R。

（1）當時，，明顯結論成立。

若，則當時，，，于是，則；當時，，，于是，則，因而結論成立。

若，則當時，，，于是，則；當時，，，于是，則，因而結論成立。

綜上，無論m取任何實數(shù)，原結論都成立。

（2）由（1）可知，對任意的m，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因而在處取到最小值。所以對于任意，的充要條件是，即。

構造函數(shù)，則，易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；又，因而當時，。

當時，，則充要條件成立；

當時，由的單調(diào)性，，即；

當時，，即。

綜上，m的取值范圍是。

以上只舉到了導數(shù)應用的一些方面，在具體解題中，還需仔細分析問題，發(fā)現(xiàn)難點，然后開動腦筋擊破難點，在平常做題的過程要注意歸納總結，體會高中數(shù)學中各種解題思想方法。

由平均速度到瞬時速度，由平均變化率到瞬時變化率，由割線斜率到切線斜率，這一過程非常漂亮，足可見新教材對于導數(shù)的編寫下的功夫。學生剛開始接觸導數(shù)的興奮也仍然歷歷在目，但是到了高三總復習階段學生對于導數(shù)的應用平淡無奇，含參量的問題非常容易出錯，稍復雜的問題感到無從下手，造成這些問題的根本原因還是高中生對于導數(shù)的理解并不到位，對于函數(shù)的研究仍然不得要領。因而在教學中，必須加強基礎概念的理解和深化，使得學生能從學數(shù)學到應用數(shù)學解決生活中的實際問題的轉化。對于這一目標，我們高中一線教師的道路還非常漫長。

參考文獻：

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[2]李倩 胡典順 趙軍.對新課程標準下微積分課程教學的思考[J].高等函授學報（自然科學版）.2008.

作者簡介：劉芳 （1983.8-）女 ，中學二級教師，大學本科，銀川唐徠回民中學，高中數(shù)學教育。endprint