通信網(wǎng)絡(luò)建模在高等數(shù)學(xué)課程中的滲透

張秀　張新

摘要：高等數(shù)學(xué)是一門通信工程專業(yè)的必修基礎(chǔ)課程，為后期通信專業(yè)課的學(xué)習(xí)提供必要的保障。為培養(yǎng)該專業(yè)學(xué)生的通信網(wǎng)絡(luò)建模思維及解決實(shí)際問題的能力，通過通信中典型的實(shí)例分析，分析數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造過程，并結(jié)合相應(yīng)的軟件編程開展對所建立模型的求解，強(qiáng)化了學(xué)生的建模思想，引起了強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)興趣，加深了對通信工程專業(yè)的理解和認(rèn)識。結(jié)果表明：在高等數(shù)學(xué)中融入通信網(wǎng)絡(luò)建模及求解的方式方法，得到了被試學(xué)生對象的認(rèn)可，提高了數(shù)學(xué)的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：通信網(wǎng)絡(luò)；數(shù)學(xué)建模；高等數(shù)學(xué)；條件極值

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）04-0198-02

引言

在我國，高等數(shù)學(xué)是各大高校理工科專業(yè)學(xué)生的必修課，也是為各理工科專業(yè)課程的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)的一門課程[1]。以往的教學(xué)，教師往往注重微積分、解析幾何及微分方程的理論講授，重在各種理論推演方法，這與學(xué)生的期望相悖。調(diào)查顯示，學(xué)生希望學(xué)到更多的與本專業(yè)有直接關(guān)聯(lián)的知識，而高等數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)課程，往往使學(xué)生感到枯燥乏味，提不起興趣[2]。為解決這一矛盾，許多專家學(xué)者開始探討在理工科課程教學(xué)中增加數(shù)學(xué)建模元素，可以一定程度地與實(shí)際相結(jié)合，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。在高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)過程中，融入數(shù)學(xué)建模的教學(xué)策略已經(jīng)被廣泛開發(fā)使用[3]。但對于通信工程專業(yè)來講，由于低年級大學(xué)生尚未學(xué)習(xí)通信系統(tǒng)和理論知識，通信網(wǎng)絡(luò)相關(guān)問題的建模很少用于高等數(shù)學(xué)的教學(xué)環(huán)節(jié)。因此，筆者研究了把通信網(wǎng)絡(luò)問題的建模引入高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，結(jié)合條件極值和相關(guān)軟件，加強(qiáng)對學(xué)生的建模思想和思維的訓(xùn)練。

一、概述

數(shù)學(xué)建模思想和思維對通信網(wǎng)絡(luò)的建模分析有積極的影響，特別是科研人員或研究生對構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力要求非常高，這是因?yàn)閷νㄐ畔到y(tǒng)性能的分析或信噪比、誤碼率、效能等指標(biāo)的定量分析都需要構(gòu)建相應(yīng)的問題模型。因此，從低年級開始對通信工程專業(yè)學(xué)生的建模能力和水平進(jìn)行培養(yǎng)和訓(xùn)練是非常必要的。筆者采用了以下兩個實(shí)例問題開展研究。

1.基站選址問題。假設(shè)在一個矩形區(qū)域進(jìn)行基站鋪設(shè)業(yè)務(wù)，計劃投資5000萬元來鋪設(shè)通訊中繼站。根據(jù)實(shí)際情況已經(jīng)找出7個候選位置作為中繼站的候選位置，而矩形區(qū)域包括15個社區(qū)[4]。由于每個基站只能覆蓋有限個社區(qū)，再加上區(qū)域內(nèi)地理位置、交通等環(huán)境條件的影響，每個基站的鋪設(shè)費(fèi)用以及覆蓋面積大小各不相同。要求在不超預(yù)算的情況下，找出最佳的鋪設(shè)方案使得盡可能地覆蓋區(qū)域內(nèi)的人口。

2.區(qū)域覆蓋問題。假設(shè)在一個正方形區(qū)域中有一個橢圓形的湖泊。除湖泊外的任何地點(diǎn)都可以增設(shè)節(jié)點(diǎn)，試構(gòu)建一個自組織網(wǎng)絡(luò)，將除湖泊外的地面部分用若干個圓全部覆蓋。要求相鄰的兩個圓的相交面積大于等于兩個圓中面積較大的圓的面積的5%，且全部圓的半徑的代數(shù)和為最小[5]。

二、實(shí)例問題在教學(xué)中的運(yùn)用

由于選取的實(shí)例是在一定的要求條件下，優(yōu)化單個目標(biāo)的問題，故應(yīng)當(dāng)結(jié)合高等數(shù)學(xué)中多元函數(shù)的極值章節(jié)來滲透。對于基站選址問題，考慮的是盡可能多地覆蓋區(qū)域內(nèi)的社區(qū)數(shù)量，而將投資預(yù)算定為不等式約束條件。另外，由于每個社區(qū)的人口密度不同，所以每個基站的覆蓋面積可以用人口密度作為權(quán)重，以突出人口密度大的基站應(yīng)該優(yōu)先鋪設(shè)的實(shí)際意義。

對于區(qū)域覆蓋問題，可采取分而治之的建模思想，考慮到目標(biāo)是使覆蓋區(qū)域的所有圓的半徑之和最小，故優(yōu)先使用半徑大的圓而不是半徑小的圓。因此，第一步是用容許半徑最大的圓對區(qū)域進(jìn)行覆蓋；第二步是刨除橢圓形湖泊的區(qū)域；第三步是對正方形區(qū)域的邊界進(jìn)行處理，對于大部分面積落在區(qū)域外部的圓進(jìn)行半徑縮減的處理。

建模完畢之后，講授條件極值的知識，包括充分必要條件和拉格朗日乘子法。對模型的求解既可以通過手算也可借助于Mathematica與Lingo數(shù)學(xué)軟件，對建立好的優(yōu)化模型進(jìn)行求解。如果在上述問題中增加實(shí)際條件，如基站選取位置時避開河流或高山、人口密集的區(qū)域增加覆蓋強(qiáng)度等，面對這些約束，僅僅使用手算難以解決?？梢詫?shù)學(xué)模型寫出，整理成Mathematica或Lingo軟件能夠分析的模式，輸入變量的范圍、目標(biāo)函數(shù)和約束條件的表達(dá)式，就能借助軟件求出最優(yōu)解決方案。為了驗(yàn)證是否是最優(yōu)的解決方案，可以把模型分別輸入到兩種軟件中，比對所得到的結(jié)果是否一致，如果一致說明結(jié)果有很大概率是最優(yōu)解；否則，就所得到的解，帶入數(shù)學(xué)模型，計算解的可行性和目標(biāo)函數(shù)值，從而得出哪一個軟件給出的解更好。求解過程不在此贅述。

三、教學(xué)效果

上述通信網(wǎng)絡(luò)實(shí)例建模問題在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中實(shí)施一段時間后，我們對授課學(xué)生進(jìn)行了回訪調(diào)查，經(jīng)過與教研組的專家和任課教師討論后，確定調(diào)查的問題如下：（1）基站選址和區(qū)域覆蓋問題的實(shí)例能否積極影響自己對通信專業(yè)的認(rèn)知？（2）兩個實(shí)例問題的教學(xué)能否增強(qiáng)自己對數(shù)學(xué)建模思維和思想的掌握？（3）數(shù)學(xué)軟件實(shí)驗(yàn)?zāi)芊駥Ω叩葦?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)起到幫助？每個問題有三個選項(xiàng)，分別是A.能、B.模棱兩可、C.不能。

經(jīng)過分析整理，調(diào)查結(jié)果如下：對問題（1），A、B和C選項(xiàng)的比例分別為71.29%、9.68%和19.03%；對問題（2），A、B和C選項(xiàng)的比例分別為83.87%、0.00%和16.13%；對問題（3），A、B和C選項(xiàng)的比例分別為83.87%、0.00%和16.13%。由此得知，超過七成的學(xué)生感到兩個實(shí)例問題的使用能積極影響自己對所學(xué)專業(yè)的認(rèn)知；大約接近兩成的人感受到負(fù)面影響，經(jīng)過個別訪談獲知，通信工程專業(yè)的學(xué)生在大學(xué)之前未接受過通信網(wǎng)絡(luò)及建模的訓(xùn)練，感覺被教學(xué)中采用的實(shí)例和建模思想“嚇到”了，甚至一聽到建模就不能集中精力聽講。對問題（2）和（3），超過八成的學(xué)生選擇了A，而B選項(xiàng)竟然沒有學(xué)生選擇，這表明大多數(shù)人都從這種教學(xué)策略中得到了有益的學(xué)習(xí)，認(rèn)可了這種滲透機(jī)制，同時表現(xiàn)出學(xué)生對盡早接觸本專業(yè)核心內(nèi)容的渴望。

四、結(jié)論

對通信工程專業(yè)的學(xué)生，通過在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，引入通信網(wǎng)絡(luò)的實(shí)例分析，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)建模方法和建模思維，初步形成解決本領(lǐng)域?qū)嶋H問題的認(rèn)知，結(jié)合高數(shù)中函數(shù)極值和條件極值等章節(jié)，以Mathematica和Lingo軟件作輔助，對所得到的模型進(jìn)行求解，并驗(yàn)證解決方案的優(yōu)劣，既加深了學(xué)生對極值問題的理解，磨練了數(shù)學(xué)軟件的使用，又培養(yǎng)了他們對實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的思維和思想，并對通信專業(yè)有了淺顯的認(rèn)識，為學(xué)生在該領(lǐng)域的自身發(fā)展奠定了良好的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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[3]劉洪霞，秦婧，郭花.數(shù)學(xué)建模思想滲入大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的試驗(yàn)研究[J].數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用，2015，（4）：61-65.

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[5]瞿勇，金裕紅，宋業(yè)新.LINGO在Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)區(qū)域覆蓋中的應(yīng)用[J].兵工自動化，2011，30（10）：58-60.endprint