巧作基準(zhǔn)平行線簡(jiǎn)解一類向量題

湖北省陽(yáng)新縣高級(jí)中學(xué)(435200) 鄒生書

向量集數(shù)與形于一身,向量的兩面性使得它在高中數(shù)學(xué)中有著不可替代的作用,向量有著豐富的內(nèi)涵與優(yōu)美性質(zhì).平面向量在高考、模擬考和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中是熱點(diǎn)考題,其中有一類以平面幾何圖形為背景,以向量線性關(guān)系為載體的一次式的取值問(wèn)題倍受命題人青睞,這類問(wèn)題最終都可轉(zhuǎn)化為如下一般性問(wèn)題:已知不共線向量和圖形Γ,點(diǎn)P是Γ上一定點(diǎn)或動(dòng)點(diǎn),且滿足,求λ+μ的值或取值范圍.這類試題多以選擇填空題形式出現(xiàn),題小靈巧解法多樣.試題呈現(xiàn)動(dòng)與靜相隨,數(shù)與形結(jié)合,向量與幾何交融,能力立意綜合性強(qiáng)難度大.本文先給出解決這類問(wèn)題的理論依據(jù)—等和線定理,然后對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行分類并結(jié)合試題解讀巧作基準(zhǔn)平行線運(yùn)用等和線定理簡(jiǎn)解這類平面向量問(wèn)題.

1.等和線定理

定理已知不共線向量,點(diǎn)P滿足,過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線l分別交直線OA,OB于點(diǎn)A1,B1,設(shè)過(guò)點(diǎn)A的任一直線分別交直線AB和直線l于點(diǎn)M,M1.當(dāng)直線l與AB在點(diǎn)O同側(cè)時(shí),;當(dāng)直線l與AB在點(diǎn)O兩側(cè)時(shí),.

2.作基準(zhǔn)平行線用等和線定理解題舉例

下面對(duì)基底向量與表示向量的動(dòng)態(tài)情況進(jìn)行題型分類,然后通過(guò)經(jīng)典試題說(shuō)明作基準(zhǔn)平行線運(yùn)用等和線定理可以簡(jiǎn)單快捷地解答這類向量問(wèn)題.

2.1 定基底定向量型

例1(2015年寧波鎮(zhèn)海中學(xué)高考仿真模擬題第15題)在梯形ABCD中,AB//CD,AB=2CD,M,N分別為CD,BC的中點(diǎn),若,則λ+μ=____.

解如圖2,連結(jié)DB,MN,連結(jié)AC分別交DB,MN于點(diǎn)E,F.由三角形中位線定理得DB//MN,因?yàn)?由等和定理得

圖2

圖3

例2(2017年秋季湖北省重點(diǎn)高中聯(lián)考協(xié)作體期中考試高三數(shù)學(xué)理科第11題)G為△ADE的重心,點(diǎn)P為△DEG內(nèi)部(含邊界)上任意一點(diǎn),B,C分別為AD,AE上的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A),,則αβ的最大值是( )

解如圖3,過(guò)點(diǎn)P作基準(zhǔn)線BC的平行線l.當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)M時(shí),由等和定理知最大,又由三角形重心定理知

例3(2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽湖北省預(yù)賽高一第7題)在△ABC中,已知AC=3,AB=BC=2.設(shè)O是△ABC的內(nèi)心,若,則p∶q=____.

圖4

解如圖4,連OA,OB,因?yàn)镺是△ABC的內(nèi)心,所以O(shè)A,OB分別平分∠BAC和∠ABC.延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)D,因?yàn)锳B=AC,所以點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn),作OE//BC交AC于點(diǎn)E.因?yàn)锳O是△ABD的內(nèi)角平分線,由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理得

2.2 定基底動(dòng)向量型

例4(2009年高考安徽理科第14題)如圖5,給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的兩個(gè)向量,它們的夾角為120°,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng),若,其中x,y∈R,則x+y的最大值是____.

解如圖5,連結(jié)AB,過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線l,由等和定理知:當(dāng)直線l與圓弧AB相切于點(diǎn)N時(shí),最大.其中M是ON與AB的交點(diǎn),易求得

故x+y的最大值是2.

圖5

圖6

例5如圖6,正六邊形ABCDEF中,P是△CDE內(nèi)及其邊界上的動(dòng)點(diǎn),設(shè),則α+β的取值范圍是____.

解如圖6,連接BF,則CE//BF,過(guò)點(diǎn)P作BF的平行線l.由定理知:當(dāng)直線l與CE重合時(shí)最小;當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)D時(shí),最大.故α+β的取值范圍是[3,4].

例6(2011年南昌聯(lián)考試題)已知P是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)(不包括三角形邊上的點(diǎn)),且滿足,則n?2m的取值范圍是____.

圖7

圖8

例7(2017年高考課標(biāo)卷III理科第12題)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若,則λ+μ的最大值為( )

解如圖8,設(shè)圓與BD相切于點(diǎn)E,連結(jié)CE,則CE⊥BD,由面積法得圓的半徑

過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作基準(zhǔn)線BD的平行線l,當(dāng)l與圓相切于另一點(diǎn)F時(shí),過(guò)點(diǎn)A作l的垂線分別交直線BD和l于G,H,由等和定理得

最大,故選A.

例8(2016年紹興市一模第14題)已知正△ABC的邊長(zhǎng)為1,向量,且,則動(dòng)點(diǎn)P所形成的平面區(qū)域的面積是___.

圖9

解如圖9,作△ABC的中位線DE,延長(zhǎng)AB至F使BF=AD,延長(zhǎng)AC至G使CG=AE,取FG的兩個(gè)三等分點(diǎn)H,M.由等和定理知,當(dāng)點(diǎn)P在直線DE時(shí)

例9(2016年寧波市一模第15題)在△OAB中,已 知, 若,且λ+2μ=2,則上的投影的取值范圍是____.

解由,得

如圖10,取OB的中點(diǎn)D,連結(jié)AD,則,于是.過(guò)點(diǎn)B作AD的平行線交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,由等和定理知,當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上時(shí),.

圖10

例10(2013年高考安徽理科第9題)在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),兩定點(diǎn)A,B滿足,則點(diǎn)集所表示的區(qū)域的面積是( )

圖11

解因?yàn)?所以

所以選D.

2.3 動(dòng)基底定向量型

例11如圖12,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M,N分別為線段BC,CD上的動(dòng)點(diǎn),且滿足,若,則x+y的最小值為_(kāi)__.

圖12

解過(guò)點(diǎn)C作CF⊥MN垂足為F,由

當(dāng)EC=1最小時(shí),AE=4最大,從而最小.

例12如圖13,在正方形ABCD中,E為AB中點(diǎn),P是以A為圓心AB為半徑的圓弧BD上任意一點(diǎn),設(shè),則x+y的最大值為_(kāi)___.

圖13

解如圖13,作EF⊥AB且EF=AD,連接FA,FD.設(shè)AC交FP,FD于點(diǎn)G,H,設(shè)FD交AB于點(diǎn)M.易證AFED是平行四邊形,則得

由圖知AG≥AH,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)AG=AH.因?yàn)锳FED是平行四邊形,所以AM=ME,又AM//DC,所以,從而,故x+y的最大值為5.

等和線法本質(zhì)上與二元線性規(guī)劃問(wèn)題中求線性目標(biāo)函數(shù)的最值或取值范圍的圖解法完全類似,用的都是平行線法.用等和定理作基準(zhǔn)線的平行線,將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)處理,最后主要運(yùn)用平行線分線段成比例定理求線段比值,從而得出所求值或取值范圍使問(wèn)題得以解決.用等和線法求這類向量問(wèn)題的值或值域,起點(diǎn)高落點(diǎn)低,高觀點(diǎn)低運(yùn)算,解法形象直觀,一旦掌握則答案唾手可得.