一道高考題的解法、背景與推廣探究

鄒生書

2017年高考上海數(shù)學(xué)卷第12題是一道能力型試題，題目背景深厚設(shè)問精巧，重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)語(yǔ)言的閱讀理解能力、化歸轉(zhuǎn)化能力以及分析問題和解決問題的能力.下面是筆者對(duì)這道試題的解法、背景和問題拓展探究的思維歷程，希望對(duì)讀者有所裨益.

題目如圖1，用35個(gè)單位正方形拼成一個(gè)矩形，點(diǎn)P1，P2，P3，P4 以及四個(gè)標(biāo)記為“Δ ”的點(diǎn)在正方形頂點(diǎn)處，設(shè)集合Ω={P1，P2，P3，P4}，點(diǎn)P∈Ω，過P作直線lP，使得不在lP上的“Δ ”上的點(diǎn)分布在lP的兩側(cè).用D1（lP），D2（lP）分別表示lP一側(cè)和另一側(cè)的“Δ ”上的點(diǎn)到lP的距離之和.若過P的直線lP中有且只有一條滿足D1（lP）=D2（lP），則Ω中所有滿足這樣的點(diǎn)P為.

圖11坐標(biāo)法，幾何問題代數(shù)化

分析本題表達(dá)較長(zhǎng)，數(shù)與形結(jié)合，抽象符號(hào)與文字語(yǔ)言相融，對(duì)閱讀理解能力、化歸轉(zhuǎn)化能力以及分析問題和解決問題能力的要求較高，是一道能力立意壓軸的試題.

解決問題的突破口在哪里？由點(diǎn)到直線的距離之和及正方形網(wǎng)格等信息，容易想到用坐標(biāo)法求解.坐標(biāo)法關(guān)鍵是建立合適的坐標(biāo)系，由題設(shè)網(wǎng)格知關(guān)鍵是選擇坐標(biāo)原點(diǎn)的位置.本題宜用一般化思想處理，以四點(diǎn)中某個(gè)點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，解法如下.

解法1以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以經(jīng)過點(diǎn)P的單位正方形的邊所在直線分別為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系.

當(dāng)直線lP垂直x軸時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)知當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與P2重合時(shí)滿足D1（lP）=D2（lP）.

當(dāng)直線lP不垂直于x軸時(shí)斜率存在，設(shè)其方程為y=kx，設(shè)直線lP兩側(cè)分別有m個(gè)點(diǎn)（xi，yi）（i=1，2，…，m）和n個(gè)點(diǎn)（aj，bj）（j=1，2，…，n），且m+n=4.依題意得

kx1-y11+k2+…+kxm-ym1+k2=ka1-b11+k2+…+kan-bn1+k2.

至此，通過坐標(biāo)法由點(diǎn)到直線距離公式將抽象的距離等式D1（lP）=D2（lP）變成了代數(shù)等式，去分母得kx1-y1+…+kxm-ym=ka1-b1+…+kan-bn.

接下來的問題就是怎樣去掉絕對(duì)值符號(hào)？因?yàn)辄c(diǎn)（xi，yi）和點(diǎn)（aj，bj）在直線y=kx兩側(cè)，由線性規(guī)劃的知識(shí)我們知道kxi-yi與kaj-bj異號(hào)，于是有

（kx1-y1）+…+（kxm-ym）+（ka1-b1）+…+（kan-bn）=0，

整理得k（x1+…+xm+a1+…+an）=y1+…+ym+b1+…+bn①.

這個(gè)等式如何使用？能給我們帶來什么？似乎山窮水盡疑無路.這個(gè)等式是關(guān)于k的方程，因?yàn)檫^點(diǎn)P的直線lP中有且只有一條滿足D1（lP）=D2（lP），所以這個(gè)關(guān)于k的方程有唯一解，當(dāng)且僅當(dāng)x1+…+xm+a1+…+an≠0，即四個(gè)標(biāo)記為“Δ ”的點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和不為零.至此，云散霧盡，柳暗花明.經(jīng)檢驗(yàn)知當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P2重合時(shí)橫坐標(biāo)之和為零不合題意.

綜上可知Ω中所有滿足這樣的點(diǎn)P有三個(gè)它們是P1，P3，P4.

2探索幾何背景，尋求幾何解法

從上述解析法所得到結(jié)論入手探索幾何背景.由解法1知，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P2重合時(shí)x1+…+xm+a1+…+an=0，即橫坐標(biāo)之和為零，由①得y1+…+ym+b1+…+bn=0，即縱坐標(biāo)之和也為零，故點(diǎn)P2是這四個(gè)“Δ ”的點(diǎn)幾何重心，從這道高考題的結(jié)果可知經(jīng)過重心P2的任意一條直線lP均滿足D1（lP）=D2（lP），于是有如下幾何解法.

解法2（幾何法）如圖2，設(shè)四個(gè)標(biāo)記為“Δ ”的點(diǎn)構(gòu)成四邊形ABCD，設(shè)邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H.易證四邊形EFGH為平行四邊形，設(shè)其對(duì)角線交點(diǎn)為O.設(shè)l是經(jīng)過點(diǎn)O的任意一條直線，則分布在l兩側(cè)且不在l上的點(diǎn)A，B，C，D與l的位置關(guān)系有如下兩種情形：兩側(cè)各兩點(diǎn)，一側(cè)一個(gè)點(diǎn)另一側(cè)三個(gè)點(diǎn).

圖2（1）當(dāng)A，B，C，D在直線l兩側(cè)各有兩點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)兩側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)分別為A，B和C，D.如圖3，由梯形中位線定理易證同側(cè)A，B兩點(diǎn)到直線l的距離之和等于AB中點(diǎn)E到線l的距離的兩倍，記為hA+hB=2hE，同理hC+hD=2hG，又O為EG中點(diǎn)，則hE=hG，所以hA+hB=hC+hD.

圖3（2）當(dāng)A，B，C，D在直線l一側(cè)一個(gè)點(diǎn)另一側(cè)三個(gè)點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)一側(cè)的三個(gè)點(diǎn)分別為A，B，D.如圖4，不妨設(shè)CD的中點(diǎn)G與點(diǎn)C在直線l同側(cè)，過點(diǎn)D作l′∥l，由三角形中位線定理得C點(diǎn)到直線l′的距離等于CD中點(diǎn)G到直線l′的距離的兩倍，即h′C=2h′G，又由圖知h′C=hC+hD，h′G=hG+hD，于是有hC+hD=2（hG+hD），即hC-hD=2hG.又O為EG中點(diǎn)，所以hE=hG，則hA+hB=hC-hD，即hA+hB+hD=hC.

綜上可知，A，B，C，D分布在l兩側(cè)上的點(diǎn)到l的距離之和相等.

圖4由圖2易證點(diǎn)P2就是點(diǎn)O，故過點(diǎn)P2滿足D1（lP）=D2（lP）的直線有無數(shù)條，而經(jīng)過點(diǎn)O和P1，P3，P4中任一點(diǎn)的直線滿足D1（lP）=D2（lP）且唯一，故Ω中所有滿足這樣的點(diǎn)P為P1，P3，P4.

3數(shù)理結(jié)合，推廣拓展

重心是物理學(xué)中的概念，圖形的重心是幾何概念，兩者之間既有區(qū)別也有聯(lián)系，質(zhì)量均勻物體的物理重心就是它的幾何重心.可見物理重心是幾何重心的實(shí)際背景.下面用物理重心的有關(guān)概念和杠桿原理證明三角形重心定理和平面四邊形重心定理.

3.1三角形重心定理

三角形三條中線相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的重心，重心到各頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍.

證明設(shè)A，B，C是質(zhì)量均為1的三個(gè)質(zhì)點(diǎn)，由物理重心知識(shí)知B，C兩質(zhì)點(diǎn)的重心就是線段BC的中點(diǎn)D，也就是說B，C兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)在力的效果上相當(dāng)于質(zhì)量為2的質(zhì)點(diǎn)D.于是A，B，C三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重心G就是質(zhì)點(diǎn)A，D的重心，所以點(diǎn)G在線段AD上，由杠桿原理得AG=2DG.同理重心G也在中線BE和CF上，且有BG=2GE，CG=2GF.故原命題正確.endprint

3.2四邊形重心定理

平面內(nèi)任意四邊形各邊中點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，并且平行四邊形的中心就是這個(gè)四邊形的重心.

證明設(shè)四邊形的頂點(diǎn)A，B，C，D是質(zhì)量均為1的質(zhì)點(diǎn)，由物理重心知識(shí)知A，B兩質(zhì)點(diǎn)的重心就是線段AB的中點(diǎn)E，也就是說A，B兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)在力的作用效果上相當(dāng)于質(zhì)量為2的質(zhì)點(diǎn)E.C，D兩質(zhì)點(diǎn)的重心就是線段CD的中點(diǎn)G，也就是說C，D兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)在力的作用效果上相當(dāng)于質(zhì)量為2的質(zhì)點(diǎn)G.于是質(zhì)點(diǎn)A，B，C，D的重心O就是質(zhì)量均為2的質(zhì)點(diǎn)E，G的重心，也就是線段EG的中點(diǎn).同理，設(shè)線段BC，DA的中點(diǎn)分別為F，H，則質(zhì)點(diǎn)A，B，C，D的重心O也是FH的中點(diǎn)，由此知線段EG，F(xiàn)H互相平分，所以四邊形EFGH是平行四邊形，故命題結(jié)論正確.

另一方面，我們知道，在坐標(biāo)平面內(nèi)，三角形重心的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別是三個(gè)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù).線段的中點(diǎn)實(shí)際上就是這條線段的重心，而線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別是兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù).由此我們猜想：坐標(biāo)平面內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)集的重心的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別是這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù).

下面證明平面內(nèi)質(zhì)量均勻的有限個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重心坐標(biāo)公式.

3.3定理

若Pi（xi，yi）（i=1，2，…，n，n≥2）是坐標(biāo)平面內(nèi)質(zhì)量為1個(gè)質(zhì)量單位的n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則這n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的重心是（1n∑ni=1xi，1n∑ni=1yi）.

證明（用數(shù)學(xué)歸納法）（1）當(dāng)n=2時(shí)，質(zhì)量均為1個(gè)質(zhì)量單位的質(zhì)點(diǎn)P1，P2的重心就是線段P1P2的中點(diǎn)（x1+x22，y1+y22），結(jié)論正確.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)結(jié)論正確.則平面內(nèi)質(zhì)量均為1個(gè)質(zhì)量單位的k個(gè)質(zhì)點(diǎn)P1，P2，…，Pk的重心為G′（1k∑ki=1xi，1k∑ki=1yi）.當(dāng)n=k+1時(shí)，這k+1個(gè)質(zhì)量均為1個(gè)質(zhì)量單位的質(zhì)點(diǎn)的重心，可以當(dāng)作是質(zhì)量為k個(gè)單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)G′與質(zhì)量為1個(gè)質(zhì)量單位的質(zhì)點(diǎn)Pk+1的重心G.由重心概念和杠桿原理知，點(diǎn)G在線段G′Pk+1上且滿足Pk+1G=k·GG′，則Pk+1G=k·GG′，所以O(shè)G-OPk+1=k（OG′-OG），可得

OG=OPk+1+kOG′1+k

=（xk+1，yk+1）+k（1k∑ki=1xi，1k∑ki=1yi）1+k

=（1k+1∑k+1i=1xi，1k+1∑k+1i=1yi），

即點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1k+1∑k+1i=1xi，1k+1∑k+1i=1yi），故當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論正確.

綜上可知，命題成立.

上述質(zhì)量均勻的質(zhì)點(diǎn)的重心坐標(biāo)公式實(shí)際上就是平面內(nèi)有限點(diǎn)集重心坐標(biāo)定義的物理背景.將上海這道考題進(jìn)行拓展推廣可得平面內(nèi)有限點(diǎn)集的重心有如下性質(zhì).

3.4平面有限點(diǎn)集重心的性質(zhì)

若Pi（xi，yi）（i=1，2，…，n）是坐標(biāo)平面內(nèi)的n個(gè)點(diǎn)，則點(diǎn)G（1n∑ni=1xi，1n∑ni=1yi）叫做這n個(gè)點(diǎn)的幾何重心簡(jiǎn)稱重心.若點(diǎn)G是點(diǎn)集{P1，P2，…，Pn}的重心，則（1）GP1+GP2+…+GPn=0；（2）設(shè)l是經(jīng)過點(diǎn)G的任意一條直線，則在直線l兩側(cè)上的點(diǎn)到l的距離之和相等.

證明（1）GP1+GP2+…+GPn=（OP1-OG）+（OP2-OG）+…+（OPn-OG）=（OP1+OP2+…+OPn）-nOG=（x1，y1）+（x2，y2）+…+（xn，yn）-n（1n∑ni=1xi，1n∑ni=1yi）=（x1+x2+…+xn，y1+y2+…+yn）-（∑ni=1xi，∑ni=1yi）=（0，0）=0.

（2）以重心G為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系G-xy，設(shè)過點(diǎn)G的直線l的一般式方程為ax+by=0，其中a，b為常數(shù)且不同時(shí)為零.顯然，若點(diǎn)（x，y）在直線l上則ax+by=0.由線性規(guī)劃的知識(shí)知，若點(diǎn)（x1，y1）與點(diǎn)（x2，y2）分別在直線l兩側(cè)，則ax1+by1與ax2+by2異號(hào).設(shè)在這n個(gè)點(diǎn)中使得ax+by≥0的點(diǎn)有m個(gè)點(diǎn)（xi，yi）（i=1，2，…，m），那么這m個(gè)點(diǎn)在直線l的同一側(cè)上或在這條直線上，使得ax+by<0的點(diǎn)有p個(gè)點(diǎn)（aj，bj）（j=1，2，…，p），那么這p個(gè)點(diǎn)在直線l的另一側(cè)上，且滿足m+p=n.

依題意只要證ax1+by1a2+b2+…+axm+byma2+b2=aa1+bb1a2+b2+…+aap+bbpa2+b2，只要證ax1+by1+…+axm+bym=aa1+bb1+…+aap+bbp，又axi+byi≥0，aaj-bbj<0，

所以只要證（ax1+by1）+…+（axm+bym）+（aa1+bb1）+…+（aap+bbp）=0，只要證a（x1+…+xm+a1…+ap）+b（y1+…+ym+b1…+bp）=0.因?yàn)樵c(diǎn)G是這m+p=n個(gè)點(diǎn)的重心，所以1n（x1+…+xm+a1…+ap）=0，1n（y1+…+ym+b1…+bp）=0，于是a（x1+…+xm+a1…+ap）+b（y1+…+ym+b1…+bp）=0成立，從而原命題正確.endprint