深空環(huán)境下三星庫侖編隊重構(gòu)控制研究*

吳立堯 袁長清

(空軍航空大學飛行器與動力系,長春 130022)

引言

King等[1]在2002年首次提出衛(wèi)星庫侖力編隊的概念,即通過使衛(wèi)星帶電(正電或負電)形成排斥力或吸引力,通過設計適當?shù)目刂坡蓙砜刂菩l(wèi)星編隊的構(gòu)型、姿態(tài)、距離等以完成預期任務.從此庫侖力衛(wèi)星編隊技術(shù)成為一種新興的編隊技術(shù)以其極大的優(yōu)勢引起了國內(nèi)外學者的廣泛研究.

由于三體及多體衛(wèi)星編隊存在衛(wèi)星之間的耦合問題,這給控制過程帶來了很多難題,國內(nèi)外多為在地球同步軌道處的二體編隊研究,三星庫侖編隊研究很有限.Berryman[2]提出一種解析求平衡電量的方法.針對兩結(jié)點直線構(gòu)形和三結(jié)點等邊三角形構(gòu)形的庫侖虛擬結(jié)構(gòu),得到了緊湊形式的平衡電量解析表達式.Hussein等[3]于2007年首次研究庫侖虛擬結(jié)構(gòu)的反饋控制問題.考慮三結(jié)點共線虛擬結(jié)構(gòu),導出了共線三星自旋系統(tǒng)的穩(wěn)定方程,應用線性化相對動力學方程設計了電荷反饋控制律,提高了系統(tǒng)共線虛擬系統(tǒng)的穩(wěn)定性.Wang和Schaub[4]對在自由空間中受庫侖力影響的帶電固定三角形三衛(wèi)星的位置控制進行了研究.不同于文中討論的共線星體平衡電荷分布的配置方案,普通三角位形星體沒有能達到平衡狀態(tài)的電荷分布方案,即并不是所有三角形的三邊長度都可以通過庫侖力來進行控制的.Schaub和Hussein[5]針對三個航天器對稱編隊構(gòu)形,應用線性控制理論,設計了反饋控制律,并討論閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性.Hogan和Schaub[6]研究了三星庫侖共線編隊在庫侖力的控制下的固定形狀條件解.但是這些文獻都沒有考慮外界環(huán)境對于編隊的干擾影響和德拜效應對于編隊內(nèi)部庫侖力的影響.國內(nèi)在三體衛(wèi)星編隊問題研究剛處于起步階段,多為二體衛(wèi)星研究.張皓和師鵬[7]在兩星問題結(jié)論的基礎上,通過對開環(huán)控制和閉環(huán)控制的仿真分析,給出了利用庫侖力技術(shù)實現(xiàn)懸停軌道的實施方案.黃靜[8]研究了二星編隊在地月L2點附近的旋轉(zhuǎn)二體庫侖衛(wèi)星的相對運動控制問題.另外黃靜[9]針對于平動點附近處二體繩系系統(tǒng)姿軌耦合控制問題,首先采用歐拉-拉格朗日方程對二體衛(wèi)星建模,設計了非線性二次型最優(yōu)控制器實現(xiàn)了對二體繩系系統(tǒng)的長周期穩(wěn)定控制.王婷和張羽飛[10]分析了立體五星編隊在靜電力和萬有引力作用下的靜態(tài)構(gòu)型,并采用線性二次型最優(yōu)控制方法保持編隊的靜態(tài)構(gòu)型穩(wěn)定并實現(xiàn)了編隊飛行控制仿真.在控制器的選擇上,上述文獻多為簡單的反饋控制,對于存在外界干擾的不確定項,常規(guī)的反饋控制系數(shù)難以整定,基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡的PID控制[11]在控制效果與穩(wěn)定性上都優(yōu)于傳統(tǒng)反饋控制器.

針對于上述研究的不足,本文選取地月平動點L2處作為問題背景,考慮外界環(huán)境干擾作用和德拜效應對庫侖編隊的影響,推導出深空環(huán)境下較精確的三星庫侖編隊的動力學模型,并設計了基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡的PID控制方法,在不確定干擾的情況下通過BP神經(jīng)網(wǎng)絡自主學習功能獲取相對最優(yōu)的PID控制參數(shù),從工程角度簡化結(jié)構(gòu)和算法.仿真證明提出的控制方法簡單有效,控制性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制,大大提高了系統(tǒng)對于外界干擾的魯棒性.

1 三星庫侖編隊動力學模型

本節(jié)研究三星庫侖編隊系統(tǒng),如圖1所示為空間中三體衛(wèi)星系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,并將衛(wèi)星視為質(zhì)點.其中m1、m2、m3分別為衛(wèi)星的質(zhì)量,q1、q2、q3分別為衛(wèi)星所帶電量,r1、r2、r3為衛(wèi)星在慣性坐標系中位置矢量,r12、r23、r13分別為衛(wèi)星之間相對位置矢量.αi為衛(wèi)星位置矢量間夾角.

圖1 三體衛(wèi)星系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig. 1 Structure of three-body satellite system

特例：當三體衛(wèi)星編隊系統(tǒng)質(zhì)心作為慣性坐標系的原點,三顆衛(wèi)星在庫侖力的作用下處于三星共線平衡狀態(tài),共線結(jié)構(gòu)繞質(zhì)心O做圓周運動,如下圖2所示.

圖2 共線平衡結(jié)構(gòu)Fig. 2 Collinear equilibrium structure

在深空環(huán)境中,由于衛(wèi)星間庫侖力與天體引力數(shù)量級相差很大,所以忽略天體引力作用[4]；而德拜長度大致為20～50m,與衛(wèi)星編隊相對距離相差不大,所以德拜長度不能忽略.三星庫侖編隊的動力學方程如下：

(1)

(2)

由式(1)可得到三顆衛(wèi)星間相對動力學方程：

(3)

對于三顆衛(wèi)星共線構(gòu)型特例,由圖(1)和圖(2)可得α1=0°,α2=180°,α3=0°.式(3)可表達為：

(4)

2 控制器設計

PID控制器具有結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定性和魯棒性好的優(yōu)點；BP神經(jīng)網(wǎng)絡具有超強的自主學習和非線性逼近干擾能力,學習結(jié)構(gòu)簡單明確.為獲取好的控制效果,選取最優(yōu)的PID控制反饋增益Kp、Ki和Kd可以通過神經(jīng)網(wǎng)絡對系統(tǒng)性能的學習來實現(xiàn)最佳組合的PID控制.采用基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡的PID自適應控制,可以建立參數(shù)Kp、Ki和Kd自學習的神經(jīng)PID控制,從而達到參數(shù)自行調(diào)整最優(yōu)的目的.

2.1 PID控制

首先定義狀態(tài)向量X為：

(5)

(6)

式中,ξ為控制向量,A為3×3矩陣,如下式：

(7)

令X=X*+δX,其中δX為衛(wèi)星間相對距離誤差向量.根據(jù)式(6),設計PID反饋控制律如下：

(8)

式中‖A‖=0,矩陣A為奇異不可逆矩陣.

2.2 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡PID控制

神經(jīng)網(wǎng)絡是模仿生物神經(jīng)網(wǎng)絡功能的一種經(jīng)驗模型,由若干簡單元件及其層次組織,以大規(guī)模并行連接方式構(gòu)造而成的網(wǎng)絡而成的網(wǎng)絡.由于神經(jīng)網(wǎng)絡中神經(jīng)元間復雜的連接關(guān)系和各神經(jīng)元傳遞信號的非線性方式,輸入和輸出信號間可構(gòu)造出各種關(guān)系,因此可表達用機理模型無法精確描述,但輸入和輸出之間確實有客觀的、確定性或模糊性規(guī)律.本文根據(jù)庫侖編隊動力學特性和外界環(huán)境干擾因素調(diào)節(jié)PID控制參數(shù),以達到性能指標最優(yōu)化,使輸出層的輸出狀態(tài)對應PID三個可調(diào)控制參數(shù),通過神經(jīng)網(wǎng)絡自主學習、加權(quán)系數(shù)調(diào)整,獲得最優(yōu)的參數(shù)組合.

該控制算法步驟如下:

(2)采樣得到rin(k)和yout(k),計算該時刻誤差error(k)=rin(k)-yout(k).

(3)計算神經(jīng)網(wǎng)絡各層神經(jīng)元的輸入、輸出,輸出層即為PID控制器的三個可調(diào)參數(shù)Kp、Ki和Kd.

(4)根據(jù)經(jīng)典增量數(shù)字PID的控制算法計算控制器的輸出u(k)：

u(k)=u(k-1)-Kp(error(k)-error(k-1))+

Ki(error(k))+Kd(error(k)-

2error(k-1)+error(k-2))

(9)

(6)置k=k+1,返回到(1).

由于控制變量ξ是為兩顆衛(wèi)星電荷乘積與間隔距離的函數(shù),由式(2)可得兩衛(wèi)星電荷乘積Q與控制變量ξ和狀態(tài)變量X的關(guān)系式為：

Q=Qref+δQ

(10)

KpδX)

(11)

其中Qref為給定任務所對應的參考電荷乘積.單顆衛(wèi)星所帶電荷如下式為：

(12)

3 仿真校驗

本節(jié)考慮在深空環(huán)境中三星庫侖共線編隊飛行問題,利用Matlab/Simulink仿真軟件對共線編隊控制問題進行數(shù)值仿真,檢驗控制算法的合理性與有效性.仿真過程中,將本文提出的BP神經(jīng)網(wǎng)絡PID控制與傳統(tǒng)PID控制進行了比較.

w_i=0.5×rand(H,IN)

w_o=0.5×rand(Out,H)

利用Matlab/Simulink進行數(shù)值仿真,仿真結(jié)果如下圖所示.

圖3 0～4h內(nèi)三顆衛(wèi)星的運行軌跡(BP-PID控制)Fig. 3 Motion trajectory of three crafts in 4 hours under BP-PID control

圖4 4h后三顆衛(wèi)星的運行軌跡(BP-PID)Fig. 4 Motion trajectory of three crafts after 4 hours under BP-PID control

如圖3和4所示,分別為在BP神經(jīng)網(wǎng)絡PID控制下4h內(nèi)三星庫侖編隊重構(gòu)過程和4h后三星庫侖編隊共線穩(wěn)定過程.三顆衛(wèi)星分別從初始位置進行不規(guī)則的曲線運動到相對距離不變的共線圓周運動,實現(xiàn)了位置改變并保持的構(gòu)型重構(gòu)控制.如圖5所示為在傳統(tǒng)PID控制和BP神經(jīng)網(wǎng)絡PID控制下三顆衛(wèi)星之間相對距離隨時間的變化曲線圖,由圖可以看出采用兩種控制器均能夠使三星庫侖編隊按預期要求達到期望狀態(tài),在0～4h內(nèi)相對距離由初始距離漸進趨向于穩(wěn)定的理想距離,并時刻保持三星共線平衡狀態(tài).但是在兩種控制策略下,BP神經(jīng)網(wǎng)絡PID控制在控制穩(wěn)定性和調(diào)節(jié)時間方面都優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制,如圖6所示,分別為任意兩顆衛(wèi)星在傳統(tǒng)PID控制和BP神經(jīng)網(wǎng)絡PID控制下電荷乘積隨時間的變化情況,在編隊重構(gòu)過程中電荷乘積由初始值逐漸趨于穩(wěn)定電荷積,以提供三星編隊旋轉(zhuǎn)的向心力和克服太陽光壓干擾.由圖5～6可以明顯看出,基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡的PID控制調(diào)節(jié)時間短、能夠較快地恢復穩(wěn)定,超調(diào)量近似0%,控制性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制.

圖5 傳統(tǒng)PID控制和BP神經(jīng)網(wǎng)絡PID控制下衛(wèi)星間相對距離隨時間的變化曲線Fig.5 Time history of relative distance between PID control and BP-PID control

圖6 傳統(tǒng)PID控制和BP神經(jīng)網(wǎng)絡PID控制下衛(wèi)星間電荷乘積隨時間的變化曲線Fig. 6 Time history of charge product for satellites under PID control and BP-PID control

4 總結(jié)

本文研究了深空環(huán)境下(地月平動點L2點)三星庫侖編隊構(gòu)型重構(gòu)控制問題,設計了基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡的PID控制器.首先考慮外界環(huán)境干擾作用(主要為太陽光壓)和德拜效應影響,推導出較精確的三星庫侖編隊的動力學方程,設計基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡的PID控制器,將PID控制與BP神經(jīng)網(wǎng)絡控制相結(jié)合,利用神經(jīng)網(wǎng)絡自主學習功能逼近非線性擾動項來獲得相對較優(yōu)的PID控制參數(shù),通過控制器改變衛(wèi)星所帶電荷進而改變衛(wèi)星之間庫侖力大小,使編隊漸近穩(wěn)定并按理想間距和構(gòu)型飛行.利用Matlab軟件對三星編隊軌跡以及控制電荷的變化情況進行了仿真,結(jié)果顯示基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡的PID控制效果理想,其動態(tài)過程中超調(diào)量及調(diào)節(jié)時間均比傳統(tǒng)PID控制小,具有良好的魯棒性、自適應性和容錯性.從工程角度上簡化控制器結(jié)構(gòu)和算法,減少了衛(wèi)星上機載計算機工作量,具有一定的推廣應用價值.

1King L B, Parker G G, Deshmukh S, et al. Spacecraft formation flying using inter-vehicle Coulomb force. Tech. Rep. NASA/NIAC, 2002

2Hussein I I, Schaub H. Stability and control of relative equilibrium for the three-spacecraft coulomb tether problem. AAS/AIAA Astrodynamics Specialists Conference, Mackinac Island, MI, Aug. 19-23 2007, Paper No. AAS 07-269

3Hussein I I, Schaub H. Stability and control of relative equilibrium for the three-spacecraft coulomb tether problem.ActaAstronautica, 2009:738～754

4Wang S, Schaub H. Switched lyapunov function based coulomb control of a triangular 3-vehicle cluster.AdvancesintheAstronauticalSciences, 2009,135:1477～1496

5Hogan E, Schaub H. Linear stability and shape analysis of spinning three-craft coulomb formations. AAS Spaceflight Mechanics Meeting, New Orleans, Louisiana, February 13-17, 2011, Paper No. AAS 11-225

6Erik A. Hogan, Schaub H. Collinear invariant shapes for three-craft coulomb formations.ActaAstronautica, 2012,72:78～89

7張皓,師鵬,李保軍等. 利用庫侖力實現(xiàn)懸停軌道的新方法研究. 宇航學報, 2011,33(1):68～75 (Zhang H, Shi P, Li B J, et al. Hover orbit using inter-spacecraft coulomb forces.JournalofAstronautics, 2011,33(1):68～75 (in Chinese))

8黃靜,李傳江,馬廣富等. 考慮狀態(tài)約束的二體旋轉(zhuǎn)庫侖衛(wèi)星系統(tǒng)重構(gòu)控制. 宇航學報, 2015,36(5):557～565 (Huang J, Li C J, Ma G F, et al. Control for reconfiguration of a spinning two-body coulomb satellite system with state constrains.JournalofAstronautics, 2015,36(5):557～565 (in Chinese))

9Huang J, Ma G F. Nonlinear dynamics and reconfiguration control of two-satellite coulomb tether formation at libration points.AerospaceScienceandTechnology, 2014,39:501～512

10 王婷,張羽飛. 等質(zhì)量立體五星庫侖編隊飛行的分析與控制. 宇航學報, 2015,36(11):1279～1288 (Wang T, Zhang Y F. Analysis and control for three dimensional five-satellite coulomb formation flight in geostationary earth orbit.JournalofAstronautics, 2015,36(11):1279～1288 (in Chinese))

11 Zhang X L,Fan H M. Nonlinear control of triple inverted pendulum based on GA-PIDNN.NonlinearDynamics, 2015,79(2):1185～1194