LSTAR框架下一類針對(duì)單位根原假設(shè)的F檢驗(yàn)

于寄語(yǔ)，向鏡潔

(1.湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院 金融學(xué)院，湖北 武漢 430205；2.湖北金融發(fā)展與金融安全研究中心，湖北 武漢 430205；3.華中科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖北 武漢 430074)

一、引言和文獻(xiàn)回顧

現(xiàn)有的STAR模型單位根檢驗(yàn)文獻(xiàn)大都限定STAR過(guò)程yt中的轉(zhuǎn)移位置參數(shù)cj和線性項(xiàng)系數(shù)ψ分別為0和1，而在實(shí)際STAR模型應(yīng)用中，位置參數(shù)通常是先驗(yàn)未知的，不一定為0[12-13]；對(duì)應(yīng)的線性項(xiàng)系數(shù)估計(jì)值在很多實(shí)證研究中也顯著異于1[14-15]，從而前述文獻(xiàn)關(guān)于位置參數(shù)及線性項(xiàng)系數(shù)的設(shè)定不具有普適性。在放松對(duì)上述參數(shù)約束后，理論分析表明，STAR框架內(nèi)對(duì)數(shù)據(jù)過(guò)程的單位根檢驗(yàn)不再是一個(gè)單參數(shù)檢驗(yàn)，而是轉(zhuǎn)換為一個(gè)多參數(shù)的聯(lián)合檢驗(yàn)，需要構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行分析。有鑒于此，以LSTAR模型為例，本文細(xì)化探討單位根過(guò)程對(duì)平穩(wěn)LSTAR過(guò)程的F檢驗(yàn)，以期推動(dòng)非線性單位根檢驗(yàn)問(wèn)題的進(jìn)一步發(fā)展。后文的數(shù)學(xué)符號(hào)說(shuō)明如下：‖·‖為向量范數(shù)，代表弱收斂，表示一致收斂，W為定義在[0，1]上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，[x]表示對(duì)x取整，o(·)表示高階無(wú)窮小符號(hào)，O(·)和Op(·)分別表示一般測(cè)度和概率測(cè)度下的同階符號(hào)，t=1至t=T上的求和及區(qū)間[0，1]上的積分符號(hào)簡(jiǎn)記為∑.和

二、 LSTAR框架下的F檢驗(yàn)

(一)LSTAR框架下數(shù)據(jù)過(guò)程的平穩(wěn)性設(shè)定

本文考察的LSTAR過(guò)程zt如下：

zt=m+yt

(1)

yt=ψyt-1+θyt-1[1+exp(-r(yt-1-c0))]-1+εt

m∈R為常數(shù)項(xiàng)。特別地，當(dāng)m=0時(shí)，zt轉(zhuǎn)化為一個(gè)近似0均值LSTAR(1)過(guò)程yt。ψ和θ對(duì)應(yīng)其線性項(xiàng)和非線性項(xiàng)部分的系數(shù)，r>0為非線性速度調(diào)節(jié)參數(shù)，c0為位置參數(shù)，εt為平穩(wěn)誤差項(xiàng)。

在非線性框架下，傳統(tǒng)協(xié)方差平穩(wěn)概念不再適合界定數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，相關(guān)文獻(xiàn)通常采用Tweedie提出的幾何便利性和漸近平穩(wěn)的概念定義數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性[16]， 即對(duì)于序列zt，如果存在常數(shù)δ<1，B<，L<以及一個(gè)有界集合C，使得式(2)、式(3)成立，則稱zt為平穩(wěn)序列：

E[‖zt‖|zt-1=z]≤B，?z∈C

(2)

E[‖zt‖|zt-1=z]<δ‖zt‖+L，?z?C

(3)

在這個(gè)定義下，不難推得式(1)對(duì)應(yīng)的LSTAR過(guò)程的平穩(wěn)性條件為：

|ψ|<1∩|ψ+θ|<1

(4)

事實(shí)上，基于條件(4)我們可以確定某個(gè)有限集C=[-K*，K*]，K*>0，使得當(dāng)yt-1>K*時(shí)，[1+exp(-r(yt-1-c0))]-1(簡(jiǎn)記Fl(yt-1))和1無(wú)限接近，當(dāng)yt-1<-K*時(shí)，F(xiàn)l(yt-1)又和0無(wú)限接近，從而y?C時(shí)，利用極限的定義可推知|ψ+θFl(yt-1)|<1，結(jié)合式(1)進(jìn)而有‖zt‖<‖z‖+‖εt‖，式(3)得以滿足；在y∈C時(shí)，由于‖yt‖≤‖ψ+θFl(yt-1)‖K*+‖εt‖，可推得式(2)成立。

另一方面，當(dāng)條件(4)不滿足時(shí)，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)過(guò)程會(huì)隨著時(shí)間的增加很快呈現(xiàn)單位根或者爆炸特征。在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題應(yīng)用中，爆炸情形很少出現(xiàn)，本文予以事先排除*對(duì)于爆炸情形，通過(guò)事前的ADF右側(cè)檢驗(yàn)很容易將其檢測(cè)出來(lái)。，從而式(1)所示的LSTAR模型隨著相關(guān)參數(shù)的變動(dòng)呈現(xiàn)出非線性平穩(wěn)或者單位根特征。

(二) LSTAR框架下F統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)建及漸進(jìn)性質(zhì)分析

單位根原假設(shè)下，模型(1)中的參數(shù)r，c0，θ不具有可識(shí)別性，為消除該類參數(shù)的影響，考慮對(duì)[1+exp(-r(yt-1-c0))]-1在c0處進(jìn)行一階泰勒展開(kāi)，展開(kāi)后的LSTAR模型(1)為如下關(guān)于參數(shù)a，b，c的輔助線性回歸式：

(5)

其中a=θrm2/4-(1+ψ-rc0/4+θ/2)m，b=θr/4，c=ψ-rc0/4+(θ-mθr)/2，ut=Rt+εt，Rt為泰勒余項(xiàng)。當(dāng)zt為單位根過(guò)程時(shí)，其滯后項(xiàng)及滯后平方項(xiàng)的系數(shù)均為0，從而LSTAR框架下的單位根檢驗(yàn)對(duì)應(yīng)于式(5)中聯(lián)合檢驗(yàn)H0：b=c=0。H0不成立，則意味著zt為非線性的平穩(wěn)過(guò)程?；谶@一思路，構(gòu)建式(6)所示的F統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行單位根原假設(shè)對(duì)平穩(wěn)LSTAR過(guò)程備擇假設(shè)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。

(6)

(7)

(8)

引理1的推導(dǎo)直接參見(jiàn)泛函中心極限定理及Sandberg的定理1[17]，這里略證。

定理1：在假設(shè)1下，對(duì)于原假設(shè)下的單位根過(guò)程zt=zt-1+ut，有下式成立：

(9)

其中

(10)

最終可推得：

(11)

(12)

(13)

從而可以基于式(13)考察F0的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。

另一方面，利用B-N分解定理有：

(14)

再次利用FWL引理，式(14)中的參數(shù)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)和下式(15)具有等價(jià)性：

(15)

隨后，類似于定理1的證明，可推知定理2成立。

推論2和定理2表明，統(tǒng)計(jì)量F0和Fss具有相同的漸進(jìn)分布。表1給出了相應(yīng)的90%和95%分位點(diǎn)，分別作為5%及10%顯著水平下的本文F檢驗(yàn)的臨界值。模擬中的仿真次數(shù)為10 000次，極限情形下的臨界值基于T=1 000得到。

表1 統(tǒng)計(jì)量 F0、Fss對(duì)應(yīng)臨界值

三、 Size及Power表現(xiàn)：有限樣本下的蒙特卡羅模擬

考慮到非參數(shù)調(diào)整統(tǒng)計(jì)量Fss的缺陷，本部分基于F0考察F檢驗(yàn)在有限樣本下的表現(xiàn)。作為對(duì)比，將傳統(tǒng)ADF單位根檢驗(yàn)以及劉雪燕等提出的t檢驗(yàn)的表現(xiàn)也一并列出，分別用ADF、T_Lstar進(jìn)行標(biāo)記。

(一)Size 分析

Size分析考察的是統(tǒng)計(jì)量拒絕單位根原假設(shè)的概率表現(xiàn)，具體的數(shù)據(jù)生成過(guò)程為：

zt=zt-1+ut，ut=ρut-1+vt

(16)

vt由獨(dú)立的正態(tài)分布N(0，1)生成，設(shè)定參數(shù)ρ∈(0，0.4，-0.4)，分別反映獨(dú)立、正相關(guān)以及負(fù)相關(guān)情形下的新息誤差項(xiàng)ut，樣本容量設(shè)置T=100和T=300兩種情形。F0以及ADF統(tǒng)計(jì)量、T_Lstar統(tǒng)計(jì)量的Size分析結(jié)果在表2列出。從表2可以看到，無(wú)論誤差項(xiàng)是否存在相關(guān)性，有限樣本下F0、ADF、T_Lstar的Size取值均接近0.05的名義水平，基本不存在扭曲現(xiàn)象，這意味著三者均能較好地識(shí)別原假設(shè)下數(shù)據(jù)過(guò)程的單位根特征。

表2 單位根過(guò)程原假設(shè)下有限樣本下各統(tǒng)計(jì)量表現(xiàn)(模擬次數(shù)2 000)

(二)Power 分析

zt=yt+m

(17)

yt=ψyt-1+

θyt-1[1+exp(-r(yt-1-c))]-1+ut

ut=ρut-1+vt

Power分析下的數(shù)據(jù)生成過(guò)程如式(17)。同樣設(shè)定ρ∈(0，0.4，-0.4)反映誤差項(xiàng)ut的自相關(guān)性強(qiáng)弱。非線性速度調(diào)節(jié)參數(shù)r∈(0.05，0.5，5)；位置參數(shù)c0基于均勻分布U(-5，5)隨機(jī)提取；由于m的取值對(duì)最終考察統(tǒng)計(jì)量的漸進(jìn)分布無(wú)影響，設(shè)定m=0；線性和非線性項(xiàng)系數(shù)(ψ，θ)設(shè)置7種情形，分別為(0.85，-0.5)、(0.85，-0.1)、(0.95，-0.5)、(0.95，-0.1)、(0.99，-0.5)、(0.99，-0.1)、(1.02，-0.04)，其中前6種設(shè)定滿足LSTAR模型平穩(wěn)性條件(4)，最后一組參數(shù)是按照劉雪燕等的分析進(jìn)行設(shè)定，以同其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T_Lstar進(jìn)行有效對(duì)比。需要指出的是，劉雪燕等考察的LSTAR模型是本文模型(1)在(ψ-θ/2)=1及c=0下的特例，即zt=yt+m，Δyt=θyt-1[(1+exp(-ryt-1))-1-1/2]+ut，不過(guò)注意到(ψ-θ/2)=1的限定條件與式(4)對(duì)應(yīng)的平穩(wěn)條件相矛盾，從而其設(shè)定的LSTAR過(guò)程本身就不具有平穩(wěn)特征，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量有待商榷。

Power分析的結(jié)果在表3列出。從表3可以看到，F(xiàn)0在整體上優(yōu)于ADF檢驗(yàn)及T_lstar檢驗(yàn)的表現(xiàn)。細(xì)化來(lái)看，以獨(dú)立誤差項(xiàng)ρ=0為例，在|ψ+θ|顯著小于1，同時(shí)r相對(duì)較小時(shí)，ADF同本文F0統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)效能差別不大，仍具有較高的檢驗(yàn)勢(shì)，如r=0.5，(ψ，θ)=(0.85，-0.5)，樣本T=100下ADF和F0統(tǒng)計(jì)量的Power值分別對(duì)應(yīng)0.95和0.98。注意到該情形下，|ψ+θ|顯著小于1意味著數(shù)據(jù)的平穩(wěn)度較強(qiáng)，數(shù)據(jù)走勢(shì)在局部區(qū)域內(nèi)具有較弱的持續(xù)性；r取值較小則反映了LSTAR過(guò)程中的非線性調(diào)節(jié)力度不大，從而最終數(shù)據(jù)所呈現(xiàn)出的非線性特征并不明顯，此時(shí)ADF檢驗(yàn)仍可以較好地對(duì)LSTAR模型的平穩(wěn)性進(jìn)行考察；不過(guò)隨著|ψ+θ|和r的加大，數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的非線性特征不斷加強(qiáng)，F(xiàn)0相對(duì)于ADF的檢驗(yàn)優(yōu)勢(shì)不斷得以體現(xiàn)。從表3可以看到，保持上述樣本T=100和r=0.5的設(shè)定不變，(ψ，θ)變動(dòng)至(0.99，-0.5)時(shí)，兩者的Power值分別對(duì)應(yīng)于0.60和0.69；而保持(ψ，θ)=(0.85，-0.5)不變，r增加至5時(shí)，ADF和F0的Power值則分別變動(dòng)至0.87和0.94。對(duì)于統(tǒng)計(jì)量T_Lstar而言，表3顯示大部分情形下其Power值很低，甚至不足0.1；僅在(ψ，θ)設(shè)定為(1.02，-0.04)時(shí)，拒絕原假設(shè)的概率相對(duì)較高。但如前所分析，該組參數(shù)下LSTAR過(guò)程的平穩(wěn)性條件并不滿足，ψ>1會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)過(guò)程隨著時(shí)間增加很快呈現(xiàn)爆炸特征，從而統(tǒng)計(jì)量T_Lstar并不能有效區(qū)分?jǐn)?shù)據(jù)的單位根和非線性平穩(wěn)特征。

在誤差項(xiàng)非獨(dú)立情形下(ρ=±0.4)，各統(tǒng)計(jì)量的相對(duì)表現(xiàn)類似。T_Lstar在前6組(ψ，θ)參數(shù)對(duì)應(yīng)的平穩(wěn)LSTAR過(guò)程下的表現(xiàn)仍然非常差，如T=100、r=0.5、ρ=0.4時(shí)，前6組(ψ，θ)設(shè)定下T_Lstar的Power值分別對(duì)應(yīng)于(0.019，0.006，0.019，0.009，0.036，0.029)；相應(yīng)地，ADF的Power值分別為(0.872，0.658，0.590，0.240，0.431，0.127)，F(xiàn)0的Power值為(0.926，0.697，0.683，0.277，0.516，0.150)；本文F檢驗(yàn)的檢驗(yàn)勢(shì)明顯高于前兩者。

表3 備擇假設(shè)下各統(tǒng)計(jì)量Power表現(xiàn)(模擬次數(shù) 2 000)

本部分模擬表明，當(dāng)考察數(shù)據(jù)的非線性特征不太明顯時(shí)，ADF檢驗(yàn)同本文構(gòu)造的F0統(tǒng)計(jì)量均具有較高檢驗(yàn)勢(shì)，兩者的檢驗(yàn)效能差別不大；不過(guò)隨著非線性特征的加強(qiáng)，F(xiàn)0統(tǒng)計(jì)量體現(xiàn)出更明顯的優(yōu)勢(shì)。另外，對(duì)于劉雪燕等提出的T_Lstar統(tǒng)計(jì)量，由于其模型設(shè)定的局限性，使得該t檢驗(yàn)對(duì)平穩(wěn)LSTAR過(guò)程具有較差的檢驗(yàn)功效。因此，在非線性框架下的應(yīng)用分析中，更建議采用本文的F檢驗(yàn)考察數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性問(wèn)題。

四、實(shí)證應(yīng)用：對(duì)人民幣實(shí)際匯率的PPP檢驗(yàn)

PPP(購(gòu)買力平價(jià))假設(shè)實(shí)際匯率是圍繞長(zhǎng)期均衡路徑上下波動(dòng)的平穩(wěn)過(guò)程，因此通過(guò)對(duì)實(shí)際匯率進(jìn)行單位根檢驗(yàn)可以驗(yàn)證PPP理論是否成立。在現(xiàn)實(shí)分析中，由于貿(mào)易成本、壁壘等因素，實(shí)際匯率對(duì)于均衡路徑的調(diào)整往往體現(xiàn)出非線性性。同時(shí)，如很多文獻(xiàn)所指，人民幣升值期間的波動(dòng)程度和貶值期間的波動(dòng)程度存在一定程度的非對(duì)稱性[20]。鑒于此，應(yīng)用本文LSTAR框架下的F檢驗(yàn)對(duì)人民幣對(duì)美元實(shí)際匯率(圖1)的平穩(wěn)性特征進(jìn)行考察，具體數(shù)據(jù)研究區(qū)段為1986年1月至2016年3月，期間的實(shí)際匯率zt是在名義匯率znt的基礎(chǔ)上利用美國(guó)物價(jià)指數(shù)和中國(guó)物價(jià)指數(shù)之比調(diào)整得到，調(diào)整方式為zt=zntCPIUS/CPIChina，名義匯率及物價(jià)指數(shù)來(lái)源于OECD統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫(kù)和中國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局。

圖1 人民幣對(duì)美元實(shí)際匯率走勢(shì)圖

表4 各統(tǒng)計(jì)量取值(利用BIC準(zhǔn)則，檢驗(yàn)式中滯后項(xiàng)階數(shù)確定為1)

注：**代表在0.05 顯著水平下拒絕單位根原假設(shè)。

表下相關(guān)參數(shù)估計(jì)結(jié)果

五、結(jié) 論

本文提出了檢驗(yàn)線性單位根原假設(shè)對(duì)平穩(wěn)LSTAR模型備擇假設(shè)的F檢驗(yàn)，在理論上豐富了非線性單位根檢驗(yàn)的相關(guān)研究。誤差項(xiàng)相關(guān)情形下，傳統(tǒng)形式F統(tǒng)計(jì)量的漸進(jìn)分布含有冗余參數(shù)，本文通過(guò)兩種方式對(duì)其進(jìn)行了修訂：方式一，基于半?yún)?shù)方法得到修正統(tǒng)計(jì)量Fss；方式二，通過(guò)向原始輔助檢驗(yàn)式加入合適階數(shù)的差分滯后項(xiàng)進(jìn)行增廣回歸，得到調(diào)整統(tǒng)計(jì)量F0。理論分析表明Fss、F0均具有中樞性，不過(guò)如很多文獻(xiàn)所指，半?yún)?shù)調(diào)整方案下的單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在誤差相關(guān)性較強(qiáng)時(shí)表現(xiàn)出較差的有限樣本性質(zhì)，所以在有限樣本應(yīng)用中不建議使用統(tǒng)計(jì)量Fss。在仿真實(shí)驗(yàn)中，基于F0和ADF檢驗(yàn)以及劉雪燕等提出的t檢驗(yàn)進(jìn)行了對(duì)比分析，結(jié)果表明在不同參數(shù)設(shè)定下，本文提出的F檢驗(yàn)均具有更高的檢驗(yàn)勢(shì)；ADF檢驗(yàn)由于未考慮到數(shù)據(jù)生成機(jī)制中的非線性部分，表現(xiàn)差于F0；T_Lstar統(tǒng)計(jì)量則由于模型參數(shù)的前提約束及理論分析的缺陷，并不能有效區(qū)分?jǐn)?shù)據(jù)的單位根和非線性平穩(wěn)特征。最后，本文從PPP理論出發(fā)，對(duì)人民幣實(shí)際匯率的平穩(wěn)性特征進(jìn)行了考察，進(jìn)一步印證了F檢驗(yàn)在非線性LSTAR框架下的優(yōu)越性。

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