高中生數(shù)學思維突破的對策方法研究

鄒少蘭

[摘 要] 數(shù)學是思維的學科，高中數(shù)學需要思維支撐. 實際教學中，學生的思維常常會有障礙，思維障礙突破的關鍵在于抓住作為認知心理的思維的本質，運用表象、邏輯推理以及變式，去有效地培養(yǎng)學生的形象、抽象與直覺思維能力.

[關鍵詞] 高中數(shù)學；思維突破；對策方法

思維的重要性對于高中數(shù)學學習來說不言而喻，學生在概念、規(guī)律理解與數(shù)學解題中出現(xiàn)困難的根本原因，還是思維存在困難. 在傳統(tǒng)教學思路中，幫學生突破思維障礙的方法不外乎讓學生課前預習以形成先行知識、讓學生“多練”以培養(yǎng)解題的經(jīng)驗、讓學生經(jīng)歷合作學習以借鑒他人思路，等等，這些方式可以在一定時間段或一定范圍內(nèi)取得效果，但對于學生的思維能力培養(yǎng)來說又難以起到“根治”的效果. 事實上，總結這些方法可以發(fā)現(xiàn)，它們都是圍繞著思維的“外圍”在做文章，并沒有觸及到思維的本質. 那從思維的本質這個角度出發(fā)去尋找思維突破的策略，又會有什么樣的具體的策略和方法呢？對此筆者進行了研究.

所謂思維，在認知心理學中被界定為人腦借助于語言對客觀事物概括和間接的反應過程. 思維的基礎上感知同時又超越感知；按照一般的分類標準，思維分為形象思維、抽象思維和直覺思維等. 從思維的定義、基礎以及分類來看，高中數(shù)學教學中尋找思維突破的策略方法，還應當從不同的思維本身出發(fā)去尋找突破途徑. 筆者這里擬從三個角度談談自己的思考與做法.

基于表象構建，尋找形象思維突破途徑

高中數(shù)學需要的抽象思維，這是大多數(shù)人的認識，這樣的判斷是有其道理的，比如說數(shù)學學習中學生思維加工的對象是抽象了的數(shù)與形，這是抽象語言的體現(xiàn)，因此可以說其是抽象思維；數(shù)學學習中運用到相當多的邏輯推理，這也是抽象思維的體現(xiàn). 但需要注意的是，這并不意味著高中數(shù)學學習不需要形象思維，相反，很多時候只有提供了形象思維的支撐，學生的思路才能夠清晰，邏輯才能夠明確，數(shù)學思維的突破也才有一個堅實的基礎.

形象思維的對象是表象，表象是人看到的事物不在人面前時頭腦中關于事物的形象，但有時候表象也不是看到的事物形成的，也有可能是人想象的結果，因此表象中也有想象表象的說法.

高中數(shù)學中思維對表象的加工主要發(fā)生于概念、規(guī)律學習之初，以及問題解決之初，因為無論是概念還是規(guī)律的學習，還是問題解決，在初始階段都需要學生有一個形象的認識.

例如，在“曲線與方程”這一內(nèi)容的學習中，界定曲線與方程的時候，通常有這樣的數(shù)學表述：如果曲線C上的點的坐標（x，y）都是方程f（x，y）=0的解，且以方程f（x，y）=0的解（x，y）為坐標的點都在曲線C上，那么方程f（x，y）=0叫作曲線C的方程，曲線C叫作方程f（x，y）=0的曲線.

這是一種純粹數(shù)學的表述，學生理解起來往往存在一定的困難，這個困難就是思維困難，是思維中難以將曲線與方程對應起來的困難. 這個時候教師可以想辦法讓學生對這段表述的理解變得形象化，形象化的手段未必是直接提供一個曲線以及對應的方程去讓學生比較，而應當是基于曲線去讓學生尋找相應的方程，或者基于方程去讓學生作出相應的曲線. 這里要注意的是，所提供的方程或曲線必須是學生相對熟悉的，因為這個過程不是面向應用的，而是面向曲線與方程的概念理解的. 筆者在教學中是這么做的：先讓學生列舉出一個自己熟悉的曲線，比如是“圓”；然后讓學生寫出它的標準方程，這個時候不同學生往往會有不同的想法，比如有的學生會寫最簡單的方程x2+y2=r2，也有的學生會寫（x-a）2+（y-b）2=r2. 這里要特別注意的是，此時讓學生寫圓的標準方程，不是讓學生去機械地回憶，而是強調在寫圓的方程的時候，大腦里必須要有對應的圓的圖景，說得通俗一點就是大腦里要有一個圓. 其后，讓學生結合大腦中想象出來的圓，以（x-a）2+（y-b）2=r2為例進行解釋，解釋的重點是圓上的點的坐標與圓方程的對應關系，即要引導學生在大腦中完成作為表象的曲線與抽象的方程的對應. 這是一個以數(shù)述形、數(shù)形結合的過程，也是一個基于表象進行數(shù)學概念理解的過程. 事實證明，通過這樣的過程，學生對曲線與方程的關系的理解往往是牢固的，這就說明這個地方的思維突破是有效的，從而證明基于表象去突破思維障礙的策略是有效的.

梳理邏輯關系，尋找抽象思維突破途徑

如上一點的開始所說，高中數(shù)學是以抽象思維為主要思維方式的，抽象思維中的障礙也是學生在數(shù)學學習中遇到的主要障礙之一. 經(jīng)驗表明，突破抽象思維障礙的關鍵有二：一是幫學生建立起高中數(shù)學以數(shù)、形為思維加工對象，須經(jīng)邏輯推理才能建構數(shù)學知識體系的認識；二是讓學生在具體的推理過程中形成顯著的邏輯推理能力.

對于第一點，可以在某個章節(jié)的數(shù)學知識結束之時進行，比如說在“圓錐曲線”的教學中，當學完全部圓錐曲線之后，幫學生建構這一章的知識體系非常重要，這個體系如何生成很值得思考：如果直接給學生呈現(xiàn)知識體系，那么學生就完全陷入了被動的學習之中，他們不知道為什么要這樣進行總結；如果不直接給學生呈現(xiàn)知識體系，那么就需要給學生提供一個自主探究、總結、概括的機會. 前者耗時少，能夠為后續(xù)的習題訓練節(jié)省相當多的時間；后者耗時多，但對學生的思維突破來說，是一個重要的培養(yǎng)機會. 筆者嘗試了后者的教學方式，讓學生從“幾何背景”出發(fā)，思考從哪些角度去對其進行分類——此時學生其實是有兩個選擇的：一個選擇是從橢圓、雙曲線、拋物線三種曲線類型去分類；另一個選擇是從圓錐曲線的概念、圓錐曲線的標準方程、圓錐曲線的幾何性質三個角度去分類. 在教學實踐中筆者還發(fā)現(xiàn)，有的學生在思考呈現(xiàn)知識關系的時候，是用樹形圖還是用表格（有的學生在自己的草稿紙上畫出四行四列的表格，行的表頭中填的三種曲線，列的表頭中填的概念、方程與性質），這種表現(xiàn)方式的思考，其實也是抽象思維的重要體現(xiàn)，意味著學生思維中分散的知識開始組成系統(tǒng)，這也意味著學生有了鮮明的將分散的知識綜合化的意識與初步能力. 這種意識的形成，其實就是經(jīng)由邏輯推理形成數(shù)學知識體系的過程.

對于第二點，邏輯推理能力的形成并非一蹴而就的，邏輯推理能力的形成必定是在邏輯推理的過程中形成的，這就是“在游泳中學會游泳”常常作為教育隱喻的重要內(nèi)涵. 顯然，對于教師而言，這里的關鍵是為學生設計一個合理、高效的邏輯推理過程.

在“圓錐曲線”章節(jié)學習之后，為了強化學生對圓錐曲線中不同曲線的異同的認識，筆者借鑒教材中的創(chuàng)意，讓學生通過寫作的方法去判斷“離心率相同的二次曲線的形狀都相同”. 這個問題實際上是在橢圓的圓心率決定其扁與圓、雙曲線的離心率決定其開口大小的基礎上提出來的：離心率對拋物線的形狀有何影響？為什么拋物線的離心率都是1呢？在這個論證的過程中，出發(fā)點往往都是從y=x2這個最簡單的拋物線開始的，在坐標系上畫出拋物線之后，可再讓學生畫出另一個拋物線的圖像，比如y=4x2. 學生畫出圖像之后，會發(fā)現(xiàn)這兩個拋物線的圖像并不相同——因為不重合. 這個時候學生對需要論證的對象會有所懷疑，于是教師可以借此機會跟學生強調“拋物線的‘形狀”的含義——拋物線的形狀不是指拋物線的開口大小，因為在研究中可以發(fā)現(xiàn)，y=4x2的圖像是可以通過y=x2的圖像放大一定倍數(shù)得到的，而且更有意思的是，只要開口方向相同，一個拋物線的圖像總可以由另一個拋物線的圖像放大或縮小若干倍數(shù)得到，這就說明不同拋物線總有一個表征“形狀”的量，這個量是什么呢？這可以進一步進行邏輯推理……這是圓錐曲線中的一個具有一定難度，同時邏輯性又非常強的推理過程，這個過程如果推理充分，那所花時間應該在二十分鐘左右，這二十分鐘內(nèi)，學生的邏輯思維是處于高度運轉狀態(tài)的. 從其他曲線的鋪墊，到對拋物線形狀的研究，一環(huán)扣一環(huán)，既應用了已經(jīng)學過的知識，也推理出了新的結論. 這對于培養(yǎng)學生的邏輯推理能力來說，是一個不可多得的機會.

瞄準解題方向，尋找直覺思維突破途徑

無法一下尋找到正確的解題方向，這可能是學生最為頭疼的事情了. 尤其是數(shù)學證明題，往往就卡在第一步，這種“卡”其實就是思維的卡，即學生思維中已有的知識與解題經(jīng)驗，不足以直接加工題目里提供的信息，這顯然意味著思維突破的著力點，應當是學生直覺思維的培養(yǎng).

實踐證明，在這種變式中，學生的思維方式是可以得到鞏固的，解題的直覺思維能力是可以得到遷移的.

總之，高中數(shù)學思維突破的策略方法，需要依靠思維本質來進行，只有這樣才能收到預期效果.