APOS理論視角下的高中導(dǎo)數(shù)教學(xué)研究

李文磊

[摘 要] 導(dǎo)數(shù)不僅是高中階段函數(shù)學(xué)習(xí)的有力工具，而且也是更高階段學(xué)習(xí)的基礎(chǔ). 將APOS理論運(yùn)用于導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)中，有利于作為建構(gòu)主體的學(xué)生，通過自主探索形成概念，真正理解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)質(zhì)，形成穩(wěn)定的綜合心理圖式. 本文在闡述APOS理論視角下的導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)原則的基礎(chǔ)上，探尋了APOS理論視角下的導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)策略，并以《導(dǎo)數(shù)的概念》教學(xué)為例進(jìn)行了深入探討.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；APOS理論；導(dǎo)數(shù)的概念

導(dǎo)數(shù)不僅是高中階段函數(shù)學(xué)習(xí)的有力工具，而且也是更高階段學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，然而導(dǎo)數(shù)概念較為抽象，如何讓學(xué)生真正理解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)質(zhì)成為廣大一線教育者關(guān)注的焦點(diǎn). 美國(guó)學(xué)者杜賓斯基等人提出的APOS理論將學(xué)生作為建構(gòu)的主體，強(qiáng)調(diào)教學(xué)中要以學(xué)生為主體，讓學(xué)生自主探索形成概念. 因此，在APOS理論指導(dǎo)下研究高中導(dǎo)數(shù)教學(xué)具有重要的意義.

APOS理論視角下的導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)原則

1. 學(xué)生主體地位原則

APOS理論指導(dǎo)下的教學(xué)應(yīng)是利用學(xué)生已有知識(shí)逐步引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)概念的. 因此，在導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師應(yīng)充分利用APOS理論所蘊(yùn)含的教學(xué)規(guī)律，通過引導(dǎo)、交流等方式調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生自己體現(xiàn)概念的形成過程和本質(zhì)屬性.

2. 概念形成完整性原則

教學(xué)中應(yīng)以教學(xué)目標(biāo)為依托，注重操作、過程、對(duì)象、圖式階段之間內(nèi)在聯(lián)系，以及每個(gè)階段所要安排的教學(xué)內(nèi)容，要按照循序漸進(jìn)的原則做好各個(gè)階段的協(xié)調(diào)、統(tǒng)一以及過渡，有效保證概念形成的完整性，實(shí)現(xiàn)圖式的建構(gòu).

3. 自主探究原則

要以學(xué)情和教材內(nèi)容為前提，將教學(xué)過程變?yōu)閷W(xué)生自己主動(dòng)探究、建構(gòu)知識(shí)的過程，并在此過程中，要給予學(xué)生充足的思考時(shí)間，從而達(dá)到升華思維、形成概念的目標(biāo).

1. 操作階段

為了讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)概念，教師應(yīng)從學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)識(shí)水平和生活經(jīng)驗(yàn)著手，設(shè)置一系列問題情境，實(shí)現(xiàn)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的遷移.

例如，導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)中，筆者從學(xué)生最為熟悉的速度入手，引入高中物理中高臺(tái)跳水問題，然后選取一些具體數(shù)值，從小于0和大于0兩個(gè)方面入手，體會(huì)不斷趨近于0值時(shí)平均速度的變化，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)平均速度到瞬時(shí)速度的轉(zhuǎn)變，切實(shí)讓學(xué)生感受高中數(shù)學(xué)中引入導(dǎo)數(shù)概念的合理性，為更好地理解導(dǎo)數(shù)概念本質(zhì)做好鋪墊.

2. 過程階段

操作階段僅是外部刺激，而導(dǎo)數(shù)概念形成還需要學(xué)生自己構(gòu)建概念，在具體教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)設(shè)置一些問題和探究引導(dǎo)學(xué)生對(duì)操作階段、思維活動(dòng)、課堂小組活動(dòng)不斷思考和總結(jié)，幫助學(xué)生對(duì)概念形成認(rèn)識(shí)，然后從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，組織形成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，使之成為數(shù)學(xué)概念.

例如，導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)中，筆者不斷組織學(xué)生思考、總結(jié)操作階段，理解瞬時(shí)速度的實(shí)質(zhì)，抽象出瞬時(shí)速度的數(shù)學(xué)符號(hào). 然后由特殊到一般，以某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為主題，要求學(xué)生思考此時(shí)的瞬時(shí)速度如何理解、計(jì)算等. 最后，將運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度抽象到函數(shù)的瞬時(shí)速度，要求學(xué)生再次思考如何理解、計(jì)算等，并總結(jié)以上問題特征與屬性，思考導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)，進(jìn)而將導(dǎo)數(shù)概念與其一般的數(shù)學(xué)表達(dá)式聯(lián)系起來(lái)，模仿得出導(dǎo)數(shù)概念.

3. 對(duì)象階段

過程階段得出的概念是學(xué)生不斷模仿、概括而得出的概念，這樣的概念不僅不利于學(xué)生記憶，而且也較為抽象. 因此，為了強(qiáng)化概念的理解，教師應(yīng)組織學(xué)生繼續(xù)對(duì)前兩個(gè)階段進(jìn)行思考和整合，對(duì)得出的概念進(jìn)行補(bǔ)充說(shuō)明和細(xì)節(jié)上的辨析，并通過教師示范、習(xí)題練習(xí)等方式實(shí)現(xiàn)由過程到對(duì)象的轉(zhuǎn)化，從多種角度理解概念，使其作為一個(gè)獨(dú)立的對(duì)象存儲(chǔ)于學(xué)生大腦之中.

例如，過程階段得出的導(dǎo)數(shù)概念是在平均變化率、趨近思想的基礎(chǔ)上概括得出的，而導(dǎo)數(shù)前提是在函數(shù)上面進(jìn)行研究的. 因此，筆者在對(duì)象階段，組織學(xué)生在前面探究學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上歸納出求解瞬時(shí)變化率的一般步驟，并思考Δx可不可以等于零，如何趨近零，導(dǎo)數(shù)的具體意義是什么，它在現(xiàn)實(shí)生活中的本質(zhì)是什么，以前所學(xué)問題中哪些地方可以發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)，等等. 同時(shí)，闡述x0處有導(dǎo)數(shù)必須使函數(shù)在x0處有意義，并思考x0處的導(dǎo)數(shù)具體該如何表示. 通過以上這一系列的思考，從而幫助學(xué)生加深對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解，將之前的動(dòng)態(tài)的步驟轉(zhuǎn)變成為靜態(tài)的結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)于學(xué)生大腦之中.

4. 圖式階段

雖然上述三個(gè)階段經(jīng)歷了概念抽象過程，形成了具有現(xiàn)實(shí)問題背景的概念，但要真正把握導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)屬性，則還要建立起與其他概念之間的聯(lián)系，一方面需要突顯概念的本質(zhì)，建立起概念的內(nèi)涵與外延引申而來(lái)的概念之間的聯(lián)系；另一方面需要不斷學(xué)習(xí)，建立起導(dǎo)數(shù)概念與其他概念之間的聯(lián)系，并不斷調(diào)整. 值得注意的是，圖式階段的學(xué)習(xí)是一個(gè)漫長(zhǎng)的過程，需要學(xué)生不斷學(xué)習(xí)，如果學(xué)生一旦形成綜合心理圖式，則概念也就會(huì)深入到學(xué)生腦海之中，對(duì)于今后遇到的問題能夠迅速做出判斷并予以解決.

例如，導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)中，通過前面的建構(gòu)學(xué)生已經(jīng)理解了導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)屬性，此時(shí)，筆者通過一些例題加深對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，理解平均變化率、瞬時(shí)變化率以及導(dǎo)數(shù)概念之間的關(guān)系，并應(yīng)用一些導(dǎo)數(shù)定義的變式題目辨析導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)，從而不斷建立比較穩(wěn)定的綜合圖式.

僅有相關(guān)理論是不夠的，導(dǎo)數(shù)概念應(yīng)該是實(shí)踐性很強(qiáng)的教學(xué)內(nèi)容. 因此，為了加深A(yù)POS理論視角下的導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)，筆者以《導(dǎo)數(shù)的概念》教學(xué)為例進(jìn)行深入探討.

1. 操作階段

為了調(diào)動(dòng)學(xué)生已形成的心理圖式，筆者從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，組織學(xué)生溫故平均變化率的概念. 同時(shí)，為感受概念的直觀背景，筆者利用多媒體創(chuàng)設(shè)了以下問題情境. 在國(guó)際跳水選拔賽中，A運(yùn)動(dòng)員在0，跳水時(shí)間內(nèi)圖像如圖1所示，請(qǐng)觀察圖像并思考以下問題：

（1）A運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)是否是靜止的？

（2）如何描述A運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如果利用平均速度表述則會(huì)出現(xiàn)哪些問題？

（3）當(dāng)t=1 s時(shí)，A運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度如何去求？

（4）以小組為單位，探討并完成以下表格，思考平均速度與瞬時(shí)速度之間的關(guān)系.

2. 過程階段

為了逐步得出導(dǎo)數(shù)概念的定義，不斷提升學(xué)生的邏輯思維，筆者創(chuàng)設(shè)了以下問題組織學(xué)生探討：

（1）A運(yùn)動(dòng)員在t=t0時(shí)的瞬時(shí)速度如何表示？

（2）函數(shù)f（x）在x=x0時(shí)的瞬時(shí)速度如何表示？

3. 對(duì)象階段

觀察式子f ′（x0）==，講解函數(shù)在x=x0處有定義，才能求此點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，并組織學(xué)生思考Δx是否可以等于0，認(rèn)清該公式的變形形式. 同時(shí)，為了讓學(xué)生體會(huì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用價(jià)值，熟悉求導(dǎo)數(shù)的步驟，筆者要求學(xué)生完成教材中的例題和習(xí)題.

4. 圖式階段

為了幫助學(xué)生形成自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，學(xué)會(huì)知識(shí)的總結(jié)和遷移，筆者通過“談?wù)劚竟?jié)課程的收獲”“導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)質(zhì)是什么”等方式讓學(xué)生自己總結(jié)本節(jié)課程知識(shí)，并設(shè)置以下問題將所學(xué)知識(shí)與常見生活現(xiàn)象緊密聯(lián)系起來(lái)：

（1）在原油精煉為汽油時(shí)，已知精煉時(shí)間t與原油溫度之間存在著以下函數(shù)關(guān)系：f（t）=t2-7t+15（0≤x≤8），求t=4時(shí)的原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它們的意義.

（2）生活中哪些問題還可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)解釋，你能舉出幾個(gè)？

綜上所述，APOS理論視角下的高中導(dǎo)數(shù)教學(xué)符合現(xiàn)代教學(xué)理念，在具體教學(xué)中，應(yīng)遵循APOS教學(xué)設(shè)計(jì)原則，在操作中感受知識(shí)的形成過程，真正讓學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)質(zhì)，形成穩(wěn)定的綜合心理圖式.