多期指數(shù)加權(quán)期望損失

劉 瓊,胡亦鈞

(武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北武漢 430072)

1 引言

在險(xiǎn)價(jià)值VaR是當(dāng)前最流行的風(fēng)險(xiǎn)度量,它指的是在一定的置信度內(nèi),由于市場(chǎng)波動(dòng)而導(dǎo)致的整個(gè)資產(chǎn)組合在未來(lái)某個(gè)時(shí)期內(nèi)可能出現(xiàn)的最大損失.但其只表示損失分布的一個(gè)分位數(shù),不反映整個(gè)損失分布的下尾部情況;不具有次可加性,破壞了風(fēng)險(xiǎn)分散化原理,因而備受批評(píng)[1].為了克服這些缺點(diǎn),Artzener等人提出了一致性風(fēng)險(xiǎn)度量的公理化體系[2],從此,很多學(xué)者開始了對(duì)風(fēng)險(xiǎn)度量問題的研究,運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)度量的一致性概念研究保險(xiǎn)業(yè)的資本保證金[3],研究一致性風(fēng)險(xiǎn)度量和各種經(jīng)濟(jì)參數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系,從而達(dá)到規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的目的[4].不同的一致性風(fēng)險(xiǎn)度量被提出,尤以ES(Expected Shortfall)最為突出,但ES僅是超過VaR的尾部極端損失的條件期望,不能有效地刻畫投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡態(tài)度,同時(shí)不能有效地控制損失分布的厚尾現(xiàn)象.其次,無(wú)論是VaR還是ES都是從單期風(fēng)險(xiǎn)角度去研究風(fēng)險(xiǎn)度量,而在實(shí)際中,投資組合常呈現(xiàn)多期風(fēng)險(xiǎn).文獻(xiàn)[5]雖引入了風(fēng)險(xiǎn)厭惡因子,有效地刻畫了投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡態(tài)度,但其也只是從單期風(fēng)險(xiǎn)的角度去研究風(fēng)險(xiǎn)度量;文獻(xiàn)[6]提出的動(dòng)態(tài)一致性風(fēng)險(xiǎn)度量雖從多期風(fēng)險(xiǎn)的角度去考慮風(fēng)險(xiǎn),但卻不能有效地刻畫投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡態(tài)度,因此,有必要從多期風(fēng)險(xiǎn)的角度去討論投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡態(tài)度.

本文在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上,利用文獻(xiàn)[6]中的思想,引入風(fēng)險(xiǎn)厭惡因子,以投資期限的劃分為分界點(diǎn),從多期風(fēng)險(xiǎn)角度提出了一種新的風(fēng)險(xiǎn)度量――多期指數(shù)加權(quán)期望損失(簡(jiǎn)記MWES),并對(duì)它的凸性、單調(diào)性展開了深入的探討.

2 準(zhǔn)備知識(shí)

一個(gè)金融風(fēng)險(xiǎn)頭寸可以看成是在概率空間(?,F,P)上的一個(gè)隨機(jī)變量X,用M=L∞(?,F,P)表示(?,F,P)上的有界隨機(jī)變量全體,一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)度量ρ可以看成是定義在L∞(?,F,P)到實(shí)數(shù)R上的一個(gè)映射.數(shù)量ρ(X)表示風(fēng)險(xiǎn)頭寸X的持有者為了滿足市場(chǎng)監(jiān)管的要求,需要額外追加的資金,稱為風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)備金.本文中X為正值時(shí)表示收益.

定義1[8]稱M?→R上的映射ρ為一致性風(fēng)險(xiǎn)度量,如果它滿足以下四個(gè)條件

平移不變性:ρ(X+α)=ρ(X)?α,α為任意的實(shí)數(shù);

正齊次性:ρ(αX)=αρ(X),α為正實(shí)數(shù);

單調(diào)性:X≥Y,則ρ(X)≤ ρ(Y);

次可加性:ρ(X1+X2)≤ρ(X1)+ρ(X2).

注1 平移不變性表明追加無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)到一個(gè)資產(chǎn)組合中,風(fēng)險(xiǎn)相應(yīng)的減少同等數(shù)量;正齊次性說(shuō)明風(fēng)險(xiǎn)與頭寸的規(guī)模成正比;單調(diào)性可以理解為收益大的頭寸,風(fēng)險(xiǎn)相應(yīng)較小;次可加性體現(xiàn)了風(fēng)險(xiǎn)分散化效應(yīng).

設(shè)F(x)為隨機(jī)變量X的概率分布函數(shù),也就是F(x)=P{X≤x},對(duì)任意α∈(0,1),α的分位數(shù)為xα=inf{x|F(x)≥α}.

定義2 單期期望損失(expected shortfall,ES)

若頭寸X滿足E[X]＜∞,則X在顯著水平為α?xí)r的單期期望損失定義為

從ES的定義表達(dá)式可以看出,它僅僅是超過VaR的尾部極端損失的條件期望,有時(shí)也表示為ESα(X)=?α?1[E(X1{X≤xα})+xα(α ?P{X≤xα})],代表著頭寸X的損失值的最糟糕的α平均數(shù),從而不能有效地刻畫投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡態(tài)度.通過下表的例子來(lái)說(shuō)明這一情況.從表1股票V1和V2的歷史收益和相應(yīng)的概率可以計(jì)算出,在顯著性水平為5%的情況下,ES5%(V1)=ES5%(V2),E(V1)=E(V2).因此,若選擇ES為投資組合的風(fēng)險(xiǎn)度量,股票V1和V2對(duì)投資者沒有任何區(qū)別,但風(fēng)險(xiǎn)偏好的投資者會(huì)選擇投資股票V1,風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的投資者會(huì)選擇投資股票V2,這也說(shuō)明了投資者對(duì)金融頭寸的選擇由其對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度決定.一般情況下,金融投資者對(duì)小概率但高損失的事件極為厭惡,是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的.故要符合投資者的實(shí)際需求,ES是不夠的.為解決這一問題,文獻(xiàn)[5]引入了風(fēng)險(xiǎn)厭惡因子,提出指數(shù)加權(quán)期望損失,有效地刻畫了投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡態(tài)度.

表1:股票V1和V2的歷史收益與相應(yīng)的概率

定義3[5]單期指數(shù)加權(quán)期望損失(exponentially weighted-expected shortfall,WES)

若頭寸X滿足E(X)＜∞,則X在顯著水平為α?xí)r的單期指數(shù)加權(quán)期望損失定義如下

若定義

則

該單期風(fēng)險(xiǎn)度量的優(yōu)點(diǎn)在于它引入了風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù),以非對(duì)稱的方式處理超過VaR的損失,并隨著λ的變化而有不同的形式.由WES的定義式可以看出,當(dāng)λ=0時(shí),WESα(X)=ESα(X),此時(shí)ES和WES是等價(jià)的.由表1計(jì)算可得,對(duì)于任意的λ∈[0,+∞),有WES5%(V1)＞W(wǎng)ES5%(V2),即V2比V1值得投資.這也說(shuō)明WES較ES更能刻畫投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度.

通過上述描述,我們看到WES很好地刻畫了投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度,但事實(shí)上,它卻不滿足一致性風(fēng)險(xiǎn)度量的要求.實(shí)際金融市場(chǎng)上,會(huì)出現(xiàn)金融頭寸規(guī)模大量增加引起額外流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)的情況.這說(shuō)明金融頭寸的風(fēng)險(xiǎn)可能以非線性的方式隨著金融頭寸的增加而變化,故正齊次性太嚴(yán)格,因此有必要適量的降低正齊次性和次可加性的要求,用更弱的凸性來(lái)代替.凸性體現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)的分散化效應(yīng),這是研究一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)度量必不可少的條件.同時(shí),近年來(lái)許多學(xué)者對(duì)平移不變性提出了質(zhì)疑,平移不變性是基于現(xiàn)金流提出的,當(dāng)考慮資產(chǎn)收益率的風(fēng)險(xiǎn)度量時(shí),便難以給平移不變性一個(gè)合理的解釋.基于以上原因,筆者認(rèn)為,凸性和單調(diào)性是一個(gè)合理的風(fēng)險(xiǎn)度量應(yīng)該滿足的基本性質(zhì).

其次,無(wú)論是VaR,ES還是WES,都只考慮了單期資產(chǎn)的變化情況,即只考慮資產(chǎn)從0時(shí)刻到T時(shí)刻的變化(T可以是1小時(shí),1天或7天等),都是基于固定投資期限的一種風(fēng)險(xiǎn)度量.而實(shí)際上投資組合由于許多中間現(xiàn)金流的存在常常呈現(xiàn)多期風(fēng)險(xiǎn),多期風(fēng)險(xiǎn)度量正是在這種背景下產(chǎn)生的.

3 多期指數(shù)加權(quán)期望損失

現(xiàn)在把投資期限時(shí)間間隔0～T進(jìn)行N等分.令Δ={t0=0,···,tn=T}.考慮N+1期多期資產(chǎn)的變化情況[6].

投資組合由m種資產(chǎn)組成,對(duì)于任意時(shí)刻tj∈Δ,對(duì)應(yīng)一種投資策略Sj,則投資組合策略用等式W(sj,tj)=(w1(sj,tj),w2(sj,tj),···,wm(sj,tj))∈Rm表示,其中j=0,1,···,N.每一個(gè)wi(sj,tj),(i=1,···,m)顯示了tj時(shí)刻第i種資產(chǎn)的投資數(shù)量,即權(quán)重.tj時(shí)刻單位資產(chǎn)組合收益用V(sj,tj)=(v1(sj,tj),v2(sj,tj),···,vm(sj,tj))∈Rm表示,其中vi(sj,tj)表示tj時(shí)刻第i種資產(chǎn)收益或負(fù)債的單位價(jià)值.為方便起見用vi(sj,tj)＞0表示資產(chǎn)收益;相反用vi(sj,tj)≤0表示負(fù)債損失.

設(shè)M是定義在完備概率空間(?,F,Ft,P)上的隨機(jī)變量簇.關(guān)于Ft可測(cè),tj∈Δ,wi(sj,tj)∈?,那么每一時(shí)刻的投資組合W(sj,tj)對(duì)應(yīng)一種隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)ρj(X),且與ρk(X),k=0,1,···,j?1相關(guān).顯然,每一個(gè)ρj(X)就是一種單期風(fēng)險(xiǎn)度量,基于固定投資期限,當(dāng)考慮N+1期多期資產(chǎn)的變化情況時(shí),風(fēng)險(xiǎn)度量就變得復(fù)雜化.如何量化整個(gè)過程的風(fēng)險(xiǎn)將是本文所要討論的多期風(fēng)險(xiǎn)度量.

定義4多期指數(shù)加權(quán)期望損失(multi-period exponentially weighted-expected shortfall,MWES)

記Xj(sj,tj)=V(sj,tj)W′(sj,tj),則?X=(X0(s0,t0),X1(s1,t1),···,XN(sN,tN))∈RN+1,稱

是一種基于N+1期的多期指數(shù)加權(quán)期望損失(簡(jiǎn)稱MWES).

4 MWES的凸性與單調(diào)性

4.1 MWES的單調(diào)性

定理1 對(duì)于兩個(gè)可積的多維隨機(jī)變量X,Y∈RN+1,E[X]＜∞,E[Y]＜∞,如果X≤Y,則對(duì)任意的λ∈[0,+∞),有MWESα(X)≥MWESα(Y),即MWES是單調(diào)遞減的.

注2 ①?X∈RN+1,E[X]＜∞表示X每一個(gè)分量Xj(sj,tj)滿足E[Xj(sj,tj)]＜∞,j=0,1,···,N;②對(duì)于X,Y∈RN+1,若Xj(sj,tj)≤Yj(sj,tj),j=0,1,···,N,則記為X≤Y;③若X的每一個(gè)分量可積,則記X可積.

證 不妨先證WESα(Xj(sj,tj))≥WESα(Yj(sj,tj)),j=0,1,···,N.為方便表述,簡(jiǎn)記Xj(sj,tj)為Xj,其中j=0,1,···,N.由于風(fēng)險(xiǎn)在很大程度上與投資者的個(gè)體心理感受有關(guān),而投資者通常關(guān)心的是隨機(jī)變量的左尾分布,一般認(rèn)為只有投資發(fā)生損失時(shí)才存在風(fēng)險(xiǎn),故考慮α適當(dāng)小,損失真正發(fā)生的情況,即(xj)α≤0,(yj)α≤0.

不等式(1)成立的原因是

所以WESα(Xj(sj,tj))≥WESα(Yj(sj,tj)),j=0,1,···,N.故

因此有MWESα(X)≥MWESα(Y).

單調(diào)性的經(jīng)濟(jì)意義是很好解釋的,它說(shuō)明收益率高的資產(chǎn)有小的風(fēng)險(xiǎn).

4.2 MWES的凸性

定理2 對(duì)于任意兩個(gè)可積的多維隨機(jī)變量X,Y∈RN+1,E[X]＜∞,E[Y]＜∞,及任意的λ∈[0,+∞)和γ∈[0,1],有MWES是凸的,即下式成立

證 不妨先證對(duì)任意的λ∈[0,+∞)和γ∈[0,1],有下式成立其中j=0,1,···,N.

同單調(diào)性一樣,考慮α適當(dāng)小,損失真正發(fā)生的情況,即(xj)α≤0,(yj)α≤0,(zj)α≤0.不妨設(shè)X≤Y,Z=γX+(1? γ)Y,則Xj≤Yj,Zj=γXj+(1? γ)Yj,j=0,1,···,N,

其中不等式(2)主要是因?yàn)?/p>

且(zj)α≤0.不等式(3)主要是因?yàn)橛蒟j≤Yj可得γ2Xj?γXj+γ(1?γ)Yj≥0,同時(shí)由于 exp(?λX)單調(diào)遞減,因此當(dāng)Xj≤Yj時(shí),exp(?λXj)≥exp(?λYj),從而

不等式(4)是因?yàn)?/p>

且

這就證明了WESα(γXj+(1?γ)Yj)≤γWESα(Xj)+(1?γ)WESα(Yj),其中j=0,1,···,N. 所以

故MWES是凸的.

凸性體現(xiàn)了組合風(fēng)險(xiǎn)的分散化效應(yīng),這是作為一個(gè)合理的風(fēng)險(xiǎn)度量必備的基本性質(zhì).從風(fēng)險(xiǎn)監(jiān)管的角度看,凸性保證了若某一金融機(jī)構(gòu)或投資組合如果不滿足監(jiān)管要求,被監(jiān)管對(duì)象不能夠通過分拆的方法達(dá)到監(jiān)管要求;從數(shù)學(xué)角度來(lái)看,保證風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的凸性有助于得到的模型是凸優(yōu)化模型,凸優(yōu)化問題在理論上具有惟一最優(yōu)解,也易于用數(shù)值方法實(shí)現(xiàn).

5 數(shù)值模擬

就表1中的兩種股票V1和V2,考慮其多期組合投資,這里假設(shè)V1與V2獨(dú)立且各個(gè)時(shí)刻的收益所服從的分布不變,最多只模擬5期.如下表2所示.

表2:股票V1和V2的多期組合投資

取α=0.05,λ=0.001,通過SAS軟件計(jì)算得出結(jié)果如下表3所示.

表3:股票V1和V2的多期組合投資風(fēng)險(xiǎn)

從表3的結(jié)果可以看出考慮多期風(fēng)險(xiǎn)時(shí),t時(shí)期的風(fēng)險(xiǎn)與t時(shí)期以前的信息息息相關(guān),并且對(duì)未來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)有持續(xù)性的影響,投資期不同,影響的程度也不同.

6 結(jié)語(yǔ)

本文在ES這種目前相對(duì)比較流行的風(fēng)險(xiǎn)度量方法上,考慮投資者的心理感受及對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度,結(jié)合瞬息萬(wàn)變的市場(chǎng)信息對(duì)風(fēng)險(xiǎn)度量的影響,提出了一種新的多期風(fēng)險(xiǎn)度量MWES.并對(duì)它的凸性和單調(diào)性展開了深入的討論,闡述了它在多期組合投資中的現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義.本文提出的這種度量方法,簡(jiǎn)單、計(jì)算方便,又更接近于投資者的心理感受,進(jìn)一步考慮金融產(chǎn)品的內(nèi)在品質(zhì),行業(yè)和整個(gè)宏觀經(jīng)濟(jì)情況對(duì)多期組合投資的影響將是下一步迫切需要研究的課題.

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