循“理”入“法”以“理”馭“法”

傅玉琳

[摘 要]人教版教材五年級上冊第三單元的教學(xué)內(nèi)容“一個數(shù)除以小數(shù)”，在學(xué)生學(xué)習(xí)了“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”的基礎(chǔ)上，編排了“除數(shù)與被除數(shù)的小數(shù)位數(shù)相同”和“被除數(shù)的小數(shù)位數(shù)比除數(shù)少”兩個例題，要求學(xué)生總結(jié)歸納這類題目的計算方法。結(jié)合教學(xué)實際，以厘清計算教學(xué)中“算理”和“算法”之間的聯(lián)系為重點，切實提升教學(xué)的實效性，從而達(dá)成提高課堂效率的總體目標(biāo)。

[關(guān)鍵詞]算理；算法；一個數(shù)除以小數(shù)；實踐；思考

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）35-0017-02

教學(xué)“一個數(shù)除以小數(shù)”時，教師經(jīng)常會有這樣的困惑：如此簡單的教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生作業(yè)的完成效果卻常常不盡如人意，雖然后續(xù)可以通過加大練習(xí)題量的方式逐步提高學(xué)生作業(yè)的準(zhǔn)確率，但是這樣又落入了計算教學(xué)的一大“誤區(qū)”。日前，筆者參與了教研組就這一內(nèi)容進(jìn)行的“同課異構(gòu)”教學(xué)活動，針對其中的“新知探索”環(huán)節(jié)進(jìn)行對比式課堂實踐。

【第一次教學(xué)實踐】

出示例題：奶奶編一個中國結(jié)需要0.85米絲繩，有7.65米長的絲繩，可以編幾個？

讀題后列出算式：7.65÷0.85=

師：這個題目與我們之前學(xué)過的知識有什么不同？（這題的除數(shù)是小數(shù)）你能用自己的方法試著算一算嗎？

師：生1，你是依據(jù)什么轉(zhuǎn)化的呢？

生1：商不變的性質(zhì)。

師：生2和生3都是用豎式來解決，哪位同學(xué)的結(jié)果是正確的？

師：雖然生2的結(jié)果正確，但是列的豎式有問題。一起來看看老師是怎么做的。（一邊板書過程，一邊講解示范）

師：你能用這種方法再計算一遍嗎？（學(xué)生練習(xí)）請生4說說你的想法。

生4：我把米轉(zhuǎn)化成厘米，這樣就可以轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法來解決。

師：這其實與生1的方法相同。計算除數(shù)是小數(shù)的除法，先利用商不變的性質(zhì)將它轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法，所以要先看除數(shù)的小數(shù)位數(shù)，然后將被除數(shù)同時擴大相同的倍數(shù)。

教師列式后放手讓學(xué)生去計算，必然會出現(xiàn)各式各樣的解題方案，一旦涉及豎式計算過程，更會產(chǎn)生大量的可以利用的“錯誤資源”。此時，教師的主導(dǎo)作用已經(jīng)演化為在處理各種算法中逐步落實本課的知識目標(biāo)。然而，正是這種看似通過自主探索，使學(xué)生經(jīng)歷了算法多樣化和過程優(yōu)化的教學(xué)方法，卻為后續(xù)實際教學(xué)效果不佳的狀況埋下了“地雷”。

深入探索其中的原因，在以上環(huán)節(jié)中，學(xué)生需要在教師的引導(dǎo)下同時解決“該怎樣算”“為什么這樣算”“還可以怎樣算”“怎樣算更好”四個問題，其中前兩個問題指向“計算依據(jù)”，后兩個問題則體現(xiàn)了“計算方法”。正因為承載的內(nèi)容和目標(biāo)過多，難免會產(chǎn)生學(xué)生對“計算依據(jù)”理解不透徹，對“計算方法”掌握不扎實等現(xiàn)實問題，從而陷入“兒童急走追黃蝶，飛入菜花無處尋”的困境。

基于這些思考，筆者對這一個環(huán)節(jié)進(jìn)行了再次設(shè)計。

【改進(jìn)后的教學(xué)過程】

1.創(chuàng)設(shè)情境，比較設(shè)疑

逐題出示以下三個問題，分別列式并板書：（1）編一個小號的中國結(jié)需要35厘米絲繩，有735厘米絲繩，可以編幾個？（2）編一個中號的中國結(jié)需要61厘米絲繩，有561.2厘米絲繩，可以編幾個？（3）編一個大號的中國結(jié)需要0.85米絲繩，有7.65米絲繩，可以編幾個？

師：這三個題目有什么共同點？（都是求“可以編幾個”的問題，用除法計算）在得出的三個算式中，如果讓你選擇一題計算，你會選擇哪一題？為什么？

生1：735÷35。這題的被除數(shù)和除數(shù)都是整數(shù)。

師：也就是整數(shù)除法。剩下來的題目中，你會選哪題呢？

生2：選561.2÷61。這題的除數(shù)是整數(shù)，我們已經(jīng)學(xué)過除數(shù)是整數(shù)的除法。

師：這兩個算式有什么共同點？

生3：都是除數(shù)是整數(shù)的除法。

師：只要除數(shù)是整數(shù)就可以了？被除數(shù)是小數(shù)對于你們來說有沒有問題？（沒有）

師（指7.65÷0.85）：為什么不選這個算式呢？

生4：這題的被除數(shù)和除數(shù)都是小數(shù)。

師：主要是因為誰是小數(shù)？（除數(shù)）跟另外兩題相比，它屬于除數(shù)是小數(shù)的除法。

2.巧用轉(zhuǎn)化，理解算理

師：有兩題的解法是我們已經(jīng)學(xué)過的，有一題的解法是沒有學(xué)過的，對于沒有學(xué)過的，你有什么想法？

生5：可以把除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法。也就是把沒有學(xué)過的知識轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的知識來解決。

師：這個想法非常好！那么，大家想到轉(zhuǎn)化的方法了嗎？

師（板書如圖1）：說說這是怎么想的。

生6：把被除數(shù)和除數(shù)同時擴大100倍，商不變。

師：為什么這里是乘以100而不是其他的數(shù)呢？

生7：要把除數(shù)的小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，除數(shù)是兩位小數(shù)，所以擴大100倍。

師：也就是說，這種轉(zhuǎn)化是由誰決定的？（除數(shù)）具體一點呢？（除數(shù)的小數(shù)位數(shù)）對被除數(shù)是怎么處理的？（除數(shù)擴大多少倍，被除數(shù)也擴大多少倍）

師：還有別的轉(zhuǎn)化方法嗎？（板書如圖2）說說你的想法。

生8：可以把m轉(zhuǎn)化為cm后再計算。

師：非常好，把m轉(zhuǎn)化為cm，其實就是把被除數(shù)和除數(shù)都轉(zhuǎn)化成整數(shù)，也可以看作是利用了商不變的性質(zhì)。

3.建立聯(lián)系，豎式計算

師：這個過程如果用豎式，該如何表示呢？我們一起來試一試。（豎式表示中再次強調(diào)“算理”；過程略）

可見，第二個環(huán)節(jié)的教學(xué)中重點強調(diào)了計算這類題目之前進(jìn)行轉(zhuǎn)化的發(fā)起點是“除數(shù)”，實施關(guān)鍵則是“除數(shù)的小數(shù)位數(shù)”。由于課堂練習(xí)中已經(jīng)出現(xiàn)了“被除數(shù)的小數(shù)位數(shù)比除數(shù)多”的變式（0.544÷0.16），此時引入例5“被除數(shù)的小數(shù)位數(shù)比除數(shù)少”的教學(xué)就水到渠成了。

【新增例5的教學(xué)】

師（出示例題：12.6÷0.28）：仔細(xì)觀察，這題和前面的題目有什么不同？

生9：被除數(shù)的小數(shù)位數(shù)比除數(shù)少。

師：那怎么辦呢？誰來說說你的想法？

生10：將除數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)擴大了100倍，被除數(shù)也要擴大100倍。

師：被除數(shù)擴大100倍以后是多少？你是怎么想的？

生11：位數(shù)不夠，在末尾用0補足。

師：這樣就轉(zhuǎn)化成了怎樣的一個算式？（整數(shù)除以整數(shù)）大家能把剛才說的過程用豎式表示出來嗎？在草稿本上試一試。（學(xué)生練習(xí)、反饋，教師講評，再次強調(diào)“先看除數(shù)的小數(shù)位數(shù)，再進(jìn)行轉(zhuǎn)化”的知識要點）

師（小結(jié)）：被除數(shù)和除數(shù)的小數(shù)位數(shù)相同，被除數(shù)小數(shù)位數(shù)少于除數(shù)，都可以轉(zhuǎn)化為整數(shù)除以整數(shù)；被除數(shù)小數(shù)位數(shù)比除數(shù)多的時候，可以轉(zhuǎn)化為小數(shù)除以整數(shù)。

相比于第一次實踐的思路，改進(jìn)后的設(shè)計和實施有效避免了“計算依據(jù)”與“計算方法”混淆的現(xiàn)象，突出體現(xiàn)了以下兩個方面的教學(xué)意圖。

一、構(gòu)筑起完整的教學(xué)體系，始終遵循從“計算依據(jù)”中導(dǎo)入“計算方法”

課始創(chuàng)設(shè)的一個簡單情境，就引出了三種不同類型的算式，通過“你會選擇哪一題計算”的問題，帶領(lǐng)學(xué)生回顧了“整數(shù)除以整數(shù)→小數(shù)除以整數(shù)→一個數(shù)除以小數(shù)”的知識學(xué)習(xí)過程。在教學(xué)兩個例題的過程中，堅持以對“算理”的深入理解為先，再順勢導(dǎo)入用豎式計算的方法。

在教學(xué)例5之后，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)板書自主探索“所學(xué)新知”與“已有舊知”之間的關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生構(gòu)建較為完整的知識體系。這種以知識的內(nèi)部聯(lián)系去促進(jìn)學(xué)生理解的方式，對應(yīng)了《浙江省中小學(xué)學(xué)科教學(xué)建議（小學(xué)數(shù)學(xué)）》中提到的“教師要善于運用‘聯(lián)系觀去改變教學(xué)深度”的觀點。小學(xué)數(shù)學(xué)中計算教學(xué)內(nèi)容“螺旋上升式”的編排方式，自始至終都隱含著“體系化”的屬性，在日常教學(xué)中，教師只要善于挖掘和利用，必將對學(xué)生理解算理和掌握算法起到非常重要的推動作用。

二、經(jīng)歷知識形成過程，特別強調(diào)以“計算依據(jù)”駕馭“計算方法”

“怎樣算”“為什么這樣算”“還可以怎樣算”“怎樣算最好”這四個問題，清晰地闡述了計算教學(xué)中新知探索環(huán)節(jié)的主要步驟。只有切實地解決了前面兩個指向“計算依據(jù)”的問題，才能奠定習(xí)得“計算方法”的知識基礎(chǔ)。單就“除數(shù)是小數(shù)的除法”這一內(nèi)容而言，似乎存在“算理”和“算法”之間的區(qū)別不是非常清晰的情況，畢竟用橫式解決的方法也可以看作是一種具體的算法。實際上，這正好順應(yīng)了對“怎樣算最好”這個問題的解決，也就是進(jìn)一步的算法優(yōu)化——列豎式計算。

值得一提的是，在豎式計算的具體過程中，特別強調(diào)以除數(shù)的“小數(shù)位數(shù)”為轉(zhuǎn)化的“起點”，被除數(shù)的“小數(shù)位數(shù)”隨除數(shù)發(fā)生的變化而變化。這樣的教學(xué)設(shè)計，一方面合理地搭建了“計算依據(jù)”與“計算方法”之間的橋梁，另一方面，也充分體現(xiàn)了前者對后者的“駕馭”作用。

（責(zé)編 金 鈴）