挖掘考題本源，銜接習(xí)題求解

張小青

[摘? 要] 中考中的一些復(fù)合問(wèn)題與教材內(nèi)容存在極大的關(guān)聯(lián)，其命題素材來(lái)源于教材習(xí)題，所以對(duì)習(xí)題的解題策略進(jìn)行整合，有助于復(fù)合問(wèn)題的求解. 同時(shí)，可以依據(jù)教材習(xí)題策略對(duì)綜合問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 本文以一道中考幾何函數(shù)綜合題為例，詳細(xì)講解銜接習(xí)題求解綜合題的策略，與讀者交流、學(xué)習(xí).

[關(guān)鍵詞] 幾何;函數(shù);綜合;圖像;提煉;習(xí)題

考題呈現(xiàn)

（2017年江蘇蘇州中考）學(xué)校機(jī)器人興趣小組在圖1所示的矩形場(chǎng)地上開(kāi)展機(jī)器人操作訓(xùn)練. 已知機(jī)器人將從場(chǎng)地的A點(diǎn)出發(fā)，在矩形ABCD的四條邊上沿著A→B→C→D勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)機(jī)器人到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng). 機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，且每當(dāng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)至矩形的拐角處都需要1 s的調(diào)整時(shí)間（在矩形的點(diǎn)B，C拐角處分別需用1 s），設(shè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的用時(shí)為t（s），運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位置為P，P到矩形的對(duì)角線BD的距離（垂線段PQ的長(zhǎng)）為d個(gè)單位長(zhǎng)度，圖2為其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中d關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)圖像.

（1）試求矩形的邊AB，BC的長(zhǎng).

（2）圖2曲線上的點(diǎn)M，N分別在線段EF，GH上，已知MN平行于坐標(biāo)系的橫軸，設(shè)點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)分別為t₁，t₂，機(jī)器人到達(dá)P₁處用時(shí)為t₁（s），到達(dá)P₂處用時(shí)為t₂（s）. 如果CP₁+CP₂=7，試求t1和t2的數(shù)值.

考題剖析

1. 問(wèn)題本源剖析

本題從出題形式上來(lái)看，為幾何材料題，但深度剖析可知問(wèn)題內(nèi)容主要由幾何圖形和函數(shù)圖像兩部分組成，實(shí)質(zhì)上是一道結(jié)合了函數(shù)圖像的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，函數(shù)圖像是對(duì)幾何運(yùn)動(dòng)軌跡的描述. 求解時(shí)需要結(jié)合函數(shù)曲線來(lái)深入分析點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，然后利用幾何性質(zhì)來(lái)求解.

從問(wèn)題拆分的角度來(lái)看，可以將問(wèn)題內(nèi)容分為基本的幾何圖形和函數(shù)圖像兩個(gè)部分. 銜接教材習(xí)題，可以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的命制來(lái)源于蘇科版數(shù)學(xué)教材中的幾何問(wèn)題和函數(shù)問(wèn)題.

幾何問(wèn)題：如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，求AD和BD的長(zhǎng).

原問(wèn)題雖為矩形內(nèi)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，但從局部來(lái)看依然是一個(gè)直角三角形，問(wèn)題的研究依然需要借助直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，其中的垂線段PQ在某些特殊時(shí)刻可以看作習(xí)題中△ABC斜邊上的高AD，求解時(shí)需要利用勾股定理建立相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系，這是基于問(wèn)題幾何模型的分析.

函數(shù)問(wèn)題：圖4的圖像是小紅離家后的距離圖像，若x表示時(shí)間，y表示離家的距離，試說(shuō)明曲線的實(shí)際變化意義.

原問(wèn)題給出了d關(guān)于時(shí)間t的圖像，這實(shí)際上是一次函數(shù)圖像解決實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用. 根據(jù)點(diǎn)的具體坐標(biāo)我們完全可以求解出相關(guān)一次函數(shù)的解析式. 當(dāng)然，也可以從一次函數(shù)的斜率變化情況直接分析線段的長(zhǎng)度變化，如圖2中EF段所代表的一次函數(shù)的斜率為正，則d的長(zhǎng)度是增大的過(guò)程，分析時(shí)就需要對(duì)應(yīng)幾何動(dòng)點(diǎn)d增大的軌跡，而FG是一條平行于坐標(biāo)橫軸的直線，所表示的含義為此時(shí)間段內(nèi)d的長(zhǎng)度沒(méi)有變化，而GH段所代表的一次函數(shù)的斜率為負(fù)，則表示在該時(shí)間段內(nèi)d的長(zhǎng)度在減小，其同樣需要對(duì)應(yīng)幾何上的相關(guān)軌跡.

2. 問(wèn)題解法剖析

本題有兩個(gè)小問(wèn)，第（1）問(wèn)求的是矩形ABCD中相鄰兩邊的長(zhǎng);第（2）問(wèn)是求解函數(shù)曲線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的時(shí)間值. 解題時(shí)單純地依靠幾何性質(zhì)來(lái)求解是不能獲得解題思路的，需要從運(yùn)動(dòng)角度結(jié)合函數(shù)圖像來(lái)分析幾何圖形，再利用幾何圖形的性質(zhì)來(lái)求解.

上述求解過(guò)程是基于對(duì)問(wèn)題本源的探索，即問(wèn)題是基本幾何和函數(shù)圖像相結(jié)合的綜合題，從而實(shí)現(xiàn)了動(dòng)點(diǎn)的定量和定性描述. 幾何圖形是對(duì)動(dòng)點(diǎn)的軌跡描述，而函數(shù)曲線建立了時(shí)間與垂線段距離之間的關(guān)系. 兩個(gè)問(wèn)題分別從幾何和函數(shù)兩個(gè)方面進(jìn)行了設(shè)問(wèn)，對(duì)問(wèn)題的分析也就需要充分結(jié)合代數(shù)與幾何知識(shí). 上述第（2）問(wèn)的兩種解法，解法1是利用幾何中的三角形相似性質(zhì)來(lái)求邊長(zhǎng)，然后求時(shí)間;解法2則是直接針對(duì)函數(shù)圖像求解解析式，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)求時(shí)間，它們雖然解法思路不同，但從求解的本質(zhì)上來(lái)看，依然是幾何與代數(shù)的有效結(jié)合，是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

解后思考

1. 深度剖析問(wèn)題，銜接習(xí)題探究

上述題目為幾何與函數(shù)的綜合題，其中涉及基本的幾何圖形和函數(shù)的圖像，利用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)將兩者有機(jī)結(jié)合起來(lái)，建立了問(wèn)題研究的模型，因此可以將其拆分為教材中常見(jiàn)的兩個(gè)模型，一是矩形上的垂線段模型，二是函數(shù)中長(zhǎng)度與時(shí)間的曲線模型. 解題時(shí)也就需要認(rèn)真回顧教材模型的研究策略，如矩形的研究可以利用三角形全等、三角形相似，以及勾股定理，而函數(shù)的研究需要結(jié)合函數(shù)的變化趨勢(shì)、特殊點(diǎn)的坐標(biāo)等. 另外，教材“一次函數(shù)的解決實(shí)際問(wèn)題”章節(jié)中給出了一次函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題的解題策略，即理解函數(shù)曲線及變化所代表的實(shí)際意義. 這些模型的研究策略對(duì)于本題的分析求解有著極為重要的啟示作用，因此在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，我們要特別注重對(duì)教材習(xí)題模型的研究策略總結(jié)，以用于考題的分析和研究.

2. 全面整合內(nèi)容，分離提煉問(wèn)題

本題是一道綜合題，涉及眾多幾何與圖形領(lǐng)域的基本知識(shí)，如垂線、平行線、三角形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)和判定等，同時(shí)涉及函數(shù)領(lǐng)域中一次函數(shù)的圖像，兩大知識(shí)領(lǐng)域是通過(guò)動(dòng)點(diǎn)進(jìn)行綜合的. 而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解首先需要充分掌握?qǐng)D形的這些性質(zhì)特征，并能基于知識(shí)聯(lián)系性對(duì)其進(jìn)行融合，建立起完整的知識(shí)體系. 然后是掌握?qǐng)D形的分離策略，能夠從復(fù)雜圖形中基于特定條件分離出基本的圖形，或合理地構(gòu)建基本圖形，尤其是動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，需要化動(dòng)為靜，分離圖形. 圖形分離的過(guò)程需要具備較強(qiáng)的觀察能力，該能力的培養(yǎng)可以采用對(duì)比分析問(wèn)題的方式，即把具有類同性的幾個(gè)問(wèn)題整合在一起，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的基本形式和轉(zhuǎn)化條件進(jìn)行分析，逐步提升自己的數(shù)學(xué)核心能力.

3. 多角度分析問(wèn)題，提升思想素養(yǎng)

數(shù)學(xué)中的綜合題不僅僅是知識(shí)內(nèi)容的多重整合，其中也涉及眾多的構(gòu)建思路，即問(wèn)題知識(shí)內(nèi)容的融合方式，所以從不同的角度分析問(wèn)題，必然能獲得不同的解題信息. 如本題是幾何與函數(shù)的綜合題，從幾何角度分析就是幾何的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖形上的不同位置，必然可以構(gòu)建不同的模型，如本題第（2）問(wèn)分別從幾何、函數(shù)角度進(jìn)行問(wèn)題分析，幾何角度構(gòu)建的是關(guān)于圖形線段長(zhǎng)度的關(guān)系式，而函數(shù)角度構(gòu)建的是代數(shù)方程，解題的思路不同，使用的指導(dǎo)思想也不相同，構(gòu)造思想和方程思想是其中的思想方法. 思想方法是指導(dǎo)解題思路構(gòu)建的靈魂所在，是實(shí)現(xiàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思想基礎(chǔ)，因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中領(lǐng)悟思想方法，促進(jìn)思想的內(nèi)化，是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵.

總結(jié)

幾何、函數(shù)綜合題是數(shù)學(xué)幾何內(nèi)容與函數(shù)知識(shí)的有機(jī)結(jié)合，其求解策略同樣也是兩者的綜合. 從不同的角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行思考，在不同的指導(dǎo)思想下可以構(gòu)建不同的解題思路，獲得不同的研究模型. 強(qiáng)化幾何綜合題的解題策略，不僅需要深度剖析問(wèn)題本質(zhì)，還需要全面整合幾何與代數(shù)的知識(shí)內(nèi)容，掌握復(fù)合問(wèn)題的分離方法，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).