從2018年浙江省數(shù)學(xué)高考管窺數(shù)學(xué)本質(zhì)與運(yùn)算

俞昕

【摘 要】 ?2018年是浙江省新高考第二年，文理合卷背景下更注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)與運(yùn)算.技巧不是最重要的，掌握本質(zhì)才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的秘訣，在掌握本質(zhì)的基礎(chǔ)上還要具有精準(zhǔn)快的運(yùn)算能力.2018年浙江卷充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)與運(yùn)算的重要性，引發(fā)一線教師的反思，對今后的教學(xué)具有一定的指導(dǎo)作用.

【關(guān)鍵詞】 ?新高考;文理合卷;數(shù)學(xué)本質(zhì);數(shù)學(xué)運(yùn)算

2018年高考落下帷幕，筆者在完整做過浙江省數(shù)學(xué)卷之后深有感觸：新課改數(shù)學(xué)文理合卷背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)更應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，尤其是注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)運(yùn)算.下面筆者就粗淺的談?wù)?018年浙江卷對今后數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示.

1 “廣趣深”的數(shù)學(xué)本質(zhì)需細(xì)水長流

今年高考結(jié)束后無論是教師還是學(xué)生又是一陣嘩然“高三第二學(xué)期復(fù)習(xí)白教（學(xué)）了”，引起嘩然的主要原因在于今年的試卷突破了前兩年固定的模式，解答題第20題由函數(shù)導(dǎo)數(shù)題變?yōu)閿?shù)列題，而第22題由數(shù)列不等式題變?yōu)楹瘮?shù)導(dǎo)數(shù)題.平時(shí)幾乎所有各市地的?？季矶际悄７虑皟赡甑母呖季砟Ｊ?，學(xué)生和教師都已經(jīng)完全適應(yīng)了這樣的模式，突然的改變讓學(xué)生和教師都措手不及，學(xué)生心理上掀起了些許波瀾.作為考生高考已經(jīng)過去了，但是作為教師應(yīng)該靜下心來反思為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象，主要原因是我們在高三第二學(xué)期二輪復(fù)習(xí)中太多的側(cè)重于固態(tài)模式訓(xùn)練，而忽略了“廣趣深”的數(shù)學(xué)本質(zhì)的細(xì)水長流.

1.1 剖析原題

選擇題的最后三題和填空題的最后一題作為拉開區(qū)分度的小題并沒有體現(xiàn)特別的技巧性，而是以常規(guī)題型為載體，充分圍繞著基本的數(shù)學(xué)核心概念、核心思想方法以及核心運(yùn)算，淋漓盡致地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)本質(zhì).

第8題：已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段AB上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則（? ）.

A.θ1≤θ2≤θ3?? B. θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2?? D. θ2≤θ3≤θ1

第8題將三種重要的空間角：線線角、線面角、面面角整合在正四棱錐當(dāng)中.回歸到最本質(zhì)的三種空間角的定義，首先考查學(xué)生能否運(yùn)用定義作出空間角，然后對于線面角和線線角以及線面角和面面角的比較均可以通過構(gòu)造“鱉臑”解決，而對于線線角和面面角的比較可以類似的通過構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)值的比較來解決.此題將傳統(tǒng)立體幾何中最經(jīng)典最本質(zhì)的精華聚集在一起，考點(diǎn)明確直接，只要我們平時(shí)注重立體幾何的傳統(tǒng)法教學(xué)，對于考生來講應(yīng)該不難解決.

第9題：已知a，b，e是平面向量，e是單位向量，若非零向量a與e的夾角為 π 3 ，向量b滿足

b 2-4e·b+3=0，則|a-b|的最小值是（? ）.

A. 3 -1? B.? 3 +1? C. 2? D. 2- 3

第9題對于學(xué)生來講可以說是“小清新”，雖然是新題但學(xué)生似曾相識，常規(guī)的條件中蘊(yùn)含著最本質(zhì)的向量關(guān)系“垂直”.只要學(xué)生能夠挖掘出向量b-3e和b-e垂直，那么問題就迎刃而解了.

第10題：已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1>1，則（? ）.

A.a1<a3，a2<a4?? B. a1>a3，a2<a4

C.a1<a3，a2>a4?? D. a1>a3，a2>a4

第10題將數(shù)列、函數(shù)和不等式知識相結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的統(tǒng)一性與聯(lián)貫性.條件

a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）可以聯(lián)想到構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx-x+1，通過證明經(jīng)典的對數(shù)

不等式lnx≤x-1得到a4≤-1，且q<0，然后運(yùn)用等比數(shù)列和對數(shù)的知識分析可以得到-1<q<0.

仔細(xì)分析可以發(fā)現(xiàn)第10題作為選擇壓軸題非常巧妙地考查了學(xué)生數(shù)列、函數(shù)和不等式中的基本思想方法，沒有側(cè)重于技巧，而是側(cè)重于數(shù)學(xué)本質(zhì)的思想方法.第17題：已知點(diǎn)P（0，1），橢圓 ?x 2 4 +y 2=m（m>1）上兩點(diǎn)A，B滿足 AP =2 PB ，則當(dāng)m=?時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對值最大.

第17題可以說是一道常規(guī)的解析幾何解答題，聯(lián)立方程的思想、向量坐標(biāo)化思想、函數(shù)最值思想都是高中數(shù)學(xué)中的常規(guī)思想方法，落實(shí)了這些基本的思想方法，就只要運(yùn)算過關(guān)即可.1.2 反思教學(xué)

反思我們高三第二學(xué)期第二輪復(fù)習(xí)的教學(xué)，確實(shí)存在事倍功半的現(xiàn)象.首先是我們的專題教學(xué)始終是圍繞著前幾年高考的模式，基本分為：三角函數(shù)、立體幾何、函數(shù)導(dǎo)數(shù)、解析幾何、數(shù)列不等式五大知識模塊.尤其是根據(jù)前兩年高考命題模式，在函數(shù)不等式和數(shù)列不等式的各種放縮技巧上花費(fèi)了很多的時(shí)間，各種數(shù)列不等式放縮的方法都總結(jié)得非常好，教師和學(xué)生也進(jìn)行深入學(xué)習(xí).善于對高考試題進(jìn)行反思與總結(jié)是好現(xiàn)象，但是如果演變?yōu)榧儜?yīng)試教育那就得不償失，就會(huì)造成今年高考結(jié)束后教師和學(xué)生多多少少都會(huì)叫苦“高三一個(gè)學(xué)期白學(xué)了”.所以高三的二輪復(fù)習(xí)教學(xué)還是應(yīng)該腳踏實(shí)地、扎扎實(shí)實(shí)的結(jié)合考綱，把數(shù)學(xué)最本質(zhì)的、最重要的東西挖掘出來，不偏不倚地讓學(xué)生對所有數(shù)學(xué)知識進(jìn)行全面探究與深入學(xué)習(xí).

其次是高三二輪復(fù)習(xí)中進(jìn)行的模考有些過于模式化、難度偏大、技巧性較強(qiáng)、梯度不夠明顯.文理合卷的初衷應(yīng)該是兼顧文理學(xué)生，全面發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，充分體現(xiàn)梯度.夯實(shí)基礎(chǔ)是首要條件，所以高考的選擇填空前幾題一馬平川，主要就是考查高中數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)最本質(zhì)的內(nèi)容，只要學(xué)生基本功扎實(shí)就可以迎刃而解;注重?cái)?shù)學(xué)知識的橫縱向聯(lián)系以及數(shù)學(xué)思想方法的充分滲透是高考中最主要的考查點(diǎn)，所謂的中等難度以上題目和壓軸題無疑就是從多個(gè)角度充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性與連貫性.

基于以上兩點(diǎn)，筆者覺得高三第二學(xué)期二輪復(fù)習(xí)具有很大的挑戰(zhàn)性和研究價(jià)值.在一輪復(fù)習(xí)已經(jīng)全面覆蓋知識點(diǎn)的基礎(chǔ)上，二輪復(fù)習(xí)可以嘗試“以點(diǎn)帶面”，以學(xué)生為主，深入挖掘數(shù)學(xué)概念，發(fā)散學(xué)生數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng).比如以今年高考的壓軸題為例：已知函數(shù)f（x）= x -lnx，（1）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）處導(dǎo)數(shù)相等，證明：f（x1）+f（x2）>8-8ln2;（2）若a≤3-4ln2，證明：對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f（x）有唯一公共點(diǎn).此題是以導(dǎo)數(shù)概念為背景的一道綜合題，其中第（2）小題蘊(yùn)含著二階導(dǎo)數(shù)反映的函數(shù)凹凸性，雖然函數(shù)的凹凸性并不在考綱范圍內(nèi)，但是如果我們從導(dǎo)數(shù)的概念出發(fā)：導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)刻畫原函數(shù)的單調(diào)性，

那么二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)則是刻畫二階導(dǎo)數(shù)的原函數(shù)（一階導(dǎo)數(shù)）的單調(diào)性.如果一階導(dǎo)數(shù)為正，二階導(dǎo)數(shù)也為正，則原函數(shù)遞增速率越來越快;如果一階導(dǎo)數(shù)為 ?[JZ] 圖1

正，二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，則原函數(shù)遞增速率越來越慢.通過求導(dǎo)計(jì)算得到f′（4）=0和f″（16）=0可以畫出原函數(shù)f（x）的圖像（如圖1所示），站在形的角度深挖知識點(diǎn)就會(huì)豁然開朗.2 “精準(zhǔn)快”的數(shù)學(xué)運(yùn)算需滴水穿石

2018年浙江省高中數(shù)學(xué)拔尖學(xué)生培養(yǎng)研討會(huì)上李勝宏教授強(qiáng)調(diào)：運(yùn)算不強(qiáng)的選手走不遠(yuǎn).結(jié)合今年浙江省數(shù)學(xué)高考，李教授的話引起了我的反思：如今學(xué)生的運(yùn)算能力比較薄弱，主要反映在解析幾何問題上.而高考對運(yùn)算的要求一向都比較高，就目前的形式看，要求有增無減.

2.1 剖析原題

今年高考中的解析幾何問題實(shí)際上與2011年浙江省高考解析幾何試題類似.

2011年：如圖2，已知拋物線C 1：x2=y，圓C 2：x2+（y-4）2=1的圓心為點(diǎn)M.

（Ⅰ）求點(diǎn)M到拋物線C 1的準(zhǔn)線的距離;

（Ⅱ）已知點(diǎn)P是拋物線C 1上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過點(diǎn)P作圓C 1的兩條切線，交拋物線C 1于A，B兩點(diǎn)，

若過M，P兩點(diǎn)的直線l垂直于AB，求直線l的方程.

2018年：如圖3，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)（不含y軸）一點(diǎn)，拋物線C：y 2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A，B滿足PA，PB的中點(diǎn)均在C上.

（Ⅰ）設(shè)AB中點(diǎn)為M，證明：PM垂直于y軸;

（Ⅱ）若P是半橢圓x2+ y2 4 =1（x<0）上的動(dòng)點(diǎn)，求△PAB面積的取值范圍.盡管學(xué)生對試題的解答思路明確、路徑清晰、方法常規(guī)，然而對運(yùn)算能力提出了較高的要求，運(yùn)算是大量的，運(yùn)算一定要落實(shí)，不僅要有精細(xì)迅速的運(yùn)算技能，還需根據(jù)條件和目標(biāo)不斷確定和調(diào)整運(yùn)算方法和路徑，需在運(yùn)算中堅(jiān)持到底，在運(yùn)算中彰顯能力，否則便會(huì)有算不到底，來不及算的遺憾，在此，學(xué)生的核心素養(yǎng)能力高下立判.

又比如2018年填空壓軸題：已知點(diǎn)P（0，1），橢圓 ?x 2 4 +y 2=m（m>1）上兩點(diǎn)A，B滿足 AP =2 PB ，則當(dāng)m=[CD#3]時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對值最大.

此題是一道以橢圓為背景的常規(guī)解析幾何計(jì)算題，完全可以作為一道解答題處理，所以很明顯，這是在考查學(xué)生的計(jì)算能力.在這樣的位置考查學(xué)生的計(jì)算能力需要學(xué)生有強(qiáng)大的心理與計(jì)算的穩(wěn)定性.作為數(shù)學(xué)基本技能相信高考會(huì)延續(xù)強(qiáng)調(diào)運(yùn)算能力的風(fēng)格，所以如何培養(yǎng)與強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)算能力成為我們接下來數(shù)學(xué)教學(xué)需要研究的課題.2.2 反思教學(xué)

從目前初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容來看，由于很多計(jì)算公式與方法不列入中考范圍，所以在一定程度上造成學(xué)生計(jì)算能力的削弱，而高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中運(yùn)算能力是舉足輕重的，而培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力對于教師來講亦是一項(xiàng)常規(guī)但又富有技巧性的工作.

2.2.1 運(yùn)算能力培養(yǎng)要有長遠(yuǎn)的打算

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)是一項(xiàng)長久而艱巨的任務(wù)，它不可能在短時(shí)間內(nèi)一蹴而就.如今初中學(xué)生的計(jì)算能力較弱，尤其是分式運(yùn)算、無理式運(yùn)算、帶字母參數(shù)的運(yùn)算特別薄弱，所以在學(xué)生進(jìn)入高一之后就要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力.雖然解析幾何是在高二階段才學(xué)習(xí)的，但是高一的函數(shù)學(xué)習(xí)仍然可以作為培養(yǎng)運(yùn)算能力的主要載體.比如較復(fù)雜的指數(shù)對數(shù)的運(yùn)算，包括指數(shù)對數(shù)方程與不等式、帶根號的無理式運(yùn)算、含多個(gè)字母參數(shù)需要分類討論的復(fù)雜運(yùn)算等等.總之，高一為學(xué)生打下堅(jiān)實(shí)的運(yùn)算基礎(chǔ)對于高二學(xué)習(xí)解析幾何是大有裨益的.

2.2.2 運(yùn)算能力的培養(yǎng)要有細(xì)致的計(jì)劃

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)是一項(xiàng)復(fù)雜而細(xì)致的任務(wù).我個(gè)人認(rèn)為教師應(yīng)該為學(xué)生制定詳細(xì)的計(jì)劃，比如每天需完成一定的計(jì)算任務(wù)，細(xì)水長流、滴水穿石.在備課組的周練或周考命題中，有意識地放上一兩道考查學(xué)生運(yùn)算能力的試題.加強(qiáng)限時(shí)訓(xùn)練，數(shù)學(xué)的限時(shí)訓(xùn)練并不一定非要兩個(gè)小時(shí)的高考標(biāo)準(zhǔn)模式，平時(shí)的課堂教學(xué)中可以實(shí)施15分鐘或半個(gè)小時(shí)的小型限時(shí)訓(xùn)練以提高學(xué)生的運(yùn)算能力.尤其在學(xué)習(xí)了解析幾何之后，即使后續(xù)在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的時(shí)候，也可以適當(dāng)?shù)淖寣W(xué)生進(jìn)行解析幾何的練習(xí)，比如在周練與周考中適當(dāng)放入一兩道解析幾何問題，讓學(xué)生持續(xù)性地進(jìn)行解析幾何的運(yùn)算訓(xùn)練.每位學(xué)生的數(shù)學(xué)思維可能存在一定的差異，但是數(shù)學(xué)運(yùn)算能力卻是可以通過精心計(jì)劃、長期訓(xùn)練得到不同程度的提高.

2.2.3 運(yùn)算能力的培養(yǎng)要有不懈的意志

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)是一項(xiàng)艱難而不懈的任務(wù).很多學(xué)生面對復(fù)雜的運(yùn)算，如果沒有堅(jiān)強(qiáng)的意志力，很容易投機(jī)取巧，或是只寫答案不寫過程，或是抄寫其他同學(xué)的答案.長此以往，有些學(xué)生平時(shí)缺乏自己的親身訓(xùn)練，導(dǎo)致考試的時(shí)候算不完整、算不正確.長此以往，導(dǎo)致這些學(xué)生難以在考試的時(shí)候短時(shí)間內(nèi)運(yùn)算做到“精準(zhǔn)快”，從而失去信心.所以教師在平時(shí)的教學(xué)中一定要不厭其煩地跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)運(yùn)算“精準(zhǔn)快”的重要性，不僅在課外要求學(xué)生加強(qiáng)運(yùn)算的限時(shí)訓(xùn)練，而且更重要的是堅(jiān)持在課堂上不遺余力地留給學(xué)生充足的空間與時(shí)間進(jìn)行即時(shí)的運(yùn)算訓(xùn)練，讓學(xué)生在課堂上當(dāng)場進(jìn)行運(yùn)算訓(xùn)練可以為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一種考試時(shí)的緊張氛圍，經(jīng)過長期的訓(xùn)練就能夠鍛煉出學(xué)生臨場處變不驚的淡定心態(tài)，非常有助于提高運(yùn)算的“精準(zhǔn)快”.