高中數(shù)學(xué)試題命制常見問題的診斷分析與命題啟示

【摘 要】 ?研究發(fā)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)試題命制存在試題內(nèi)容不科學(xué)、試題目標(biāo)異化、試題參考答案錯(cuò)誤、選考題等分不等值等不可小覷的問題和明顯的缺陷.數(shù)學(xué)命題是一項(xiàng)挑戰(zhàn)性的任務(wù)，要命制出一份好的試卷，首先要考慮命題的基本原則，其次要掌握一些常用的命題手法，最后要樹立新的質(zhì)量關(guān).

【關(guān)鍵詞】 ?試題命制;診斷分析;命題啟示

1 問題提出

數(shù)學(xué)試題命制是診斷學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果、質(zhì)量水平，并以數(shù)量化的指標(biāo)——分?jǐn)?shù)作為學(xué)業(yè)成績來定量地反映數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀況的過程.數(shù)學(xué)試題命制對數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高有著至關(guān)重要的作用.要獲得比較科學(xué)、準(zhǔn)確的結(jié)果，考試題目的質(zhì)量是核心要素 [1].筆者研究發(fā)現(xiàn)一些高中數(shù)學(xué)試題在命制過程中還存在著許多不可小覷的問題和明顯的缺陷，如試題內(nèi)容不科學(xué)、試題考查目標(biāo)異化、試題參考答案錯(cuò)誤、選做題等分不等值等.筆者通過對近期各種考試和復(fù)習(xí)資料中出現(xiàn)的諸多問題進(jìn)行深入剖析，與大家交流，以供廣大數(shù)學(xué)試題命制者參考借鑒.

2 命題常見問題的診斷分析

2.1 試題內(nèi)容不科學(xué)

數(shù)學(xué)命題是一項(xiàng)有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，為了保證試卷的效度，所命的題必須具有科學(xué)性 [2]，科學(xué)性主要是指站在數(shù)學(xué)的角度正確無誤 [1].科學(xué)性原則是試題命制必須遵循的根本性原則，否則，命制出來的數(shù)學(xué)試題不僅信度和效度都不能很好地實(shí)現(xiàn)，起不到訓(xùn)練、診斷、選拔、甄別的功能，而且還會誤導(dǎo)學(xué)生，貽害無窮.數(shù)學(xué)命題內(nèi)容不科學(xué)主要有以下幾種 情形.

2.1.1 試題條件不相容

試題的部分題設(shè)條件相互矛盾，導(dǎo)致試題不能求解.以下是2018年某知名學(xué)校調(diào)研卷檢測題：

例1 在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若向量m=（b-2c，cosB），n=（-a，cosA），且m∥n.

（1）求角A的大小;

（2）已知△ABC的外接圓半徑R= 2 3? 3 ，△ABC的面積為 5 3? 4 ，求△ABC的周長.參考答案如下：

（1）A= π 3 ;（過程略）

（2）根據(jù)題意得a=2RsinA= 4 3? 3 ×? 3? 2 =2，

因?yàn)镾△ABC= 1 2 bcsinA=? 3? 4 bc= 5 3? 4 ，所以bc=5.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA= （b+c）2-3bc，

所以b+c= 19 ，

所以a+b+c=2+ 19 ，所以△ABC的周長為2+ 19 .

診斷分析 此題第（2）問的解答看似“一氣呵成”，沒有絲毫破綻，但若仔細(xì)“推敲”，是不難發(fā)現(xiàn)其中存在的問題的.因?yàn)閎，c均為正數(shù)，由 （b+c）2≥4bc可得19>20，這顯然不成立，即滿足b+c= 19 ，bc=5的正數(shù)b，c是不存在的，這表明試題的條件不相容，不存在滿足題設(shè)條件的△ABC.

2.1.2 試題條件多余

有的數(shù)學(xué)試題在解答時(shí)不需要用到其中的部分條件，這就使得試題條件繁冗，違背了命題的簡潔性原則.

例2 在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且bcosC，ccosB是關(guān)于x的一元二次方程x2-（2acosC）x+ccosB·bcosC=0的兩根.

（1）求角C的大小;

（2）若△ABC的外接圓半徑R= 2 3? 3 ，求證： c a+b+c ≥ 1 3 .

參考答案如下：

（1）根據(jù)題意，得ccosB+bcosC=2acosC.

由正弦定理，得sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，

所以sin（B+C）=2sinAcosC，即sinA=2sinAcosC.

因?yàn)樵凇鰽BC中，sinA≠0，所以cosC= 1 2 .

又因?yàn)?<C<π，所以C= π 3 .

（2）由（1）得c=2RsinC=2，

所以c2=4=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab= （a+b）2-3ab≥ 1 4 ?（a+b）2，

即a+b≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號.

所以 c a+b+c ≥ 1 3 .

事實(shí)上，此題的第（2）問也可以這樣證明：

要證明 c a+b+c ≥ 1 3 ，只需證明 a+b+c c ≤3，即a+b≤2c，

由正弦定理，只需證明sinA+sinB≤2sinC= 3 .

由（1）知，A+B= 2π 3 ，0<A< 2π 3 ，

所以sinA+sinB=sinA+sin（A+ π 3 ）= 3 2 sinA+? 3? 2 cosA= 3 sin（A+ π 6 ）≤ 3 .

當(dāng)且僅當(dāng)A= π 3 時(shí)等號成立.

所以 c a+b+c ≥ 1 3 .

診斷分析 從參考答案來看，命題者在命題時(shí)對重要定理（即正弦定理）的應(yīng)用以及挖空心思想要考查學(xué)生利用均值不等式解決問題的意圖表露無疑，但結(jié)果是不用均值不等式也能解決問題，導(dǎo)致題設(shè)條件“△ABC的外接圓半徑R= 2 3? 3 ”是多余的.

2.1.3 試題沒有正確答案

下面是一道“經(jīng)典”的高考錯(cuò)題：

例3 f（x）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f（2）=0，則方程f（x）=0在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是（? ）.

A.2? B.3? C.4? D.5

參考答案如下：

依題意可知f（x）=f（x+3），故f（2）=f（5）.

又因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x）.

所以f（-2）=-f（2）=0，所以f（-2）=f（1）=f（4）=0.

又因?yàn)閒（x）是R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，所以f（3）=f（0）=0.

所以f（x）=0在（0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值為5.

診斷分析 以上是根據(jù)試題所給選項(xiàng)作出的分析，實(shí)際上本題沒有正確選項(xiàng).這是因?yàn)椋?/p>

由f（x）的周期性可知f（-1.5）=f（-1.5+3）=f（1.5），

又由f（x）是奇函數(shù)可得f（-1.5）=-f（1.5），

所以f（1.5）=0，所以f（4.5）=0，

故在（0，6）內(nèi)f（x）=0的解的個(gè)數(shù)的最小值 為7.

事實(shí)上，此題無正確答案的原因在于命題者思考不全面，忽略了“若函數(shù)f（x）是定義在R上以T為周期的奇函數(shù)，則f（ T 2 ）=0”這一重要結(jié)論所致.

2.1.4 單項(xiàng)選擇題答案不唯一

數(shù)學(xué)單項(xiàng)選擇題一般的要求是“在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的”.但有的單項(xiàng)選擇題，在給出的四個(gè)選項(xiàng)中，不只一項(xiàng)符合題意.下面是2018年某市高三質(zhì)量檢測題：

例4 設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-mx2+2nx（m∈R，n>0），若對任意的x>0，都有f（x）≤f（1），則（? ）.

A.lnn<8m? B.lnn≤8m? C.lnn>8m? D.lnn≥8m

參考答案如下：

因?yàn)閒（x）=lnx-mx2+2nx，所以f′（x）= 1 x -2mx+2n.因?yàn)閷θ我獾膞>0，都有f（x）≤f（1），所以當(dāng)x∈（0，+SymboleB@）時(shí)，f（x）的最大值為f（1），因?yàn)閒′（x）在（0，+SymboleB@）上連續(xù)，所以f′（1）=0，即1-2m+2n=0，即2m=2n+1.

由于n>0，所以lnn≤n-1<8n+4= 4（2n+1）=8m，即lnn<8m.選A.

診斷分析 在此題中，若選項(xiàng)A正確，可知選項(xiàng)B也正確，正如“4>3”與“4≥3”都是正確的一樣，命題者設(shè)置的選項(xiàng)與試題要求——“所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的”不吻合.

2.2 試題目標(biāo)異化

試題的命制是一個(gè)與解題截然不同的過程，后者是一個(gè)利用所學(xué)知識分析問題、解決問題的過程，而前者往往是為了考查學(xué)生某些知識、方法和能力而反過來編制問題的過程，這一過程帶有很強(qiáng)的目的性，因而也就容易形成思維定勢，稍有不慎，就會出現(xiàn)目標(biāo)異化的情形 [2].如下面這道2018年某知名學(xué)校調(diào)研卷檢測題：

例5 2018年元旦期間，某運(yùn)動服裝專賣店舉辦了一次有獎(jiǎng)促銷活動，消費(fèi)每超過400元均可參加1次抽獎(jiǎng)活動，抽獎(jiǎng)方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.[TP林運(yùn)來-2.tif，Y]

方案1 顧客轉(zhuǎn)動十二等分且質(zhì)地均勻的圓形轉(zhuǎn)盤（如右圖），轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時(shí)指針指向哪個(gè)扇形區(qū)域，則顧客可直接獲得該區(qū)域?qū)?yīng)面額（單位：元）的現(xiàn)金優(yōu)惠，且允許顧客轉(zhuǎn)動3次.

方案2 顧客轉(zhuǎn)動十二等分且質(zhì)地均勻的圓形轉(zhuǎn)盤（如右圖），轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時(shí)若指向陰影部分，則未中獎(jiǎng)，若指向白色區(qū)域，則顧客可直接獲得40元現(xiàn)金，且允許顧客轉(zhuǎn)動3次.

（1）若兩位顧客均獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會，且都選擇方案1，試求這兩位顧客均獲得180元現(xiàn)金優(yōu)惠的概率;

（2）若某顧客恰好獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會.

①試分別計(jì)算他選擇兩種抽獎(jiǎng)方案最終獲得現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)的數(shù)學(xué)期望;

②從概率的角度比較①中該顧客選擇哪一種方案更合算？

參考答案如下：

（1）略;

（2）①若選擇抽獎(jiǎng)方案1，則每一次轉(zhuǎn)盤指向60元對應(yīng)區(qū)域的概率為 1 3 ，每一次轉(zhuǎn)盤指向20元對應(yīng)區(qū)域的概率為 2 3 .設(shè)獲得現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)金額為X元，則X可能的取值為60、100、140、180.

則P（X=60）=C0 3 （ 2 3 ）3= 8 27 ;

P（X=100）=C1 3（ 1 3 ） （ 2 3 ）2= 4 9 ;

P（X=140）=C2 3 （ 1 3 ）2（ 2 3 ）= 2 9 ;

P（X=180）=C3 3 （ 1 3 ）3= 1 27 .

所以選擇抽獎(jiǎng)方案1，該顧客獲得現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)金額的數(shù)學(xué)期望為

E（X）=60× 8 27 +100× 4 9 +140× 2 9 +180× 1 27 =100（元）.

若選擇抽獎(jiǎng)方案2，設(shè)三次轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的過程中，指針指向白色區(qū)域的次數(shù)為Y，最終獲得現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)金額為Z元，則Y～B（3， 1 3 ），故E（Y）=3× 1 3 =1.

所以選擇抽獎(jiǎng)方案2，該顧客獲得現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)金額的數(shù)學(xué)期望為

E（Z）=E（40Y）=40（元）.

②由①知E（X）>E（Z），所以該顧客選擇第一種抽獎(jiǎng)方案更合算.

診斷分析 對于第（2）問，雖然問題①要求計(jì)算兩種方案獲獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)期望，但若只看問題②，若顧客獲得相同的抽獎(jiǎng)次數(shù)，在轉(zhuǎn)動圓形轉(zhuǎn)盤后，轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時(shí)，若指針指向陰影部分，按方案1則可獲得20元現(xiàn)金優(yōu)惠，方案2未中獎(jiǎng)，此時(shí)方案1合算;若指針指向白色區(qū)域，按方案1則獲得60元現(xiàn)金優(yōu)惠，優(yōu)于方案2的40元，所以即使是一個(gè)沒有學(xué)過相關(guān)概率知識的人，不用計(jì)算都知道選擇方案1更合算.所以此題存在明顯的缺陷，導(dǎo)致考查的能力目標(biāo)異化.2.3 試題參考答案錯(cuò)誤

下面是某名校2017屆高三聯(lián)考題：

例6 定義：若存在實(shí)數(shù)x 1∈[-2，-1]、x 2∈[a，32]，使2 -x 1= log 2x 2成立，則稱a為指對實(shí)數(shù).那么在a∈[-20，20]上成為指對實(shí)數(shù)的概率為（? ）.

參考答案如下：

因?yàn)閤 1∈[-2，-1]，所以2 -x 1∈[2，4].

因?yàn)閤 2∈[a，32]，所以 log 2x 2∈[ log 2a，5].

要使a成為指對實(shí)數(shù)，只需 log 2a≤4，所以0<a≤16，

所求概率為P= 16-0 20-（-20） = 2 5 .

診斷分析 命題者給出的參考答案是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因在于解答時(shí)，由x 2∈[a，32]以及 log 2x 2有意義，“默認(rèn)了”a>0這一錯(cuò)誤結(jié)論.事實(shí)上，由題意，要使a成為指對實(shí)數(shù)，只需 log 2a≤4，即-20≤a≤16，所求概率為P= 16-（-20） 20-（-20） = 9 10 .2.4 選考題等分不等值

選考題的等值性是考試公平性的一項(xiàng)重要保障.從2017年高考全國卷開始，數(shù)學(xué)選考題要求考生在22題（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）與23題（選修4-5：不等式選講）中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.在各地的模擬試題中，選做題在難度、得分率等方面往往存在不等值的現(xiàn)象.下面是2018年某市高三質(zhì)檢卷的選考題：

例7 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是 x=1+2cosα，y=2sinα， （α為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ+ π 4 ）= 2 .

（1）求曲線C的普通方程與直線l的直角坐標(biāo)方程;

（2）已知直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)P，求 PA · PB .

例8 已知函數(shù)f（x）= 2x-1 +2 x+2 .

（1）求函數(shù)f（x）的最小值;

（2）解不等式f（x）<8.

診斷分析 從全市實(shí)測結(jié)果來看，上述兩題的難度系數(shù)分別為0.36、0.55，平均分分別為3.6、5.5.選考題的難度系數(shù)與平均分存在差異的原因是復(fù)雜而多面的，如數(shù)學(xué)選修模塊的選修情況與教學(xué)情況、學(xué)生答題選擇的抉擇與臨場發(fā)揮情況等.但不可否認(rèn)的是，上述兩道選考題的第一問計(jì)分均為5分，從計(jì)算過程來看，例8中第（1）問只需用“三角不等式”進(jìn)行簡單放縮就能得出正確結(jié)果，運(yùn)算的復(fù)雜性和長度遠(yuǎn)比例7中第（1）問小得多，這也是造成上述差異的一個(gè)主要原因.

3 ?怎樣才能命制出一份好的試卷

首先要考慮命題的基本原則（有研究者提出命題的基本原則是五性 [1]：思想性，科學(xué)性，公平性，時(shí)代性，創(chuàng)新性）、整份試題的知識覆蓋面以及試題的梯度、區(qū)分度與難度等;

其次要掌握一些常用的命題手法，如改編原題的一些技巧 [3]：運(yùn)用互換條件與結(jié)論、發(fā)散結(jié)論改變設(shè)問方式、增加條件提升試題的層次性、利用好矩陣這一工具等;

最后也是最重要的一點(diǎn)，教師要樹立新的質(zhì)量關(guān)，認(rèn)識到命題工作的重要性，命制的試題要將知識技能的掌握與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成有機(jī)結(jié)合，通過考試評價(jià)引導(dǎo)教學(xué)更加關(guān)注育人目的，促進(jìn)教、學(xué)、考有機(jī)銜接，形成育人合力 [4].

總之，命題的實(shí)踐、思考和研究的過程就是明確考試方向、把握課程體系、領(lǐng)悟課程標(biāo)準(zhǔn)、了解核心素養(yǎng)、理解數(shù)學(xué)文化的過程，長期堅(jiān)持下去，對數(shù)學(xué)教師的專業(yè)化發(fā)展會產(chǎn)生巨大的推動作用 [1].一份好的數(shù)學(xué)試卷應(yīng)具有一定的科學(xué)性、創(chuàng)新性、目的性和適度性.命題本身就是一種研究，就是一種創(chuàng)造，正如華羅庚教授所說的“命題比做題更難，題目要出得妙，出得好，要測得出水平.”我們需要堅(jiān)守對教育的信仰，做一名真正的命題研究者和實(shí)踐者.

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