追溯數(shù)學(xué)文化氣息 提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

【摘 要】 ?《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017版）以“立德樹人”為重要理念，提出了六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，同時(shí)要求將數(shù)學(xué)文化滲透于高中數(shù)學(xué)課程的始終.數(shù)學(xué)作為一種文化的傳承和積累，它在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的教育價(jià)值是顯而易見的.文章以“兩角差的余弦公式” 為例，從教材內(nèi)容的呈現(xiàn)方式、公式的情景創(chuàng)設(shè)、公式證明的策略及公式的應(yīng)用技巧等方面透析數(shù)學(xué)文化的融入氣息，具體呈現(xiàn)了教材中處處存在數(shù)學(xué)文化，教學(xué)中處處可以滲透數(shù)學(xué)文化的特點(diǎn)，希望能由微觀映射宏觀，為廣大數(shù)學(xué)教師教學(xué)提供指導(dǎo)和實(shí)踐的方法，從而有效地改變目前數(shù)學(xué)文化教育缺失的現(xiàn)狀，提高學(xué)生整體文化素質(zhì)和學(xué)科素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 ?數(shù)學(xué)文化;數(shù)學(xué)素養(yǎng);教材分析;教學(xué)思考

隨著新課改的不斷深入，高考增加了數(shù)學(xué)文化知識(shí)的考查，加之《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)》的頒布，使數(shù)學(xué)文化的地位進(jìn)一步得到了加強(qiáng).相對(duì)來說，教師在教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)文化的重視程度滯后，這不僅僅是擔(dān)心在課堂中融入數(shù)學(xué)文化會(huì)影響教學(xué)進(jìn)度的問題，關(guān)鍵是大部分教師對(duì)數(shù)學(xué)文化了解不深，并且缺少相關(guān)的素材.本文通過追溯“兩角差的余弦公式”一課所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化氣息，來談數(shù)學(xué)文化對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的影響，不妥之處懇請(qǐng)指正.

1 從教材內(nèi)容的呈現(xiàn)方式看數(shù)學(xué)文化的滲透

由于兩角和與差的余弦公式是三角恒等變換的基礎(chǔ)，其它復(fù)角公式都是在此基礎(chǔ)上變換得到的，因此不同版本的教材對(duì)兩角和與差的余弦公式的產(chǎn)生和推導(dǎo)都非常重視，設(shè)計(jì)風(fēng)格也是“八仙過海，各顯神通.”

1.1 創(chuàng)設(shè)實(shí)際問題引入

人教A版，利用章頭圖片給出實(shí)際問題：某城市的電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上，如圖1所示，小山高BC約為30米，在地平面上有一點(diǎn)A，測(cè)得A、C兩點(diǎn)間距離約為67米，從點(diǎn)A觀測(cè)電視發(fā)射塔的視角（∠CAD）約為 45°.求這座電視發(fā)射塔的高度.

設(shè)電視發(fā)射塔高CD=x米，∠CAB=α，則

sinα= 30 67 ，…，x= 30tan（ 45°+α） tanα -30.

再提出：能不能用sinα把tan（ 45°+α）表示出來呢？進(jìn)而提出更一般的問題，當(dāng)α，β是任意角時(shí)，能不能用α，β的三角函數(shù)值把α+β或α-β的三角函數(shù)值表示出來？然后引出課題，分別用幾何法和向量法推導(dǎo)公式，并配有兩個(gè)例題.

此設(shè)計(jì)講解細(xì)膩，環(huán)環(huán)相扣，課題的產(chǎn)生比較自然，關(guān)鍵是凸顯了數(shù)學(xué)來源于實(shí)際，滲透用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，生活中處處有數(shù)學(xué)的文化積淀.

1.2 問題引進(jìn)探究拓展

蘇教版通過章頭中圓周上“周期運(yùn)動(dòng)的疊加”問題，引入恒等變換的猜想，然后利用向量法導(dǎo)出公式，并在隨后的探究中提出如何利用距離證明公式的問題.其中探究問題提示，通過向量的模相等進(jìn)行研究.此法是將傳統(tǒng)坐標(biāo)法（人教A版習(xí)題3.1中B組第4題）創(chuàng)新，即由對(duì)稱構(gòu)造（如圖2）變成旋轉(zhuǎn)構(gòu)造（如圖3） [1].

這樣設(shè)計(jì)利于引導(dǎo)學(xué)生從向量的角度分析問題，體現(xiàn)了向量的工具價(jià)值，而且考慮到了學(xué)生接受新知識(shí)的認(rèn)知規(guī)律——由特殊到一般，特別是在得出公式之后安排了“探究活動(dòng)”，突出了《課標(biāo)》的基本理念，為學(xué)生形成積極主動(dòng)的、多樣的學(xué)習(xí)方式創(chuàng)造條件，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中養(yǎng)成獨(dú)立思考和積極探索的習(xí)慣.略顯遺憾的是構(gòu)造的問題較陌生，解決思路不自然，有難偏之嫌.同樣，在“兩角和與差的三角函數(shù)”一節(jié)開始，就以一方面cosx+sinx=（cosx，sinx）·（1，1），另一方面（cosx，sinx）·（1，1）=…= 2 cos（x- π 4 ）.得到cosx+sinx= 2 cos（x- π 4 ），旋即指出：“這是一個(gè)有趣的等式，在回答了sinx+cosx可以化為Asin（ωx+φ）的同時(shí)，它還告訴我們cos（x- π 4 ）可以用x和 π 4 的三角函數(shù)來表示”，至此引入課題.這里涉及，第一步不自然的變換技巧，第二步兩向量的夾角為何是x- π 4 ，第三步得到的“cos（x- π 4 ）可以用x和 π 4 的三角函數(shù)來表示” 形式上比較隱晦.學(xué)生會(huì)是霧里看花，大大削弱了“有趣等式”的體會(huì).1.3 彰顯向量的工具性

北師版和湘教版，都是開門見山強(qiáng)調(diào)向量的主要作用之一是討論幾何度量問題，進(jìn)一步復(fù)習(xí)數(shù)量積的意義及其與它們夾角的關(guān)系，然后直接運(yùn)用向量的方法推導(dǎo)公式，并提示可以用誘導(dǎo)公式證明α，β是任意角時(shí)公式也成立，可謂惜字如金！人教B版是先給出公式，然后用向量的方法證明.這三種版本的共同點(diǎn)是直接傳遞“向量是近代數(shù)學(xué)中重要的和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它屬于高中數(shù)學(xué)的‘雙基”的理念，承上啟下，不拖泥帶水，直接進(jìn)入主題，不同的是B版的證明邏輯上更為嚴(yán)謹(jǐn).

2 從引出公式的情景創(chuàng)設(shè)看數(shù)學(xué)文化的滲透

如何自然引出公式是本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)之一.雖然《課標(biāo)（實(shí)驗(yàn)）》要求：“經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程，進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用.”但在實(shí)際教學(xué)中若直接利用向量推導(dǎo)公式常常感到牽強(qiáng)，下面給出筆者使用過的四種引出公式的方法供大家參考：

思路1 你能不用計(jì)算器求出cos 15°嗎？由于我們知道cos45°=? 2? 2 ，cos30°=? 3? 2 ，由此我們猜想：cos15°=cos（45°-30°）=？這里是不是等于cos45°-cos30°呢？教師可讓學(xué)生驗(yàn)證（估算即可），經(jīng)過驗(yàn)證可知，我們的猜想是錯(cuò)誤的！那么究竟是個(gè)什么關(guān)系呢？cos（α-β）=？這時(shí)學(xué)生急于想知道這究竟是怎么回事，于是展開新課：我們是利用熟悉的單位圓呢？還是利用剛剛學(xué)過的重要工具——向量呢？

效能分析 因?yàn)閼{直覺得出cos（α-β）=cosα-cosβ是學(xué)生容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤.因此在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)cos（α-β）的結(jié)果進(jìn)行探究，讓學(xué)生充分發(fā)揮想象力，進(jìn)行猜想，給出所有可能的結(jié)果，然后再去驗(yàn)證其真假，這既展示了數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的具體過程，也鍛煉了學(xué)生的探究創(chuàng)新能力.

思路2 20世紀(jì)90年代末美國(guó)《數(shù)學(xué)雜志》開辟了一個(gè)專欄“沒有文字的證明”，在世界各國(guó)產(chǎn)生較大的影響，圖4來自廣州大學(xué)軟件所朱華偉老師編寫的《無字證明集錦》，你有何發(fā)現(xiàn)？

效能分析 正所謂“教學(xué)有法，教無定法”，在布魯納（美國(guó)教育家、心理學(xué)家）強(qiáng)烈主張發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的時(shí)候，奧蘇泊爾（美國(guó)心理學(xué)家）提出有意義的接受學(xué)習(xí)理論，對(duì)布魯納過分夸大發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的作用提出了強(qiáng)烈的批評(píng).本圖由大家熟悉的矩形和直角三角形構(gòu)成，清晰直觀的展示出公式，雖屬傳授式教學(xué)，但快捷省時(shí)，且滲透了現(xiàn)代我國(guó)數(shù)學(xué)與世界數(shù)學(xué)發(fā)展的緊密聯(lián)系，同時(shí)有激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的作用.

思路3 中國(guó)科學(xué)院院士張景中先生從上世紀(jì)80年代就開始研究用面積法解決令中學(xué)生頭疼的幾何證明問題，進(jìn)而形成了幾何學(xué)的新體系，并且創(chuàng)造了幾何定理機(jī)器證明的“消點(diǎn)法”.你能看出如圖5所示的三角關(guān)系嗎？

效能分析 以當(dāng)代數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)為引子，了解信息技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)的影響和我國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展成就，激發(fā)學(xué)生探究圖形面積的欲望，雖然面積關(guān)系是學(xué)生最容易發(fā)現(xiàn)的，但在等高等積的處理上仍需教師引導(dǎo)，否則不易得到公式.

思路4 對(duì)于基礎(chǔ)較好的班級(jí)，江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)王盈慧老師的做法值得借鑒.如圖6所示，傾角為30°的斜坡上，一物體在力F的作用下前進(jìn)了1m，已知|F|=1N，力F的方向與水平方向成45°角，求此過程中力F所做的功.

設(shè)問1 力F與位移s的夾角不是我們熟知的那些特殊角，有辦法求此過程中力F所做的功W嗎？

將力F正交分解，得水平方向和豎直方向的兩個(gè)分力F1、F2，將位移s也按同樣的方向做正交分解為s1、s2，可以具體計(jì)算出W1、W2，再求出和功W.

發(fā)現(xiàn)：由F·s=F1·s1+F2·s2，有cos（45°-30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°.

設(shè)問2 一般地，斜坡傾角為β，力F的方向與水平方向所成角為α ，還會(huì)有類似的結(jié)果嗎？

效能分析 此法引導(dǎo)學(xué)生解決物理問題，從特殊到一般，既歸納出兩角差的余弦公式，又體現(xiàn)出物理與數(shù)學(xué)的關(guān)系，利于提高學(xué)生研究問題、分析問題和解決問題的視野.

蘇東坡有詩(shī)云：橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.同一個(gè)事物，從不同的角度看，所得到的表像是不一樣的.上面的思路源自于從數(shù)量關(guān)系、幾何直觀、面積關(guān)系、物理情景等多側(cè)面、多層次地觀察和分析，很難說那種方法是最好的，有時(shí)簡(jiǎn)潔是最好的，有時(shí)在曲折中前進(jìn)，學(xué)生歷經(jīng)艱難反而體會(huì)更深.對(duì)教師來說，若能在教學(xué)時(shí)靈活選擇，因材施教，才能利于拓展學(xué)生的知識(shí)面，利于激發(fā)其探究興趣及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.

3 從證明公式的策略上看數(shù)學(xué)文化的滲透

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和研究數(shù)學(xué)令人最感到困惑也是最引人入勝的環(huán)節(jié)之一，就是如何發(fā)現(xiàn)定理及怎樣證明定理.公式的證明是本節(jié)課的重點(diǎn)，同時(shí)也是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，縱覽各方面信息發(fā)現(xiàn)，值得參考的策 略有：

方案1 歸納——猜想——驗(yàn)證

為了利用向量法推導(dǎo)兩角差的余弦公式，教材的編寫順序都是“三角函數(shù)——平面向量——三角恒等變形”，這種以犧牲知識(shí)的系統(tǒng)性為代價(jià)割裂三角函數(shù)內(nèi)容的方法是否值得？先將三角函數(shù)學(xué)完，再學(xué)習(xí)平面向量，而在平面向量的應(yīng)用舉例中安排用向量方法探求“兩角差的余弦公式”，似乎也未降低向量的工具性價(jià)值.

G·波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》第二卷中指出：“教學(xué)必須為發(fā)明作準(zhǔn)備，或至少給一點(diǎn)發(fā)明的嘗試.……，并向數(shù)學(xué)教師們呼吁：讓我們教猜想吧！”如在前面思路1，當(dāng)驗(yàn)證cos（α-β）=cosα-cosβ不一定成立后，繼續(xù)設(shè)置探究問題：很明顯cos（α-β）的值與α和β都有關(guān)，結(jié)合cos（ 90°-β）=sinβ=sin 90°sinβ，第二次猜想cos（α-β）=sinαsinβ;取α= 60°，β= 30°，知cos（ 60°- 30°）=cos 30°=? 3? 2 ，

sin 60°sin 30°=? 3? 2 × 1 2 ，在驗(yàn)明猜想不正確的同時(shí)是否發(fā)現(xiàn)? 3? 2 × 1 2 是? 3? 2 的一半，進(jìn)而有? 3? 2 = 1 2 ×? 3? 2 +? 3? 2 × 1 2 ，即cos（ 60°- 30°）=cos 60°cos 30°+sin 60°sin 30°，于是第三次猜想cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，此式對(duì)稱和諧，一般情況正確的可能性很大，然后取特殊角驗(yàn)證，或用幾何畫板對(duì)任意角的情形進(jìn)行直觀體驗(yàn)，獲得學(xué)生的認(rèn)可.

這種辦法在立體幾何初步中對(duì)線面平行和垂直的判定中多次運(yùn)用，這里照辦應(yīng)當(dāng)沒有什么不妥.借助歸納推理可以培養(yǎng)學(xué)生預(yù)測(cè)結(jié)果和探究的能力，對(duì)培養(yǎng)創(chuàng)新人才，對(duì)學(xué)生適應(yīng)社會(huì)能力都非常有利.合情推理也是《課標(biāo)》倡導(dǎo)的方法，它從具體到一般，符合人們認(rèn)識(shí)問題或事物，總是先認(rèn)識(shí)某種特殊情形，然后過渡到對(duì)一般問題或事物的認(rèn)識(shí)的習(xí)慣.方案2 幾何證法

除了以上思路2和思路3的方法外，最早的古埃及天文學(xué)家托勒密在三角函數(shù)弦表中的方法（如圖7），及公元3世紀(jì)亞力山大數(shù)學(xué)家帕普斯《數(shù)學(xué)匯編》中給出的證法（如圖8，OC=OE=1，CE切半圓O于點(diǎn)H）等 [2]，雖還需任意角的推廣，但都是很經(jīng)典的方法.

不難發(fā)現(xiàn)，托勒密、帕普斯和人教A版（如圖9）的方法，只是形式上不同本質(zhì)上并無差別.此方案通過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)史和我國(guó)數(shù)學(xué)家的介紹拓寬了學(xué)生的視野，也加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)研究的親近感，促進(jìn)了數(shù)學(xué)文化的發(fā)展.

方案3 坐標(biāo)法

如圖2所示的對(duì)稱構(gòu)造法，由三角形全等得， P 1P 3 = P 2P 4 ，進(jìn)而利用兩點(diǎn)間的距離公式推得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，最后用-β替換β得到差角公式.此法推導(dǎo)思路的產(chǎn)生是一個(gè)難點(diǎn)，且并沒有直接得到cos（α-）=cosαcosβ+sinαsinβ，另外對(duì)P 1、O、P 3及P 2、O、P 4在一條直線上時(shí)，還需特別說明.

相比之下，運(yùn)用如圖3的旋轉(zhuǎn)構(gòu)造，即人教B版中“探究”的方法，則更顯優(yōu)越.

方案4 向量法

引進(jìn)新的數(shù)學(xué)工具或知識(shí)是簡(jiǎn)捷求解有關(guān)問題的途徑 [3].應(yīng)用數(shù)量積推導(dǎo)余弦的差角公式無論是構(gòu)造兩個(gè)角的差，還是得到兩個(gè)角的三角函數(shù)值都是容易實(shí)現(xiàn)的，難點(diǎn)在當(dāng)α、β是任意角時(shí)公式的證明.可設(shè)向量 OP 1 與 OP 2 的夾角為θ，則當(dāng)0≤α-β≤π時(shí)，α-β=θ;當(dāng)π<α-β≤2π時(shí)，α-β=2π-θ.所以，不論α，β為何值，總存在m，n∈[WTHZ]Z，使α-β=2mπ+θ，或α-β=2nπ-θ.利用誘導(dǎo)公式，都有cos（α-β）=cosθ.

該方案通過向量的數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運(yùn)算兩種形式求向量的數(shù)量積，將二者結(jié)合起來，這樣做既體現(xiàn)數(shù)量積的“形”“數(shù)”關(guān)系，又充分體現(xiàn)了向量在處理三角函數(shù)問題中的工具作用，并且還通過向量數(shù)量積的幾何意義為兩角差的余弦公式提供了幾何背景.遺憾的是對(duì)任意角時(shí)α-β與兩向量的夾角之間關(guān)系的探討較難，而沖淡了此法的優(yōu)越性.

此外，學(xué)過余弦定理之后還可以用余弦定理推導(dǎo)，等等.總之，不論是歸納法、幾何法、解析法，還是向量法都是以數(shù)學(xué)對(duì)象的直觀表象透視其精確的數(shù)量關(guān)系，不同的推導(dǎo)方法體現(xiàn)出不同的數(shù)學(xué)特點(diǎn)，不同的巧妙構(gòu)思得到相同的結(jié)果，都有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，也進(jìn)一步體驗(yàn)了數(shù)學(xué)的博大精深.

4 從應(yīng)用公式的技巧上看數(shù)學(xué)文化的滲透

各版本在例題、練習(xí)和習(xí)題的配備上大同小異，概括起來有四類：

第一類，運(yùn)用公式證明“ π 2 -α、π-α、 3π 2 -α”的誘導(dǎo)公式.它不僅是公式的直接運(yùn)用，關(guān)鍵是讓學(xué)生體會(huì)這些誘導(dǎo)公式都是兩角差余弦公式的特例.

第二類，公式的正用.從求特殊角 15°、 75°的三角函數(shù)值，到條件求值 （已知兩角的正弦或余弦值，求兩角差的余弦值），雖是公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，但體現(xiàn)了數(shù)學(xué)語言的魅力，α、β可以是任意角，當(dāng)然可以表示特殊角、體現(xiàn)了一般到特殊的思想.

第三類，公式的逆用.各版本不僅都有直觀結(jié)構(gòu)型如“求sin 95°sin 35°+cos 95°cos 35°的值”的題目，也有需要湊配才能運(yùn)用公式化簡(jiǎn)或求最值的型如“f（x）= 3 cosx+sinx”的問題.這些對(duì)公式運(yùn)用來說屬逆向思考，但對(duì)培養(yǎng)學(xué)生化歸轉(zhuǎn)化及開拓創(chuàng)新能力非常有益.

第四類，推導(dǎo)方法的運(yùn)用.因?yàn)閷W(xué)生所學(xué)的知識(shí)可能會(huì)很快忘掉，但所學(xué)到的解決問題的方法卻會(huì)使學(xué)生受益終生.所以蘇教版布置探究拓展題：試用向量法直接推導(dǎo)兩角和的余弦公式.希望以此來突出向量的強(qiáng)大威力和培養(yǎng)類比方法解決問題的能力，值得提倡.

因?yàn)楣浇o出的是一種新的運(yùn)算，對(duì)于這種新運(yùn)算不僅要正用、還有逆用，甚至變用，關(guān)鍵是本節(jié)乃兩角和與差單元的第一課，所以本節(jié)的教學(xué)宜慢不宜快，要慢出內(nèi)含、慢出意識(shí)、慢出素養(yǎng)、慢出效率 [4]，北師版那種全部給出兩角和與差的正余弦公式再應(yīng)用的編寫方式，似乎欠妥.這就相當(dāng)于懷里抱了一堆自己不甚了解的工具，干活時(shí)還要在工具堆里選用，這對(duì)于剛接觸這件事情的學(xué)生來說，相比先學(xué)好一個(gè)公式然后類比學(xué)習(xí)其它公式應(yīng)當(dāng)更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

5 結(jié)束語

綜上可以看出，教材中處處存在數(shù)學(xué)文化，教學(xué)中處處可以滲透數(shù)學(xué)文化.我們教師在教學(xué)中缺乏對(duì)數(shù)學(xué)文化的滲透，其主要原因是對(duì)數(shù)學(xué)文化了解不深，不知或不會(huì)將其融入教學(xué).如本課的教學(xué)還可以融入：公式的對(duì)稱美，公式的特征分析是攻克公式記憶的有效武器，總結(jié)為“酷酷+帥帥”;探究新知精神，要引導(dǎo)學(xué)生“大膽猜想，小心求證”，猜想可以，但不能想當(dāng)然，要培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶骄烤?養(yǎng)成反思的習(xí)慣，追尋公式推導(dǎo)的本質(zhì)，不外乎是在熟練運(yùn)用三角函數(shù)的定義的基礎(chǔ)上，對(duì)同一個(gè)量“算兩次”的技能;提煉思想方法，從貫穿始終的數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般的思想，到公式推導(dǎo)的分類與整合思想，及公式運(yùn)用的模型化思想和轉(zhuǎn)化思想，無一不是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓.只有讓數(shù)學(xué)文化始終侵潤(rùn)課堂，學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中才會(huì)充分體會(huì)到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，才能感受到數(shù)學(xué)是有趣的，數(shù)學(xué)是美麗的、是有用的，從而真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

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[4] 劉正章.致力教材的實(shí)用性 追求教學(xué)的高效率[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2017（11）.