基于認(rèn)知負(fù)荷理論的“基本不等式”教學(xué)設(shè)計(jì)

曾萍 邵婧怡

【摘 要】 ?根據(jù)認(rèn)知負(fù)荷理論，在教學(xué)設(shè)計(jì)方面，恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計(jì)可以改變外在認(rèn)知負(fù)荷和相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷.以《基本不等式》為例，分析當(dāng)前教學(xué)中存在的一些“不自然”環(huán)節(jié)，據(jù)此基于認(rèn)知負(fù)荷理論、結(jié)合AMA軟件及幾何畫(huà)板等信息技術(shù)優(yōu)化基本不等式的教學(xué)設(shè)計(jì)，進(jìn)而減輕學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，為教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)提供參考.

【關(guān)鍵詞】 ?認(rèn)知負(fù)荷;基本不等式;AMA軟件;教學(xué)設(shè)計(jì)

1 研究背景

基本不等式 ab ≤ a+b 2 （a≥0，b≥0）是高中數(shù)學(xué)中最重要的不等式 [1]，已有資料顯示，基本不等式大約有29 種證明方法，在高中階段有 8 種常見(jiàn)變式，其中人教版、蘇教版、北師大版教材分別采用弦圖、天平、代數(shù)三種引入方式 [2-4].以人教版為例，基本不等式是人教版數(shù)學(xué)必修的內(nèi)容，從學(xué)生所熟悉的趙爽弦圖進(jìn)行引入，由趙爽弦圖抽象得出重要不等式a2+b2≥2ab（a，b∈R），通過(guò)替換得到基本不等式，再由代數(shù)法證明基本不等式，在課外探究中附以幾何法.但在實(shí)踐教學(xué)中，上述過(guò)程存在一些“不自然”的環(huán)節(jié)：首先，由弦圖抽象出重要不等式時(shí)，等號(hào)成立的條件“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立”不易從弦圖直接看出，學(xué)生未深入理解，從而導(dǎo)致學(xué)生在解題中條件缺失;其次， a 、 b 替換a、b，學(xué)生是很難直接理解這種替換的，但是這恰恰是基本不等式的本質(zhì)體現(xiàn)，即兩個(gè)正數(shù)通過(guò)基本運(yùn)算所產(chǎn)生的大小變化 [5];最后，在教學(xué)中，基本不等式的證明方法單一，比如只講解代數(shù)法這一種證明方法，或者是在講解代數(shù)法與幾何法兩種證明方法時(shí)，并沒(méi)有講證明方法之間的關(guān)系，沒(méi)有拓展其他證明方法 [6].導(dǎo)致學(xué)生并沒(méi)有從多種視角理解基本不等式，僅是機(jī)械記憶.在教學(xué)中，如何設(shè)計(jì)才能使學(xué)生體驗(yàn)到基本不等式發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的過(guò)程，并激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)基本不等式的熱情，擴(kuò)展視野，理解基本不等式的本質(zhì)，這一問(wèn)題具有十分重要的意義.

認(rèn)知負(fù)荷理論，是由澳大利亞認(rèn)知心理學(xué)家斯韋勒（Sweller）提出，是指在完成任務(wù)過(guò)程中工作記憶系統(tǒng)需要進(jìn)行加工與保持的信息總量 [7-8]，并提出由教學(xué)設(shè)計(jì)（如材料呈現(xiàn)方式和要求學(xué)生從事的活動(dòng)）引起的工作記憶負(fù)荷稱為外在認(rèn)知負(fù)荷（extraneous cognitive load）.內(nèi)在負(fù)荷不能通過(guò)教學(xué)設(shè)計(jì)加以改變 .而外在負(fù)荷是可以通過(guò)改變材料呈現(xiàn)方式或?qū)W習(xí)者的活動(dòng)來(lái)改變.

因此，這里將基于認(rèn)知負(fù)荷理論設(shè)計(jì)基本不等式教學(xué)，就如何讓學(xué)生充分經(jīng)歷公式提煉概括過(guò)程，領(lǐng)會(huì)基本不等式的實(shí)質(zhì)做進(jìn)一步的探究.

2 基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)

2017年版課標(biāo)中對(duì)于不等式的內(nèi)容安排，主要分為兩個(gè)部分：第一部分在必修課程中主題一預(yù)備知識(shí)部分：掌握描述不等關(guān)系的數(shù)學(xué)方法、不等式的基本性質(zhì)，并要以此建立三個(gè)不等關(guān)系的模型：一元二次不等式、二元一次不等式（組）和基本不等式，及簡(jiǎn)單應(yīng)用;第二部分在選擇性必修課程中主題一函數(shù)部分：一方面，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和解函數(shù)的極值與最值問(wèn)題，從而研究不等式的性質(zhì)，另一方面，利用不等式刻畫(huà)函數(shù)性質(zhì) [5].

其中，“基本不等式”是人教版高中數(shù)學(xué)的必修內(nèi)容，在此章節(jié)中，首先以2002年北京市召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)作為問(wèn)題背景進(jìn)行引入（見(jiàn)圖1），提出“你能在這個(gè)圖形中找出相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？”，接著通過(guò)互動(dòng)抽象概括，提煉出重要不等式a2+b2≥2ab（a，b∈R）并給予幾何解釋，其次進(jìn)行演繹替換得到基本不等式，然后通過(guò)代數(shù)證明、與探究部分中的幾何證明引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)基本不等式，最后通過(guò)實(shí)際應(yīng)用加以鞏固.從認(rèn)知負(fù)荷理論視角分析，此過(guò)程存在如下問(wèn)題：第一，用弦圖表示重要不等式的等號(hào)成立的條件（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）不易直接從弦圖看出，不易理解;第二，以 a 、 b 替換a、b得出基本不等式的過(guò)程不自然;第三，基本不等式證明方法單一，未將代數(shù)與幾何相 聯(lián)系.

臺(tái)灣交通大學(xué)陳明璋教授及其團(tuán)隊(duì)，基于多媒體學(xué)習(xí)認(rèn)知理論和認(rèn)知負(fù)荷理論，研發(fā)的Activate Mind and Attention 軟件（簡(jiǎn)稱 AMA），有強(qiáng)大的激發(fā)式動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)功能和圖形繪制功能，彌補(bǔ)了PPT 的部分功能不足，這里將基于AMA軟件并結(jié)合認(rèn)知負(fù)荷理論對(duì)“基本不等式”教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化 [9].

2.1 創(chuàng)設(shè)趙爽弦圖情境，提煉數(shù)學(xué)模型

基本不等式的提煉方法，是由趙爽弦圖抽象出重要不等式，進(jìn)而替換得到基本不等式的過(guò)程.具體課件設(shè)計(jì)如下：

環(huán)節(jié)1：由趙爽弦圖抽象出重要不等式a2+b2≥2ab（a、b∈R）.

第1步：畫(huà)出一直角三角形，直角邊分別為a、b（如圖2①）.

第2步：把此直角三角形利用AMA軟件中Clone（復(fù)制）功能，得到四個(gè)直角三角形（如圖2②），并對(duì)復(fù)制的三角形進(jìn)行步驟化移動(dòng)、翻轉(zhuǎn)，得到趙爽弦圖，為了避免字母對(duì)視覺(jué)的干擾，把字母去掉，僅保留一個(gè)直接三角形的三邊長(zhǎng)（如圖2③），其邊長(zhǎng)分別為a、b、 a2+b2 .

第3步：把移動(dòng)后大正方形中的四個(gè)三角形用陰影標(biāo)記，并在交點(diǎn)處用英文符號(hào)加以標(biāo)記（如圖2④）.

第4步：教師引導(dǎo)學(xué)生得出大正方形面積a2+b2，四個(gè)直角三角形面積2ab，并且a2+b2>2ab.

第5步：將G、F、H、E收縮為一個(gè)點(diǎn)（如圖2⑤），進(jìn)一步展示取等號(hào)的條件，即a=b時(shí) a 2+ b 2=2ab，從而得出結(jié)論： a 2+ b 2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）此為重要不等式.

設(shè)計(jì)意圖：由趙爽弦圖抽象出重要不等式，這一引入以學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”為起點(diǎn)（學(xué)生在初中接觸過(guò)趙爽弦圖，即用趙爽弦圖證明勾股定理等），考慮新舊知識(shí)的聯(lián)系，增加相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷，促進(jìn)學(xué)生接受新知，同時(shí)讓學(xué)生感受到“由形到數(shù)”的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)在圖形的形成過(guò)程中，采用步驟化呈現(xiàn)的方式，以一個(gè)直角三角形復(fù)制形成四個(gè)直角三角形，便于學(xué)生在記得原來(lái)圖形大小與形狀的基礎(chǔ)上，對(duì)圖形信息進(jìn)一步加工處理，即四個(gè)直角三角形是全等三角形，便于后面的計(jì)算，減少學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)一步加工處理的外在認(rèn)知負(fù)荷;在第三步中使用陰影顏色對(duì)圖形進(jìn)行標(biāo)記，有層次地突顯教學(xué)內(nèi)容主體，即四個(gè)小三角形的面積，能有效地引起學(xué)生的注意，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率;在第五步中，改變過(guò)去教學(xué)中直接敘述等號(hào)成立條件的方式，通過(guò)在原圖形上進(jìn)行動(dòng)態(tài)的拉縮，可以更加清晰地突出邊與邊之間的關(guān)系，并且減少視覺(jué)對(duì)圖形位置改變的處理，減少注意力的分散.

環(huán)節(jié)2：替換提煉基本不等式

問(wèn)題1：通過(guò)趙爽弦圖，我們層層遞進(jìn)，得到了重要不等式a2+b2≥2ab（a、b∈R），你能否用文字語(yǔ)言敘述一下這個(gè)不等式所反映出的規(guī)律？

引導(dǎo)學(xué)生注意是兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和與一個(gè)乘積的大小關(guān)系，進(jìn)而得出兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和不小于它們平方根的乘積.

問(wèn)題2：用簡(jiǎn)練的a、b表示上述兩個(gè)非負(fù)數(shù)，可以得出什么關(guān)系式？

從而引導(dǎo)學(xué)生，當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)通過(guò)替換得到不等式a+b≥2 ab ，對(duì)此不等式進(jìn)行簡(jiǎn)單變形，就得到了要學(xué)習(xí)的基本不等式： ab ≤ a+b 2 （a≥0，b≥0） .

問(wèn)題3：為什么稱 ab ≤ a+b 2 （a≥0，b≥0）為基本不等式呢？

從“數(shù)及其運(yùn)算”的角度看， a+b 2 為兩個(gè)正數(shù)的平均數(shù)， ab 為兩個(gè)非負(fù)數(shù)的幾何平均數(shù)，兩個(gè)正數(shù)通過(guò)四種運(yùn)算（加法、乘法、除法和開(kāi)方），催生出它們的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的內(nèi)在規(guī)律.因而，基本不等式涉及到代數(shù)與幾何中的“基本量”，這一形式與重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān).不僅體現(xiàn)出基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系，而且表述形式相當(dāng)簡(jiǎn)潔.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)遞進(jìn)式的課堂提問(wèn)，就一個(gè)問(wèn)題由淺到深的探討，根據(jù)問(wèn)題效應(yīng)表明，每一步給出足夠而又不超載的信息幫助學(xué)生逐步解決問(wèn)題， “讓問(wèn)題處于學(xué)生思維水平的最近發(fā)展區(qū)”，添設(shè)思維階梯，可以降低學(xué)生對(duì)新舊問(wèn)題的整合，降低外在認(rèn)知負(fù)荷，并深化學(xué)生對(duì)基本不等式的進(jìn)一步思考.

2.2 拓展幾何與函數(shù)證明方法，體驗(yàn)邏輯思維

教材中給出了詳細(xì)的代數(shù)證明法的步驟，但是對(duì)于幾何法是作為探究給出，未給予詳細(xì)介紹，在實(shí)踐教學(xué)中，不少教師將其一提而過(guò)，在此拓展多種視角幫助學(xué)生理解基本不等式.

幾何視角：直角三角形斜邊上的高不大于中線的模型.

第1步：在淡化顏色的正方形網(wǎng)格里，采用作圓的方式，構(gòu)造出線段AB，長(zhǎng)度為a+b;并在其上取一點(diǎn)D，使得AD=a，DB=b;再以線段AB為直徑作⊙O;過(guò)點(diǎn)D作線段AB的垂線，交⊙O于點(diǎn)C，得Rt△ABC（如圖3），連接CD、CO（如圖4）.

第2步：為了突出呈現(xiàn)想要比較的線段大小，采用①②將線段標(biāo)出，以①代替CD，以②代替CO，得出①<②.（如圖5）

第3步，在原圖上拖動(dòng)D點(diǎn)與O點(diǎn)重合，直接觀察可得出當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)①=②（如圖6）.

設(shè)計(jì)意圖：人的短時(shí)記憶是7±2個(gè)組塊，因而設(shè)計(jì)8×8的正方形網(wǎng)格，為幾何直觀提供載體，有利于學(xué)生度量線段長(zhǎng)度 [13].線段長(zhǎng)度在形式上采用①②代替大寫(xiě)字母標(biāo)記線段與數(shù)學(xué)式子標(biāo)記線段的方式，避免了學(xué)生在觀察圖形的過(guò)程中需保持文字、符號(hào)相一致而引起的認(rèn)知負(fù)荷量增大，并且采用步驟化呈現(xiàn)，從而可以減輕外在認(rèn)知負(fù)荷，增大學(xué)習(xí) 效率.

函數(shù)視角：基本不等式本質(zhì)上是函數(shù)凹凸性的反映.

如果函數(shù)f（x）是下凸函數(shù)，則有f（x）+f（y）≥2f（ x+y 2 ）成立.比如構(gòu)造函數(shù)f（x）=ex，因?yàn)閒（x）是下凸函數(shù)，所以ex+ey≥2e ?x+y 2 ，由a>0，b>0，可令a=ex，b=ey，a+b≥2 ab ， a+b 2 ≥ ab .

如圖7在圖形上任取兩點(diǎn)A、B，得到E（ ?xA+ xB 2 ， ?yA+ yB 2 ），觀察圖形可得出結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖：除教材中給予的代數(shù)視角，拓展幾何與函數(shù)視角證明基本不等式，引申拓展多個(gè)視角分析，不僅拓展視野，而且考慮學(xué)生抽象思維發(fā)展水平的差異性，學(xué)習(xí)者具有不同的心理特征，根據(jù)其最近發(fā)展區(qū)，個(gè)性化成為有用的減少認(rèn)知負(fù)荷的設(shè)計(jì)方法，利于每個(gè)學(xué)生深入理解基本不等式.

3 “基本不等式”課件中體現(xiàn)的設(shè)計(jì)策略

3.1 考慮新舊知識(shí)聯(lián)系

根據(jù)認(rèn)知負(fù)荷的相鄰性原則，即在時(shí)間或空間上呈現(xiàn)意義相鄰的內(nèi)容，以增加相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷，提高教學(xué)效率.

在基本不等式這節(jié)課的教學(xué)中， 由趙爽弦圖抽象出重要不等式，這一引入從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā) [10]，因?yàn)閷W(xué)生在初中已經(jīng)接觸過(guò)趙爽弦圖，即利用趙爽弦圖證明勾股定理等，考慮到新舊知識(shí)的聯(lián)系，增加了相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷，有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的同化與順應(yīng)，構(gòu)建知識(shí)系統(tǒng).

3.2 步驟化呈現(xiàn)

利用課件對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行步驟化呈現(xiàn)，體現(xiàn)認(rèn)知負(fù)荷的分割原則 [11]，現(xiàn)在教學(xué)中，教師往往直接呈現(xiàn)一個(gè)完整圖形，缺少步驟化，使學(xué)生不能很好地理解圖形形成過(guò)程從而不能深入理解問(wèn)題.

在基本不等式課件設(shè)計(jì)中，圖形采用步驟化呈現(xiàn)，通過(guò)一步步地呈現(xiàn)圖形形成過(guò)程中變量與不變量的關(guān)系，有助于學(xué)生抽象概括得出基本不等式的本質(zhì)，減少外在認(rèn)知負(fù)荷.3.3 問(wèn)題引導(dǎo)

在教學(xué)過(guò)程中注重問(wèn)題的引導(dǎo)，用簡(jiǎn)練的語(yǔ)言呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，減少冗余，并通過(guò)聽(tīng)覺(jué)與視覺(jué)的多通道原則 [12]，有效減少視覺(jué)或聽(tīng)覺(jué)單一通道加工信息的認(rèn)知負(fù)荷.

在提煉概括得出基本不等式這一環(huán)節(jié)上體現(xiàn)出此原則，遞進(jìn)式的問(wèn)題提問(wèn)，注重語(yǔ)言引導(dǎo)與多媒體展現(xiàn)，減少學(xué)生外在認(rèn)知負(fù)荷，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考，建構(gòu)合理的知識(shí)體系.3.4 關(guān)聯(lián)信息捆綁

根據(jù)分散注意效應(yīng)這一原則，如果認(rèn)知任務(wù)中含有兩種或多種分散的信息源的時(shí)候，認(rèn)知主體在進(jìn)行加工處理時(shí)，必需將注意力分散、搜索、整合各種源的關(guān)聯(lián)信息，進(jìn)而產(chǎn)生了較大的認(rèn)知負(fù)荷，因而，基于分散注意效應(yīng)原則 [11]，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，盡量做到使其在空間上接近，時(shí)間上同步.

由趙爽弦圖得出重要不等式及基本不等式證明的作圖過(guò)程中，將數(shù)學(xué)表達(dá)式列于圖上，使學(xué)生同時(shí)同步關(guān)注，減少注意的分散，減少認(rèn)知負(fù)荷，提高學(xué)習(xí)效率.3.5 運(yùn)用符號(hào)標(biāo)記

在課件設(shè)計(jì)時(shí)運(yùn)用符號(hào)標(biāo)記，體現(xiàn)容量有限假設(shè)，即工作記憶中保持、操作圖片與文字的容量是有限的，因而，在課件設(shè)計(jì)中盡量簡(jiǎn)潔有條理，用簡(jiǎn)練的數(shù)字代表字母標(biāo)記的線段或者數(shù)學(xué)公式，并在需要強(qiáng)調(diào)的文字部分用鮮明的顏色，在需要強(qiáng)調(diào)的圖形部分，用紅色或綠色箭頭加以標(biāo)記.

在基本不等式的課件設(shè)計(jì)中，圖形中需要強(qiáng)調(diào)的部分用陰影進(jìn)行填涂，減少冗余信息的干擾，減少外在認(rèn)知負(fù)荷，促進(jìn)學(xué)生對(duì)信息的加工與處理，提高教學(xué)效率.

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