數(shù)學(xué)解題關(guān)鍵環(huán)節(jié)的確定與教學(xué)設(shè)計

張昆 羅增儒

【摘 要】 ?數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計的一般程序分為三個部分：教師針對某個數(shù)學(xué)問題盡可能多地獲得解決的思路;確定解題過程的關(guān)鍵環(huán)節(jié);依據(jù)學(xué)生發(fā)生解題認識的心理環(huán)節(jié)及其過渡性中介，經(jīng)由選擇教學(xué)法的加工，設(shè)計具體的解題教學(xué)流程.教師悉心地完成上述三個互相關(guān)聯(lián)的步驟，在課堂上依據(jù)學(xué)生具體的生成情況，加以適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，就會最大限度地提高解題教學(xué)的有效性，保質(zhì)保量地完成數(shù)學(xué)解題教學(xué)任務(wù).

【關(guān)鍵詞】 ?數(shù)學(xué)解題;解題教學(xué)：教學(xué)設(shè)計;關(guān)鍵環(huán)節(jié)

從某種程度上可以說，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的過程就是將作為學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為教學(xué)形態(tài)的數(shù)學(xué)知識的過程.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計是一項結(jié)構(gòu)性的整體工程，它的構(gòu)成要素主要體現(xiàn)在互相關(guān)聯(lián)的三個側(cè)面：理解所要傳授的具體數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)所呈現(xiàn)的環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介的可能組成序列（簡稱“教材分析”）;把握學(xué)生萌發(fā)數(shù)學(xué)知識（環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介）的心理環(huán)節(jié)（呈現(xiàn)的是觀念形態(tài)）及其過渡性中介（簡稱“學(xué)情分析”）;通過創(chuàng)造性工作找到溝通這兩種組成環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)（或過渡性）中介的切合點（簡稱“教學(xué)法分析”）.由此教師可以設(shè)計出合適的數(shù)學(xué)教學(xué)過程（如圖1） [1].那么，如何依據(jù)學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識的心理環(huán)節(jié)及其過渡性中介進行數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計呢？

1 教師獲得問題解決的巧妙思路

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，與學(xué)生相比，我們教師具有強大的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，通過深入思考，往往會發(fā)現(xiàn)非常巧妙的解決問題的邏輯思路，此時，如果教師直白地將這種邏輯思路直接地“下載”給學(xué)生，就會造成數(shù)學(xué)解題活動教育價值的極大損失.因此，好的數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計在于教師想方設(shè)法將這種邏輯過程轉(zhuǎn)化為學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題思路的心理過程，也就是將形成解題過程的邏輯環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介轉(zhuǎn)化為學(xué)生萌生這一思路的心理環(huán)節(jié)及其過渡性中介，使這一思路邏輯過程的環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介仿佛是學(xué)生從他自己心靈深處發(fā)生的.這是數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計的真正要緊的地方，教師的努力也需要圍繞著這一轉(zhuǎn)化過程展開.我們看一個具體解題教學(xué)的例子.

例1 （2010年全國高考湖北卷理科題22） 已知函數(shù)f（x）=ax+ b x +c（a>0）的圖象在點 1，f（1） 處的切線方程為y=x-1.

（Ⅰ）用a表示出b，c;

（Ⅱ）若f（x）≥lnx在 1，+SymboleB@ 上恒成立，求a的取值范圍;

（Ⅲ）證明：1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n >ln 1+n + n 2 n+1?? n≥1 .

分析 請讀者自行尋找結(jié)論（Ⅰ）為：b=a-1，c=1-2a;結(jié)論（Ⅱ）為：a∈? 1 2 ，+SymboleB@ .

關(guān)于問題（Ⅲ），筆者通過長時間的思考，發(fā)現(xiàn)了一條巧妙思路：記1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n > ln 1+n + n 2 n+1?? n≥1 為不等式①，仔細審視不等式①，發(fā)現(xiàn)這個不等式左邊的形式可以記為1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n =∑ n ?k=1 ?1 k ②.

由于ln n+1 =∑ n ?k=1 ?ln k+1 -lnk ③， n 2 n+1? =∑ n ?k=1 ??1 2k - 1 2 k+1?? ④，由③、④相加，知ln n+1 + n 2 n+1? =∑ n ?k=1 ?[lnk+1-lnk]+? 1 2k - 1 2 k+1??? ⑤.于是，仔細觀察比較①、②與⑤的具體特點，知只要證明 1 k >ln k+1 -lnk+ 1 2k - 1 2 k+1? ⑥，對于⑥進行移項、合并同類項，知等價于證明 1 2k + 1 2 k+1? >ln 1+ 1 k? ⑦就達到了目的.

對于函數(shù)f（x）=ax+ b x +c（a>0），且b=a-1，c=1-2a，又且當(dāng)a∈? 1 2 ，+SymboleB@ 時，f（x）≥lnx在 1，+SymboleB@ 上恒成立，并且不難得到當(dāng)x>1時，f（x）>lnx.取a= 1 2 ，當(dāng)x>1時，則有 x 2 - 1 2x >lnx⑧.在⑧中，取x= k+1 k? ，知 k+1 2k - k 2 k+1? >ln 1+ 1 k?? ⑨.比較不等式⑦與⑨，只要證明 k+1 2k - k 2 k+1? ≥ 1 2k + 1 2 k+1? 就行了.對此，我們不難通過計算，得 k+1 2k - k 2 k+1? = 1 2k + 1 2 k+1? ，從而由⑨成立得到⑦成立.

這道題的思路我們已經(jīng)找到了，這條思路不同于當(dāng)年高考命題者所提供的參考答案，計算簡潔，方法優(yōu)雅，具有較好的創(chuàng)新性.如果將這種答案不加以教學(xué)法的加工與處理，而直接“交給”學(xué)生，那就將會失去數(shù)學(xué)解題過程的很多促進學(xué)生思維品質(zhì)、數(shù)學(xué)能力發(fā)生與發(fā)展的教學(xué)價值，也不會幫助學(xué)生在解題中生成有用的數(shù)學(xué)觀念，及欣賞解題過程中的數(shù)學(xué)美感.為了更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)解題教學(xué)的價值，我們應(yīng)該首先從解答過程確定促進學(xué)生諸多心理品質(zhì)發(fā)生與發(fā)展的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，然后，再考慮對此進行教學(xué)設(shè)計.

2 數(shù)學(xué)解題思路中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)的確定

眾所周知，數(shù)學(xué)問題解題的過程，就是建立題設(shè)條件之間的聯(lián)系而構(gòu)成問題結(jié)論的過程，在解題過程中，題設(shè)條件與結(jié)論之間的貫通是由學(xué)生已經(jīng)掌握了前在的數(shù)學(xué)知識作為橋梁的 [2].依據(jù)這種視角來看，仿佛是解題者前在的數(shù)學(xué)知識解決了問題（數(shù)學(xué)問題、或者生活中的問題），但是，問題的本質(zhì)不是這樣的，其中，我們必須看到：

其一，這種前在的數(shù)學(xué)知識是相對而言的，作為人類的數(shù)學(xué)知識與作為個體的數(shù)學(xué)知識，在解決問題時起著不同的作用.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，教師是人類數(shù)學(xué)知識的代言人，教師將可以解決的數(shù)學(xué)問題或利用數(shù)學(xué)知識解決的生活中的問題，轉(zhuǎn)化為培養(yǎng)學(xué)生相關(guān)心理品質(zhì)的資源與力量.因此，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)的過程中，數(shù)學(xué)教師需要首先幫助學(xué)生掌握解決某個問題所需要的知識，因為，如果學(xué)生目前的認知結(jié)構(gòu)中還不具有如此的數(shù)學(xué)知識，他是不可能解決這一數(shù)學(xué)問題的.我們設(shè)想對于學(xué)生而言，這在教科書中所出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題，或者數(shù)學(xué)高考題，一般情況下通過課程的安排，學(xué)生已經(jīng)掌握了這樣的數(shù)學(xué)知識，至于針對某學(xué)生個體的特殊情況，需要具體的教授這個學(xué)生的教師單獨考慮.

其二，只具有解決某個問題的數(shù)學(xué)知識還是不能解決問題的，因為，雖然是數(shù)學(xué)知識架設(shè)起從題設(shè)條件到問題結(jié)論的橋梁，但是，作為人類的數(shù)學(xué)知識如果不與學(xué)生個體相結(jié)合，那么，對于學(xué)生而言，這種知識還是客觀的，不能為他所用，他還依然不能解決問題.人類的數(shù)學(xué)知識只有與具體個體的意識結(jié)構(gòu)相結(jié)合，這才是屬于具體個體的數(shù)學(xué)知識，這種數(shù)學(xué)知識對于這個個體才是有效的，才能支配知識去分析問題與解決問題.

其三，雖然個體擁有解決某問題的數(shù)學(xué)知識，但是在將這種數(shù)學(xué)知識運用到具體問題中的過程中，這一知識總是被個體征調(diào)的，形成知識運動的動力來源于個體思維活動的能動性，就是說，解題時，知識是僵死不動的，總是被個體支配的，問題解決的關(guān)鍵性環(huán)節(jié)就是在調(diào)整、調(diào)動與整合問題題設(shè)條件，知識要在這些題設(shè)條件的應(yīng)用中得其所置，這種個體在問題題設(shè)的適當(dāng)位置中安置知識的過程，必須由個體的思維能動性作用才能實現(xiàn)，它需要在個性化的數(shù)學(xué)觀念的指令下，才能實現(xiàn).

其四，發(fā)現(xiàn)決定問題的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，從而利用數(shù)學(xué)知識獲得解決問題思路的過程，就在于從作為題設(shè)條件的外在信息中選擇并確定出支點信息.這種選擇的過程又是外在信息與已經(jīng)內(nèi)化、并保存在意識結(jié)構(gòu)中的數(shù)學(xué)知識之間的互相吸引，相互誘導(dǎo)，相互調(diào)整，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識對基于支點信息、并在支點信息“凝聚核”的作用下，將外在諸多信息進行結(jié)構(gòu)化的信息封裝過程，如圖2所示.在這一整套的發(fā)現(xiàn)思路及采取行動驗證發(fā)現(xiàn)的過程中，數(shù)學(xué)觀念起著關(guān)鍵性的作用.

[JZ] 圖2 數(shù)學(xué)解題思維環(huán)節(jié)框架圖

其五，由于個體產(chǎn)生解決問題的行動不是無緣無故的，也不是盲目試誤的過程，而是思維活動通過圖2所示的一整套探究過程，對題設(shè)條件外在信息與個體已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識之間進行醞釀，從而萌生了某些數(shù)學(xué)觀念，個體解決問題的行動就是在這些（通過競爭，選擇出的主導(dǎo)性的）數(shù)學(xué)觀念指導(dǎo)下進行的.正是數(shù)學(xué)觀念的作用，既可以調(diào)動外在問題的題設(shè)條件的信息，又可以調(diào)動內(nèi)在解題數(shù)學(xué)知識，從而可以將這兩者關(guān)聯(lián)起來解決問題.

如此分析，我們可以確定解題教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)就在于個體如何取得指導(dǎo)操作題設(shè)條件行動的數(shù)學(xué)觀念（一種指令）.長期數(shù)學(xué)解題與教學(xué)經(jīng)驗使我們認識到，學(xué)生在習(xí)得數(shù)學(xué)知識的同時，總是在萌生數(shù)學(xué)觀念，這其中有些數(shù)學(xué)觀念由于經(jīng)常使用，在解決問題時，個體可以信手拈來，不需要在新出現(xiàn)的問題背景的現(xiàn)場中即興萌發(fā)了，而是成了某種自覺的行為，當(dāng)此之時，在教師的教學(xué)中，就不構(gòu)成解題教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié);而某些決定問題本質(zhì)的數(shù)學(xué)觀念在搜索解題思路中卻不是輕而易舉地可以得到的，此時，教師在解題教學(xué)設(shè)計時必須幫助學(xué)生現(xiàn)場萌生這種數(shù)學(xué)觀念 [3].這就構(gòu)成了解題教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，確定解題教學(xué)設(shè)計關(guān)鍵環(huán)節(jié)的依據(jù)也就由此而生.

3 數(shù)學(xué)解題關(guān)鍵環(huán)節(jié)教學(xué)設(shè)計的構(gòu)想與行動

就本例而言，教師設(shè)計這道解題教學(xué)的過程可以劃分為如下幾個環(huán)節(jié)：首先，從教師自己所定位的解題思路中確定關(guān)鍵環(huán)節(jié)（通過前面的分析，我們已經(jīng)做到了）;其次，追蹤獲得問題思路時處理關(guān)鍵環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)觀念的源頭;再次，揣摩并模擬學(xué)生萌生處理關(guān)鍵環(huán)節(jié)指令的心理活動過程 [4].針對例1我們所獲得的思路而言，教師依次確定教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵環(huán)節(jié)在于兩個“數(shù)學(xué)觀念”的形成：（1）由（Ⅰ）、（Ⅱ）兩問所建立起來的不等式⑧將要應(yīng)用到第（Ⅲ）問的不等式①中;（2）由②作為基礎(chǔ)，經(jīng)由③、④而獲得等式⑤，我們不妨稱之為“求繁”的數(shù)學(xué)觀念，事實上，它是在不等號（等號）所連接的兩個式子應(yīng)該具有“對等”的結(jié)構(gòu)，或者更進一步地說，是在學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)“對稱美”的審美意向作用下而萌生的“對等”結(jié)構(gòu)而建立起來的“求繁”的數(shù)學(xué)觀念.

對于（1）中的這種數(shù)學(xué)觀念，學(xué)生通過長期解答數(shù)學(xué)題，已經(jīng)有了很深刻的體驗，因而，它是比較容易發(fā)生的，于是，在教學(xué)設(shè)計時，滲透這種具體的數(shù)學(xué)觀念就不作為非常重要的教學(xué)目標(biāo)了;對“求繁”的數(shù)學(xué)觀念在解題思路的發(fā)現(xiàn)中起著指導(dǎo)技術(shù)性操作的指令作用，然而，在學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實中，這項數(shù)學(xué)觀念確是比較難以萌生的，原因在于求簡是數(shù)學(xué)解題思維的主旋律，它的逆向性思維“求繁”受到思維定勢的影響，卻不容易產(chǎn)生了，因此，本例的教學(xué)設(shè)計就是要圍繞著針對“求繁”的數(shù)學(xué)觀念展開.關(guān)于這種“求繁”的數(shù)學(xué)觀念的萌生，有時是經(jīng)過長期的醞釀而形成的靈感的閃現(xiàn)，這種靈感的過程就連心理學(xué)家也難以說清楚，教師對學(xué)生解題時心理的起承轉(zhuǎn)合的行為產(chǎn)生的心理環(huán)節(jié)過程也是難以清楚揣摩到的.

可以說，這些構(gòu)成了教師設(shè)計數(shù)學(xué)解題教學(xué)的創(chuàng)造性能力的非常重要的一項教學(xué)目標(biāo)，滲透“求繁”的數(shù)學(xué)觀念就是解決這道題的最為關(guān)鍵的價值所在.如果數(shù)學(xué)教師在設(shè)計數(shù)學(xué)解題教學(xué)時心中不能對學(xué)生探究問題思路過程的那種深陷重圍的痛楚，舉步維艱的困惑，欲行又止的困局切體的理解，那就很難急學(xué)生之所急，想學(xué)生之所想.教師就必然會只滿足于自己的講清楚，如此，學(xué)生很難舉一反三.因此，教師不僅要理解學(xué)生的知識基礎(chǔ)，還要了解他們的思維方式與認識特點，基于此，把解題思路獲得的曲折的思維過程作必要的設(shè)計，不只是講教師加工整理好了的思維捷徑 [5].筆者在帶領(lǐng)學(xué)生解決這道題的教學(xué)時，就是圍繞著滲透“求繁”的數(shù)學(xué)觀念而展開，下面是筆者課堂教學(xué)的實錄：

師：要證明不等式1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n >ln 1+n + n 2 n+1?? n≥1 ①成立，大家有什么想法？

生1：如果獲得不等式左邊的前n項和的一個表達式，對問題的解決會帶來很多好處，可是，我經(jīng)過試探，很難找到這樣的一個表達式（作為教師的筆者心理非常清楚，不等式①的左邊是一個發(fā)散數(shù)列）.

師：生1的這種想法，雖然在技術(shù)上我們難以得到執(zhí)行，但是，我們可以分析生1想法的來源.他可能是這樣想的：對于“不等號”（“等號”）也是一樣，它們所連接的兩邊具有一種對等關(guān)系，他發(fā)現(xiàn)不等式①的這種形式不是對等的，加之以在“求簡”的數(shù)學(xué)觀念指令下，想到了求不等式①左邊的一個表達式.可惜，我們辦不到.怎么辦？

生2：我們可以倒著想，既然①的左邊的代數(shù)式不能直接相加得到一個結(jié)果，從而得到一個與①的右端形成一個“對等”的形式，那么，我想把①的右邊轉(zhuǎn)化為一個n項和的形式，如此也就形成了不等號的左右兩邊的“對等”形式了.但是，具體如何實現(xiàn)，我沒有想好.

師：大家試探生2同學(xué)的這種觀念是否可以實現(xiàn)？

說明，正如研究者分析中所產(chǎn)生的，在生2形成的觀念的指令下，同學(xué)們找到了等式③、④，經(jīng)由③、④又獲得等式⑤，于是，要證明①成立，只要證明 1 2k + 1 2 k+1? >ln 1+ 1 k? ⑦成立就行了.

師：如何證明不等式⑦成立呢？

生3：第（Ⅱ）問提供的不等式肯定會起作用了.

說明：生3完整地給出了不等式①證明的思路.見解答的過程.

這種教學(xué)設(shè)計，數(shù)學(xué)教師對生1發(fā)生的數(shù)學(xué)觀念的解釋，揭示萌生“對等”的數(shù)學(xué)觀念的過程是非常重要的，正是學(xué)生萌發(fā)出了這一數(shù)學(xué)觀念的指令，形成了生2的處理這道題關(guān)鍵環(huán)節(jié)的技術(shù)性手段——萌生了“求繁”的數(shù)學(xué)觀念.這個關(guān)鍵環(huán)節(jié)必須通過教師教學(xué)設(shè)計促使學(xué)生自己從自己的意識結(jié)構(gòu)中生發(fā)出來，而不能“下載”給學(xué)生.這是實現(xiàn)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的教育價值的最為重要的地方.

4 數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計的一般程序

由這個例子我們可以歸納數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計的一般程序：（1）教師針對某個數(shù)學(xué)問題盡可能多的獲得解決的思路，教師最好的獲得思路的方式是自己解題，因為，基于自己解題得到的思路，他會對自己的思路活動過程了如指掌，容易把握萌生某些數(shù)學(xué)觀念的來源，從而容易發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，教師抄別人解答的結(jié)果，就不可能對解題思路發(fā)現(xiàn)的過程具有如此深刻的體會;（2）確定解題過程的關(guān)鍵環(huán)節(jié).解題過程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)的主要標(biāo)識就是指令問題思路中某些疑難步驟的數(shù)學(xué)觀念是如何萌生的，這些基本上都是學(xué)生難以發(fā)生合適的數(shù)學(xué)觀念的地方，它形成了培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的最佳資源;（3）依據(jù)學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識的心理環(huán)節(jié)及其過渡性中介，經(jīng)由選擇教學(xué)法的加工，設(shè)計具體的解題教學(xué)流程.

5 簡要結(jié)語

一位數(shù)學(xué)教師如果沒有數(shù)學(xué)解題能力，他一定不可能成為非常優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師;一位數(shù)學(xué)教學(xué)即使具有非常好的解題能力，他也未必一定能成為非常優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師.數(shù)學(xué)解題能力構(gòu)成了優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師的一項非常重要的必要條件，另一個非常重要的必要條件就是數(shù)學(xué)教師必須具備將解題能力轉(zhuǎn)化為他的教學(xué)能力，對此，他需要特別關(guān)注學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)問題思路的某些關(guān)鍵環(huán)節(jié)時學(xué)生的心理環(huán)節(jié)及其過渡性中介生成，從而設(shè)計教學(xué)過程循循善誘，引導(dǎo)學(xué)生依靠自己的認知結(jié)構(gòu)的力量，重新萌生這種思路的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，而不是將教師自己所得到的結(jié)果和盤托出地“下載”給學(xué)生，這其中，幫助學(xué)生萌生數(shù)學(xué)觀念是數(shù)學(xué)教師在設(shè)計解題教學(xué)時需要特別注意的問題.對此，我們數(shù)學(xué)教師要思之再思，慎之 又慎.

參考文獻

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