分類討論思想在高中數(shù)學教學中的運用

李坤

【摘要】數(shù)學思想方法貫穿于整個高中數(shù)學，在數(shù)學教學和解題方面具有重要作用.其中，分類討論思想方法是學生必須掌握的思想方法，能夠?qū)碗s的問題簡單化、抽象的問題形象化、分而治之，從而達到解決問題的目的.但是，對相關文獻資料的分析和研究，我們發(fā)現(xiàn)，數(shù)學分類討論思想的相關文獻主要集中于解題方面的研究，在教學方面的研究相對薄弱.因此，對于高中數(shù)學而言，分類討論思想在教學方面的運用缺乏一定的理論基礎，教師可以借鑒的經(jīng)驗十分有限，導致分類討論思想在高中數(shù)學教學中的落實不夠到位.

【關鍵詞】分類討論思想；高中數(shù)學；教學策略

弗賴登塔爾認為：“對人類思維訓練有重要影響的是數(shù)學思想方法而非具體的數(shù)學知識.”這就說明數(shù)學思想方法對于在數(shù)學方面的研究以及學生的數(shù)學學習具有重要作用.在高中數(shù)學中，數(shù)學教學有兩條線，一條是明線，即數(shù)學知識的教學；一條是暗線，即數(shù)學思想方法的教學.數(shù)學思想方法凌駕于數(shù)學知識之上，是從具體的數(shù)學內(nèi)容中提煉出來的一種指導思想和普遍適用的方法，是對數(shù)學知識、數(shù)學規(guī)律的本質(zhì)認識.對于發(fā)散學生思維，提高學生數(shù)學能力具有核心作用.

分類討論思想因其具有實用的教學價值和高效的解題功能，所以受到了國內(nèi)外數(shù)學教育工作者的共同認可.然而在實際的高中數(shù)學課堂教學中，我們發(fā)現(xiàn)分類討論思想方法落實的并不是很到位，主要表現(xiàn)為對分類討論思想方法的認知存在障礙、學生不懂得如何分類等等.在課堂教學中，一些教師對于分類討論思想方法不會去詳細講解分類思路，導致學生無法舉一反三.對于分類討論思想方法在我國高中數(shù)學教學中存在的很多問題，本文將針對這些問題展開具體的研究，使得這一思想在高中數(shù)學中得到充分的運用.

一、分類討論思想

（一）分類討論概念

分類討論既是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種邏輯方法.它既存在于數(shù)學領域，同時也存在于其他學科及日常生活中.在我國，有許多的數(shù)學教育工作者都曾經(jīng)用分類討論思想解決過數(shù)學難題.同時，對于分類討論思想的含義、本質(zhì)等也提出了不同的觀點.筆者認為高中數(shù)學中分類討論指的是：當所研究的數(shù)學對象具有引起分類的原因，需要根據(jù)對象的本質(zhì)特征，采用“總—分—總”的研究模式，將問題劃分為若干部分，然后對每一部分進行研究解決，最后將分類所得結(jié)果進行整合，從而達到解決問題的目的.

（二）分類討論的原則

分類意識是分類討論思想的核心，如何分類決定了問題后來的解決難度和完整性.張小芳發(fā)表的《淺談數(shù)學教學應如何進行分類討論》中指出分類討論思想應遵循：（1）不重復原則.所分的各類之間不能有交叉重疊的現(xiàn)象，各類之間應該是互斥的；（2）不遺漏原則.分類過程必須確保每一個對象都有歸屬，做到完整無遺漏；（3）同標準原則.每一層采用的分類標準必須是統(tǒng)一的.

二、高中數(shù)學教學中運用分類討論思想的教學案例

高中數(shù)學中有許多的定理、公式、法則、習題等都需要運用分類討論思想，可以說，分類討論思想貫穿于高中數(shù)學教材的各個章節(jié)，沒有統(tǒng)一論述.學生在學習過程中，教師應不斷強化學生分類討論意識，讓學生認識到很多問題只有經(jīng)過分類討論后，所得到的結(jié)論才是正確的、完整的.并且強調(diào)通過分類討論，可以使復雜的問題簡單化，抽象的問題形象化.

本文以高中數(shù)學“分段函數(shù)”內(nèi)容為例，研究分類討論思想在高中數(shù)學教學中如何得到合理的運用以及如何高效地解決相關的數(shù)學問題.在這之前，已經(jīng)有許多數(shù)學教師在教學中進行了卓有成效的教學實踐，我將借助于一些現(xiàn)有的實踐資料，結(jié)合個人的觀點和體會，進行探究和分析.

分段函數(shù)教學案例

1.創(chuàng)設情境，引入新課

引例：某市出租車計價標準：5 km以內(nèi)8元（包含5 km），超過5 km且不超過15 km的部分1.5元/km，超過15 km的部分2元/km，問：

（1）某人乘車行駛了9 km，他需要支付多少車費？

（2）建立車費與行車里程之間的函數(shù)關系式.

（3）如果某人付費35元，他乘車乘了多少km？

[設計意圖]從學生感興趣的日常生活實際問題出發(fā)創(chuàng)設情境，激發(fā)學生求知欲，帶領學生進入分段函數(shù)的研究.在這一過程中，建立解析式是教學難點，需要教師仔細為學生分析知識的發(fā)生、發(fā)展和形成過程.

2.實踐研究，形成概念

（1）作出函數(shù)y=3x+2，x∈R的圖像；

（2）作出函數(shù)y=3x+2，x∈（2，+∞）的圖像.

歸納：

① 定義：在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應法則，這樣的函數(shù)叫作分段函數(shù).

② 對應關系：對分段函數(shù)來說，在不同自變量的取值范圍內(nèi)其對應關系不同，但分段函數(shù)是一個函數(shù).

③ 定義域：分段函數(shù)定義域為各段定義域的并集.

④ 值域：分段函數(shù)值域為各段函數(shù)值的并集.

[設計意圖]根據(jù)圖像建立分段函數(shù)的概念，使學生明確分段函數(shù)存在的實際意義.通過對分段函數(shù)概念的分析，讓學生體會到分類討論思想在解決分段函數(shù)問題中發(fā)揮著重要作用.

3.實際應用，深化概念

例已知函數(shù)f（x）=x2，x>0，0，x=0，x，x<0.

（1）畫出函數(shù)的圖像；

（2）根據(jù)已知條件分別求f（1），f（-2），f[f（-2）]，f{f[f（-2）]}的值.

變式已知函數(shù)f（x）=x，x≤0，x2-4x，04.

（1）畫出函數(shù)的圖像；

（2）求f{f[f（6）]}的值.

[設計意圖]分段函數(shù)的對應關系是借助于幾個不同的表達式來表示的，處理分段函數(shù)的問題時，運用分類討論思想，首先要確定自變量的數(shù)值屬于哪一個區(qū)間，從而確定相應的對應關系.對于分段函數(shù)，各個分段的“端點”是學生容易犯錯的地方.

4.課堂小結(jié)，總結(jié)回顧

（1）充分理解分段函數(shù)的概念以及解析表示形式；

（2）仔細思考在處理分段函數(shù)問題中所運用的數(shù)學思想方法.

（3）加強對分段函數(shù)本質(zhì)的認識：

① 理解：對于定義，要理解其內(nèi)涵和外延，抓住概念的本質(zhì)特征，學會運用概念解決問題；

② 明確：對于一個分段函數(shù)而言，對應法則由幾個解析式來表示；函數(shù)的圖像既可以是平滑的曲線，也可以是一些點或線段；

③ 注意：分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.

[設計意圖]總結(jié)回顧可以教會學生養(yǎng)成勤于思考，善于合作的學習習慣，同時可以發(fā)散學生思維，構(gòu)建完整的數(shù)學知識框架.

5.課后作業(yè)，反饋成效

必做題：教材習題P24第7題，P25第1題.

[設計意圖]讓學生能夠熟練運用分類討論思想解決分段函數(shù)問題，對新知識、方法有一個了解和運用的過程.

三、分類討論思想在高中數(shù)學教學中存在的問題及解決策略

（一）分類討論思想在高中數(shù)學教學中存在的問題

1.教師方面的原因

（1）對數(shù)學思想方法的認知不夠透徹，無法把握其本質(zhì).

目前存在很多數(shù)學教師專業(yè)性不強，對數(shù)學思想方法的認知存在缺陷等問題.以至于無法運用數(shù)學思想方法進行教學.而對于分類討論這一思想，有些教師只是更多的關注在解題方面的作用，而對于在教學方面的運用認識不夠全面，這也是新教師和老教師的區(qū)別.新教師過分偏重解題方法和技巧，老教師則善于將數(shù)學思想方法融入課堂教學內(nèi).

（2）對數(shù)學思想方法的重視程度不夠，片面注重知識傳授.

“傳道”“授業(yè)”“解惑”作為傳統(tǒng)數(shù)學思想在長期的教學實踐中已經(jīng)根深蒂固，以至于一些教師尤其是新教師在教學過程中只注重數(shù)學知識的教學，導致學生在能完全記憶書本的定義、性質(zhì)、公理、定理、公式以后，仍然對綜合性較強的題目無從下手，找不到突破口.學生不會分析題干信息，對解答出來的題目也不會去反思是如何做出來的，是用什么數(shù)學思想方法處理的.所以，很多學生搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，但是仍然對許多做過的題目再見到時感到陌生，這就是教師在教學過程中忽略數(shù)學思想方法的后果.所以說，對教學而言，打造高效課堂的關鍵往往是新在其思路，精在其思想，而不能只注重知識的傳授.

2.學生方面的原因.

（1）遇到具體問題不知該如何分類.

分類討論的關鍵在于分類，分類是否合理決定了問題解決的正確性和完整性.而如何分類需要學生根據(jù)具體問題做出相應的判斷.許多學生在遇到分類討論題目時，思維就出現(xiàn)混亂，導致分類不合理.

（2）忽略分類討論的原則.

我們經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)，有些學生在做分類討論題目時，所得出的結(jié)果與正確結(jié)果非常相近，產(chǎn)生這些問題，究其原因是因為在討論過程中，忽略分類討論的原則，沒有深入挖掘其中的關鍵點、易錯點.

（二）針對分類討論思想在教學中出現(xiàn)的問題提出解決策略

1.教師應全面了解數(shù)學思想方法

數(shù)學思想方法包括分類討論思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等等，每一種思想都有其各自的特點和作用，教師需要對各種數(shù)學思想方法有一個全面的了解，抓住其本質(zhì)，挖掘其內(nèi)涵，掌握其用法，從而提升自己運用思想方法教學的能力.

2.教師要認識到數(shù)學思想方法教學的重要性

數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓，是以數(shù)學知識為載體的邏輯方法.在教學過程中，教師只講概念、定理、公式、性質(zhì)而不注重運用數(shù)學思想，將不利于學生對所學知識的真正理解和掌握，其水平也只是停留在一個初級階段，并且學生在這一學習過程中只接收到表層知識，而沒有對數(shù)學思想方法這一深層知識有所感悟，無法使思維產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，導致學生的成績一直無法拔尖.

3.教師要善于在學習過程中滲透數(shù)學思想

許多教師在教學中都體會到，實踐解題能使學生得到有效提升.因此，滲透數(shù)學思想方法最主要的途徑是在解決數(shù)學問題的過程中.這就要求教師在用分類討論思想方法教學時，要選擇合適的教學時機，巧妙地設計一些數(shù)學問題引導學生探究，多為學生提供一些解答問題的機會，教會他們總結(jié)和反思解決問題的方法和策略，從而不斷提高自身運用分類討論思想解決問題的能力，領會數(shù)學思想的內(nèi)涵.

4.教師要引導學生如何運用好分類討論思想

對于許多數(shù)學問題，學生盡管知道需要用分類討論思想解決，但是并不清楚分類的原因以及分類過程中容易出錯的地方，這就要求我們的教師細心地引導學生弄清楚分類的原因，如何合理的分類，分類是否全面以及在討論過程中應注意的問題等.

四、結(jié)束語

分類討論思想是非常重要的數(shù)學思想，全面掌握和運用分類討論思想可以使復雜的問題簡單化、抽象的問題具體化.有助于學生獲取知識，養(yǎng)成良好的歸納整理的習慣，處理問題具有條理性.同時對于訓練學生思維，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)也有很大幫助.希望本文的解決策略能夠引起教師們的關注，繼而達到預期的教學效果.

【參考文獻】

[1]張向良.數(shù)學思想方法與高中數(shù)學教學[D].大連：遼寧師范大學，2012.

[2]張小芳.淺談數(shù)學教學應如何進行分類討論[J].成功（教育版），2010（2）：114-115.endprint