硅各向異性腐蝕的仿真模型研究

嚴(yán)一峰，方玉明

(南京郵電大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210023)

硅各向異性腐蝕的仿真模型研究

嚴(yán)一峰，方玉明

(南京郵電大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210023)

為了在硅襯底上加工出多樣的微結(jié)構(gòu)，滿足微機(jī)電系統(tǒng)的發(fā)展，硅各向異性腐蝕的仿真模型被大量研究。從襯底模型、腐蝕規(guī)則的制定、腐蝕速率、時(shí)間步長(zhǎng)的角度出發(fā)，介紹了這些要素對(duì)幾何模型和原子模型所包含多種仿真方法的模擬精度和模擬效率的影響，歸納了各種仿真方法的適用場(chǎng)合和特點(diǎn)，并為提出更優(yōu)化的方案提供了方向。其中連續(xù)CA方法和MC方法揭示了腐蝕的本質(zhì)，模擬精度高，三維處理能力強(qiáng)，被廣泛應(yīng)用。而原子模型算法簡(jiǎn)單，運(yùn)算速度快，在對(duì)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的MEMS仿真中也得到應(yīng)用。所有仿真方法都可在權(quán)衡精度和效率的利弊后做出改進(jìn)。

硅；各向異性腐蝕；仿真方法；模擬精度和模擬效率

因?yàn)楹?jiǎn)單的蝕刻設(shè)備和出色的能力來制造特殊的微觀結(jié)構(gòu)，硅的各向異性濕法化學(xué)刻蝕技術(shù)被廣泛用于制造各種微電子機(jī)械系統(tǒng)(MEMS)。硅的各向異性濕法化學(xué)腐蝕的過程很復(fù)雜，從宏觀上理解，不同晶向腐蝕速率的差異是由腐蝕液類型、晶向、溫度及濃度等因素決定的，從微觀上理解，考察的是不同的原子類型，差別甚至達(dá)到幾百幾千倍[1]。因而各種用于硅各向異性腐蝕模擬的模型被提出用于優(yōu)化各向異性腐蝕過程和提高M(jìn)EMS設(shè)計(jì)的效率。

近年來研究者們提出的腐蝕模型主要分為宏觀上理解腐蝕過程的幾何模型與微觀上理解腐蝕過程的原子模型兩大類。分析了兩類模型中不同仿真方法模擬精度和模擬效率的影響要素，歸納了各種仿真方法的適用場(chǎng)合和特點(diǎn)。為以后研究者們?cè)谶M(jìn)行硅各向異性腐蝕模擬時(shí)根據(jù)需要選取合適的模型提供了參考，也為提出更優(yōu)化的方案提供了方向。

1 硅各向異性腐蝕模型

幾何模型和原子模型中每種仿真方法模擬效率和模擬精度的影響要素是不同的，相同要素影響的程度也不同，從這些角度去研究各向異性腐蝕模型，可以更深入的理解每種方法的特點(diǎn)，因而在選用與改進(jìn)上都能取得更好的效果。

1.1 幾何模型

幾何模型不同于原子模型，襯底模型被看作一個(gè)連續(xù)的整體，不同晶面沿著其法線傳播，不同的幾何方法用不同的幾何規(guī)則模擬這一過程。幾何規(guī)則的選取決定了模擬的效果，主要的幾何方法分為以下幾種：

1.1.1 Wulff-Jaccodine方法

Wulff-Jaccodine方法中認(rèn)為腐蝕前端面被看作一個(gè)集合的平面沿著其法線向內(nèi)推進(jìn)進(jìn)行腐蝕，一定時(shí)間內(nèi)推進(jìn)的距離是晶面腐蝕速率與時(shí)間的乘積。但由于新出現(xiàn)平面難以準(zhǔn)確確定，模擬結(jié)果不夠精確。姜巖峰等人用腐蝕衍化的辦法找到了新出現(xiàn)的平面，這種近似的方法不能滿足對(duì)高模擬精度的要求[2]。

1.1.2 Slowness方法

Slowness方法采用速率的倒數(shù)計(jì)算腐蝕前端面點(diǎn)或線的軌跡來確定任意時(shí)刻的腐蝕形狀。根據(jù)尖角的軌跡對(duì)尖角處插入的小的線段進(jìn)行演化來確定這些線段被去除的時(shí)間，這是一個(gè)迭代的過程。由于三維空間中尖角處由多個(gè)面形成，在三維空間中應(yīng)用Slowness方法的過程很復(fù)雜。Sequin用這種分析幾何變化的方法進(jìn)行了模擬，由于缺乏腐蝕速率數(shù)據(jù)，沒能準(zhǔn)確的模擬出腐蝕輪廓，也沒能在腐蝕前端面穿透出晶片后繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算[3]。

1.1.3 Eshape方法

Eshape方法中定義了一個(gè)E矢量，定義為從初始處到每個(gè)單位時(shí)間結(jié)束后兩個(gè)相鄰處正切交點(diǎn)處所構(gòu)成的矢量，如圖1所示。

圖1 E形狀中所定義的E矢量示意圖

Eshape方法結(jié)合了Wulff-Jaccodine方法和Slowness方法的優(yōu)點(diǎn)，不僅在模擬精度和適用結(jié)構(gòu)上有所改進(jìn)，還因?yàn)榭紤]的是整體效果，不是局部領(lǐng)域的點(diǎn)，可實(shí)現(xiàn)反向模擬。

但Eshape方法可以被許多其它模型共享，當(dāng)多個(gè)模型交叉形成新圖形時(shí)需要更多全局的細(xì)節(jié)計(jì)算。

1.1.4 Level Set方法

Level Set方法通過Level Set函數(shù)零水平集的計(jì)算追蹤腐蝕前端曲面的運(yùn)動(dòng)。圖2所示的是二元函數(shù)z=φ(x,y)所表示的三維曲面與xoy坐標(biāo)面的交線。這個(gè)交線是隨時(shí)間運(yùn)動(dòng)的曲線，用z=φ(x,y)的零水平集可以描述交線的運(yùn)動(dòng)軌跡[4]。

Level Set方法解決了上述幾種幾何方法與原子方法相比模擬精度不高和三維處理能力弱的問題，同時(shí)具有幾何方法共有的算法簡(jiǎn)單、運(yùn)算速度快的優(yōu)點(diǎn)。然而，還有非常多的工作需要去完成來提升到目前商業(yè)元胞自動(dòng)機(jī)仿真軟件的性能，比如通過與運(yùn)動(dòng)波理論的結(jié)合也能像原子模型一樣分析原子級(jí)的微觀腐蝕原理。

圖2 Level Set方法示例

計(jì)算結(jié)果的精度歸根結(jié)底由Level Set方程的數(shù)值解法決定，即采用有限差分法時(shí)所構(gòu)造差分格式的精度，分為離散化方案和自適應(yīng)方案。申偉采用高階精度的ENO和WENO格式用以離散空間導(dǎo)數(shù)來提高模擬精度，但這樣也增加了求解過程的復(fù)雜性[5]，Radjenovi等人使用自適應(yīng)方案中延伸的稀疏場(chǎng)方法，該方法用了一個(gè)近似的距離函數(shù)，使得它重新計(jì)算零水平集每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的鄰居變得可行，不僅增加了精度還減少了計(jì)算工作量[6]。

幾何模型中硅襯底的描述是宏觀的，不同于原子模型中的元胞陣列，幾何模型將硅襯底看作一個(gè)連續(xù)的整體?；谶@種襯底制定的腐蝕規(guī)則，不能反應(yīng)腐蝕發(fā)生的本質(zhì)過程，模擬精度低，但算法簡(jiǎn)單，運(yùn)算速度快。腐蝕規(guī)則中也只能采用宏觀的面腐蝕速率，通常采用實(shí)驗(yàn)測(cè)定后進(jìn)行插值計(jì)算的方法獲取關(guān)鍵方向上的腐蝕速率，比如測(cè)定硅半球在給定腐蝕條件下前后的外形變化，一個(gè)關(guān)鍵晶向需要測(cè)定不同溫度時(shí)的腐蝕速率來獲取Arrhenius定律中所需參數(shù)，完整腐蝕速率庫可在應(yīng)用Cubic(立方插值法)、v4(雙諧樣條插值法)、Hubbard等不同的插值方法后獲取[5,7]。

1.2 原子模型

在原子方法中，硅襯底是晶格上所有原子組成的陣列，通過在腐蝕時(shí)間內(nèi)不斷判斷腐蝕前端面原子的去留完成仿真。硅各向異性腐蝕模擬的MC方法與CA方法是分別基于蒙特卡羅方法和元胞自動(dòng)機(jī)思想的。

1.2.1 CA方法

元胞自動(dòng)機(jī)思想中元胞的狀態(tài)在時(shí)間上的進(jìn)化是元胞周圍環(huán)境作用的結(jié)果。Than和Buttgenbach等人提出的隨機(jī)CA方法將同一晶面的原子看作一次隨機(jī)過程，因此腐蝕表面模糊不清，而且閾值的確定方式對(duì)模擬結(jié)果的影響很大。Zhu和Liu等人提出的連續(xù)CA方法通過腐蝕速率的計(jì)算去除原子的“生命值”，獲得了高模擬精度，但由于每個(gè)腐蝕步長(zhǎng)計(jì)算的對(duì)象是三維陣列中的所有元胞，降低了模擬效率。Than和Buttgenbach等人提出的動(dòng)態(tài)CA方法在計(jì)算機(jī)仿真時(shí)，只把腐蝕前端面的原子作為處理對(duì)象，,程序的簡(jiǎn)化實(shí)現(xiàn)了模擬效率的大幅提高，因此動(dòng)態(tài)CA方法被廣泛應(yīng)用。

碰撞理論與CA方法結(jié)合計(jì)算腐蝕速率是最早從腐蝕原理上入手的計(jì)算方法，該理論認(rèn)為腐蝕液的溫度以及活化粒子的濃度決定了OH根離子與硅原子發(fā)生有效碰撞的幾率，描述了腐蝕液濃度和溫度等對(duì)腐蝕速率的影響，局限性在于只能定義出(100)，(110)，(111)3個(gè)主要晶面的腐蝕速率。躍遷態(tài)理論同樣可以融合進(jìn)連續(xù)CA方法解釋硅各向異性腐蝕，不同于前者，計(jì)算的是微觀的原子腐蝕速率，如圖3所示。表面類型原子根據(jù)不同配置可分為14種關(guān)鍵類型，不同類型原子的微觀激活能不同，即轉(zhuǎn)變態(tài)能量減去初始態(tài)能量的不同，這是由OH根離子對(duì)不同配置原子總化學(xué)鍵的削弱不同造成的，腐蝕速率可用波爾茨曼方程求解[8-10]。

圖3 一步反應(yīng)的微觀激活能

高米勒指數(shù)晶面上原子種類大多數(shù)情況下超過兩個(gè)，如果用實(shí)驗(yàn)測(cè)定的宏觀腐蝕速率，連續(xù)CA方法只能在有限范圍內(nèi)精確測(cè)定。躍遷態(tài)理論與連續(xù)CA方法的結(jié)合，成功把宏觀的面腐蝕速率轉(zhuǎn)化為微觀的原子腐蝕速率，加速了高指數(shù)晶面上新穎MEMS器件的研究。臺(tái)階流動(dòng)模型曾被引入連續(xù)CA方法解決腐蝕速率不同的解釋問題，極大增強(qiáng)了連續(xù)CA方法的性能[11]。

動(dòng)態(tài)CA方法相比較于連續(xù)CA方法只需考慮腐蝕表面原子，可采用更高效的襯底存儲(chǔ)方式進(jìn)一步提高模擬效率。如圖4所示，JPD等人給出了(100)晶面<110>晶向中表面晶胞4個(gè)不等價(jià)層中晶體中原子和自動(dòng)機(jī)元胞的對(duì)應(yīng)關(guān)系[12]。動(dòng)靜態(tài)結(jié)合存儲(chǔ)中，一個(gè)硅晶胞中的原子被抽象成4層原子，表面的4層原子可循環(huán)表示整個(gè)硅襯底，這種存儲(chǔ)方式在原子的存儲(chǔ)數(shù)量以及單個(gè)原子所需存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)量都要優(yōu)于靜態(tài)存儲(chǔ)。以(100)晶面1 000×1 000晶胞的晶片為例，一個(gè)晶胞平均一層有兩個(gè)硅原子，模擬腐蝕深度為500層原子，靜態(tài)存儲(chǔ)存儲(chǔ)量為40×1 000×1 000×2×500 Byte，約為40 GB,而動(dòng)靜態(tài)結(jié)合存儲(chǔ)所需的存儲(chǔ)量為4×1 000×1 000×2×4 Byte，約為32 MB[13]。CA方法在大尺寸模擬時(shí)，一個(gè)元胞如果代表一個(gè)原子的話，過多的原子數(shù)目都會(huì)對(duì)計(jì)算機(jī)造成巨大壓力，掩膜圖形分辨率決定了元胞代表的原子數(shù)量，這樣雖然提高了模擬效率，卻降低了模擬精度[14]。

圖4 (100)晶面<110>晶向上四個(gè)不等價(jià)層的單元晶胞

連續(xù)CA方法的模擬精度和模擬效率也受到時(shí)間步長(zhǎng)的影響。Zhu Z等人根據(jù)連續(xù)CA方法的特點(diǎn)提出了時(shí)間補(bǔ)償?shù)母拍?將剩余時(shí)間補(bǔ)償?shù)较乱粫r(shí)間步長(zhǎng),模擬精度得到保證，但仿真效率會(huì)降低一個(gè)數(shù)量級(jí)[15]。陳勁源等人針對(duì)傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)CA方法中串行步驟過多的問題，在腐蝕步驟直接并行的基礎(chǔ)上提出了超級(jí)步長(zhǎng)的概念，腐蝕算法中串行步驟的工作被有效減少，實(shí)現(xiàn)了十幾倍的加速[16]。

1.2.2 MC方法

蒙特卡羅方法是解決隨機(jī)性問題的，在硅各向異性腐蝕模擬中的MC方法，把原子分為固定和脫落兩種狀態(tài)，MC方法預(yù)先確定原子間鍵斷裂的概率，而原子間鍵則決定原子是否被移除，表面的所有原子都經(jīng)過測(cè)試，以檢驗(yàn)它們是否能從晶體中除去。與CA方法相比，兩者的三維處理能力都很強(qiáng)，但MC方法在小尺度仿真時(shí)能發(fā)揮更大的作用，模擬精度更高。

躍遷態(tài)理論融合進(jìn)MC法中時(shí)，不同類型原子在不同概率的情況下發(fā)生能級(jí)躍遷。Gosalves等人曾在上述模型基礎(chǔ)上通過計(jì)算測(cè)試得到與實(shí)驗(yàn)吻合較好的概率方程，函數(shù)本身取決于參數(shù)，如第一和第二相鄰原子的數(shù)目，第一鄰居和第二鄰居之間的平均相互作用能。MC方法與躍遷態(tài)理論的結(jié)合計(jì)算出了主要類型原子的腐蝕概率，相對(duì)于由幾個(gè)基本晶面速率確定的腐蝕規(guī)則，模擬精度從根本上得到提高[12,17-18]。臺(tái)階流動(dòng)模型也能融入MC方法，如圖5所示。基于臺(tái)階流動(dòng)模型的刻蝕速度可以被看作由臺(tái)地(terrace)的速度和與其垂直的臺(tái)階(step)的速度組成，與臺(tái)地原子相比，臺(tái)階處的原子刻蝕速度更高，因此表面的刻蝕基本只移除臺(tái)階處的高腐蝕速度原子，與此同時(shí)臺(tái)地的刻蝕在緩慢的進(jìn)行，形成了不斷產(chǎn)生的扭折，不同類型原子在臺(tái)地和臺(tái)階上所占的比例不同，造成了腐蝕速率的差異。該模型的特征是通過原子的離散化系統(tǒng)提供了了解系統(tǒng)演化的可能性。(110)面鋸齒狀條紋表面產(chǎn)生的過程，(100)表面金字塔狀的凸起結(jié)構(gòu)，證明這種模型解釋各向異性腐蝕是有效的[19]。與CA方法相同的是，從原子級(jí)的微觀腐蝕原理得出的腐蝕概率能在更大的仿真范圍取得精確的結(jié)果，但MC方法的計(jì)算效率受到整體上表面原子配置轉(zhuǎn)移概率大小的影響，如(111)面中，計(jì)算會(huì)變的非常緩慢。

圖5 臺(tái)階結(jié)構(gòu)

MC方法在進(jìn)行襯底存儲(chǔ)時(shí)，是將單元內(nèi)的原子

定義為實(shí)際原子的。在大尺寸模擬時(shí)，將計(jì)算得到的結(jié)果選擇一個(gè)合適的比例映射到實(shí)際尺寸和時(shí)間規(guī)模上。這樣做的優(yōu)勢(shì)是大尺寸模擬時(shí)可以達(dá)到與CA方法一樣的存儲(chǔ)效果，而小尺寸模擬時(shí)可以最大化MC方法小尺度仿真的能力。MC方法的腐蝕步長(zhǎng)有確定的算式，與CA方法一樣提升了精度，但不會(huì)犧牲模擬效率。

原子遍歷機(jī)制也決定著MC方法擁有更高的模擬精度。MC方法可以研究表面細(xì)微結(jié)構(gòu)和粗糙度等特征，尤其突出于研究腐蝕過程中腐蝕液不同局部環(huán)境以及金屬離子摻雜等影響下的接觸面的微觀腐蝕形態(tài)，這是因?yàn)镃A法并行刪除原子造成的，MC法中同一晶面的原子會(huì)在不同時(shí)間被腐蝕掉[20]。Peng等人分析了硅在HF和雙氧水中被腐蝕時(shí)金屬粒子的運(yùn)動(dòng)行為，(100)面的金屬粒子通過原位雙極電化學(xué)反應(yīng)產(chǎn)生的能量轉(zhuǎn)化為推動(dòng)其運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能，產(chǎn)生了垂直于(100)面的納米線和納米孔，這種微觀腐蝕形態(tài)的展現(xiàn)采用MC方法更好[21]；而在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的初步設(shè)計(jì) 中，CA方法能發(fā)揮更大的作用。總的來說，原子模型揭示了各向異性腐蝕過程的本質(zhì)，注重的是局部原子之間互相作用，相比較于幾何模型，模擬精度高，三維處理能力強(qiáng)。

2 不同仿真方法的歸納

原子模型和幾何模型所包含的仿真方法在硅各向異性腐蝕模擬中應(yīng)用的歸納如表1所示。

表1 原子模型和幾何模型所包含的仿真方法在硅各向異性腐蝕模擬中應(yīng)用的歸納

3 結(jié)束語

原子模型由于三維處理能力強(qiáng)，模擬精度高等優(yōu)點(diǎn)受到青睞，幾何模型由于算法簡(jiǎn)單，模擬效率高的優(yōu)點(diǎn)在簡(jiǎn)單的二維結(jié)構(gòu)模擬中也得到應(yīng)用。原子模型中連續(xù)CA方法適用于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的初步設(shè)計(jì)，而MC方法在小尺度仿真時(shí)能發(fā)揮更大作用；幾何模型中，Level Set方法和Eshape方法具有一定的三維處理能力，其中Level Set方法通過數(shù)值算法、腐蝕速率求解中插值方法的改進(jìn)能達(dá)到原子模型的精度，同時(shí)具備幾何模型高效的特點(diǎn)，有待進(jìn)一步研究。模擬精度和模擬效率是選取硅各向異性腐蝕模型的兩大因素，可以從襯底從襯底模型、腐蝕規(guī)則的制定、腐蝕速率、時(shí)間步長(zhǎng)的角度權(quán)衡這兩方面的利弊，對(duì)腐蝕模型進(jìn)行改進(jìn)。

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Study on Simulation Model of Anisotropic Etching of Silicon

YAN Yifeng,FANG Yuming

(School of Electronic Science and Engineering,Nanjing University of Posts and Telecommunications,Nanjing 210023,China)

In order to produce various microstructures on silicon substrate and satisfy the development of MEMS, the simulation model of silicon anisotropic etching has been studied extensively. From the perspective of substrate model, formulation of corrosion rules, corrosion rate, time step,introduces the influence to simulation accuracy and efficiency of simulation of various simulation methods contained in the geometric model and atomic model from these elements,summarizes the application and characteristics of various simulation methods, and provides the direction for putting forward a more optimal solution . Among them, the continuous CA method and the MC method reveal the essence of corrosion. It has high simulation accuracy and strong three-dimensional processing ability, and has been widely used. The atom model algorithm is simple and fast, and it is also applied to the simulation of MEMS with simple structure. All simulation methods can be improved after weighing the pros and cons of accuracy and efficiency.

silicon;anisotropic etching;simulation method;simulation accuracy and simulation efficiency

2017- 06- 25

江蘇省自然科學(xué)基金(BK20131380);南京郵電大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目(XYB2017057)

嚴(yán)一峰(1992-)，男，碩士研究生。研究方向：微機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

TN773

A

1007-7820(2018)02-056-05