基于粗糙集的學生綜合能力判定

馬利民 裴耀祖 白順寶

【摘要】 本文借鑒多屬性多準則粗糙集模型，建立相應的智能計算模型，以準確的判斷學生的綜合能力和興趣點，旨在幫助教師合理地制訂教學方案.

【關鍵詞】 因材施教;學生能力判斷;教學方案制訂;粗糙集理論

一、引 言

在教育教學中，因材施教是一種非常重要的教育手段，若應用合理，能最大限度地挖掘?qū)W生潛力.在實際教學活動中，教師需要有目的、有計劃、有組織地去引導學生積極自覺地學習.若找到學生的智能發(fā)光點，教師和家長應依據(jù)孩子的特點，構(gòu)建相應的學習計劃和課外活動，可激發(fā)學生的學習興趣和潛在的能力.那么如何正確判斷學生的綜合能力，如何找每名學生的興趣點？

1982年，波蘭學者Pawlak提出的粗糙集理論（其英文名為Rough Set），其主要用來研究不精確、不確定以及不完整的數(shù)據(jù)或知識的表達、學習和歸納.自從20世紀80年代末以來，粗糙集在數(shù)據(jù)挖掘、機器學習、模式識別等學科中有了廣泛的應用.

在學生的綜合判斷中可能會用到多種類型的屬性和準則，如性別、成績等，所以本文借鑒多屬性多準則粗糙集模型.其針對決策表屬性集合存在定性屬性、定量屬性、定性準則和定量準則的情況，構(gòu)造知識粒子時需同時考慮四種關系：等價關系，相似關系，支配關系和擬半序關系.由此可以從多屬性多準則粗糙集模型中導出三大類決策規(guī)則.從而得到每名學生相對較好的綜合評價，據(jù)此建立相應的教學計劃.

二、多屬性多準則統(tǒng)計粗糙集模型

定性屬性是屬性值以代表類別的抽象概念或符號形式存在的屬性，定量屬性是屬性值以代表類別的具體概念或基數(shù)形式存在的屬性，定性準則是準則值以代表級別的概念或符號形式存在的準則;定量準則是準則值以序數(shù)形式存在的準則.

用四元組S=<U，A，V，f>表示多準則多屬性決策表，其中，U為論域;A=C∪D，C∩D=，C為條件屬性集合，把C分為C≥，C>，C=，C～，C≥是定性準則集合，C>是定量準則集合，C=是定性屬性集合，C～是定量屬性集合，D為決策屬性集合，且C≥∪C>∪C=∪C～∪D=A;V=∪ a∈A Va，Va為屬性a∈A的屬性值值域;信息函數(shù)f指定U中每一個對象x的屬性值.對于 x∈U，與x存在關系的對象組成的集合稱為x的鄰域，即n（x）={y∈U：xRy}，x的鄰域系統(tǒng)是x鄰域的非空集合，標記為US（x）.概念X U的鄰域系統(tǒng)為US（X）=∪ x∈X n（x）.利用決策準則D可把論域U中的對象分為n個有序決策類Cl1，Cl2，…，Cln，即Cl={Clt，t∈T}，T={1，2，…，n}，并且 u，v∈T，若u>v，則Clu中的元素比Clv中的元素好.

本文針對決策表屬性集合存在定性屬性、定量屬性、定性準則、定量準則的情況，同時用等價關系、相似關系、支配關系、擬半序關系去構(gòu)造知識粒子.

被近似集合為t-上合集Cl≥t=∪ s≥t Cls和t-下合集Cl≤t=∪ s≤t Cls.

對于P C，P仍然可分為P≥，P>，P=，P～，其中，P≥=P∩C≥是用支配關系處理的定性準則集合，P>=P∩C>是用擬半序關系處理的定量準則集合，P==P∩C=是用等價關系處理的定性屬性集合，P～=P∩C～是用相似關系處理的定量屬性集合.P≥，P>，P=，P～需要滿足條件P≥∪P>∪P=∪P～=P且任意兩個子集合的交集為空，即P≥∩P>=且P≥∩P==且P≥∩P～=且P>∩P==且P>∩P～=且P=∩P～=.

x，y∈U， q∈P≥，x定性支配y關于P≥，標記為xDPy; q∈P>，x定量支配y關于P>，標記為xBu1Py，其中u1為定量支配閾值; P P=，x與y無差異關于P=，標記為xIpy; P P～，x相似于y關于P～，標記為xRu2Py，其中u2為相似閾值.由于對象之間的關系由對象之間的屬性值所體現(xiàn)，即

x，y∈U， q∈P≥，xDPy當且僅當f（x，q）≥f（y，q）; q∈P>，xBu1Py.當且僅當 f（x，q）-f（y，q） f（y，q） ≥u1 % ，u1為定量支配閾值; q∈P=，xIpy當且僅當f（x，q）=f（y，q）; q∈P～，xRu2Py當且僅當 |f（y，q）-f（x，q）| f（y，q） ≤u2 % ，u2為相似閾值.

通過分析可知， x，y∈U， q∈P≥，f（x，q）≥f（y，q）表示關于P≥，x定性支配y;f（x，q）=f（y，q）表示關于P≥，x與y無差異;f（x，q）≤f（y，q）表示關于P≥，x被y定性支配.然而， q P>， f（x，q）-f（y，q） f（y，q） ≥u1 % 表示關于P>，x定量支配y; f（y，q）-f（x，q） f（y，q） <u1 % 表示關于P>，x不被y定量支配; |f（x，q）-f（y，q）| f（y，q） <u1 % 表示關于P>，x與y無差異; f（y，q）-f（x，q） f（y，q） ≥u1 % 表示關于P>，x被y定量支配，其中0≤u1≤1是定量支配閾值.若f（y，q）≠0，則：

（1） f（x，q）-f（y，q） f（y，q） ≥u1 % ?f（x，q）≥（1+u1）f（y，q）;

（2） f（y，q）-f（x，q） f（y，q） <u1 % ?f（x，q）>（1-u1）f（y，q）;

（3）? |f（x，q）-f（y，q）| f（y，q） <u1 % ?（1-u1）f（y，q）<f（x，q）<（1+u1）f（y，q）;

（4） f（y，q）-f（x，q） f（y，q） ≥u1 % ?f（x，q）≤（1-u1）f（y，q）.

現(xiàn)在，給出兩個二進制關系，記為MP和M*P，對于 x，y∈U有

xMPy當且僅當 P∈P≥有xDPy， P∈P>有xBu1Py， P P=有xIPy， P P～有yRu2Px.

xM*Py當且僅當 P∈P≥有xDPy， P∈P>有xBu1Py， P P=有xIPy， P P～有xRu2Py.

由MP和M*P產(chǎn)生四類知識表達粒子ML+P（x），MU+P（x），ML-P（x），MU-P（x）：

ML+P（x）={y∈U|yMPx};

MU+P（x）={y∈U|yM*Px};

ML-P（x）={y∈U|xM*Py};

MU-P（x）={y∈U|xMPy}.

定義1 ?若P C，t∈T，則Cl≥t的P-下近似為

P-（Cl≥t）={x∈U|ML+P（x） Cl≥t}. （1）

Cl≥t的P-上近似為

P-（Cl≥t）={x∈Cl≥t|MU+P（x）∩Cl≥t≠}. （2）

Cl≥t的邊界為

BnP（Cl≥t）=P-（Cl≥t）-P-（Cl≥t）. （3）

同理，Cl≤t的P-下近似可以被定義為P-（Cl≤t）={x∈U|ML-P（x） Cl≤t};Cl≤t的P-上近似可以被定義為P-（Cl≤t）={x∈Cl≤t|MU-P（x）∩Cl≤t≠}，Cl≤t的邊界為BnP（Cl≤t）=P-（Cl≤t）-P-（Cl≤t）.

定義2 ?若P C，t∈T，則Cl≥t的近似精度為

P（Cl≥t）= card（P-（Cl≥t）） card（P-（Cl≥t）） . （4）

Cl≤t的近似精度為

P（Cl≤t）= card（P-（Cl≤t）） card（P-（Cl≤t）） . （5）

定義3 ?若P C，t∈T，則決策類集合Cl的近似質(zhì)量為

γP（Cl）= card U- ∪ t∈T BnP（Cl≥t? ∪ ∪ t∈T BnP（Cl≤t）?? card（U） .? （6）

由性質(zhì)3可知：

γp（Cl）= card U- ∪ t∈T Bnp（Cl≥t）??? card（U） = card U- ∪ t∈T Bnp（Cl≤t）??? card（U） .

三、基于粗糙集的學生綜合能力判定系統(tǒng)

學生綜合能力判定系統(tǒng)本質(zhì)是一個分類（或分級）決策系統(tǒng)，其可以歸結(jié)為用一組屬性（或準則）描述的決策對象（或方案）分類（或分級）到預先定義的決策類中.早期主要用統(tǒng)計學的方法來解決，這類方法可以比較好的幫助人們理解分級問題的特征，但它過分依賴某些苛刻的統(tǒng)計假設.隨后，一些學者提出了基于人工智能的分級決策模型，但是假如涉及的系統(tǒng)比較復雜時，這類模型很難找到合適的關系完整的表示出決策模型，并且需要決策者給出一些偏愛信息（這類信息通常以參數(shù)的形式給出，如權(quán)重、閾值、替代率等）.由于決策者的決策行為有時是無意識行為，只是憑著感覺和經(jīng)驗做出判斷或選擇，一般更傾向于給出一些決策例子，而不是將決策行為解釋成關系模型的參數(shù).并且，決策者的猶豫、偏愛等不穩(wěn)定因素會導致出現(xiàn)不協(xié)調(diào)例子，需要在構(gòu)造偏序模型時加以考慮而不能當成噪聲干擾而簡單忽略.所以，出現(xiàn)了從決策者的經(jīng)驗決策數(shù)據(jù)（例子）中導出偏好模型的理論與方法，粗糙集理論提供了從決策例子中導出決策規(guī)則的有效方法.

下表用來說明多屬性多準則決策表，表1的論域U={w1，w2，w3，w4，w5，w6，w7，w8}為一名學生集合，以及6個條件屬性：

A1，性別;

A2，數(shù)學成績;

A3，語文成績;

A4，英語成績;

A5，體育成績;

A6，美術(shù)成績;

1個決策屬性：

D，學生綜合能力.

令C={A1，A2，A3，A4，A5，A6}和D=j5i0abt0b.通過分析可知A1定性屬性，A2，A3，A4是定量準則，A5，A6是定性準則.

從多屬性多準則決策表可以得到上、下近似集合和邊界集合.由定義1，可以得到三大類決策規(guī)則，即M≥決策規(guī)則、M≤決策規(guī)則，M≥≤決策規(guī)則.其中P-（Cl≥t）中的對象支持M≥決策規(guī)則、P-（Cl≤t）中的對象支持M≤決策規(guī)則，P-（Cl≥t）∩P-（Cl≤s）中的對象支持M≥≤決策規(guī)則.

（R1）M≥決策規(guī)則的形式

如果f（x，q1）≥r1并且…f（x，qu）≥ru并且f（x，qu+1）稍大于ru+1并且…f（x，qv）稍大于rv并且f（x，qv+1）=rv+1并且…f（x，qw）=rw并且f（x，qw+1）相似于rw+1并且…f（x，qz）相似于rz，則x∈Cl≥t.

其中：p≥={q1，q2…qu}，P>={qu+1，qu+2…qv}，p=={qv+1，qv+2…qw}，p～={qw+1，qw+2…qz}，并且（r1，r2，r3，…，rz）∈Vq1×Vq1×…×Vqz.

（R2）M≤決策規(guī)則的形式

如果f（x，q1）≤r1并且…f（x，qu）≤ru并且f（x，qu+1）稍小于ru+1并且…f（x，qv）稍小于rv并且f（x，qv+1）=rv+1并且…f（x，qw）=rw并且f（x，qw+1）相似于rw+1并且…f（x，qz）相似于rz，則x∈Cl≤t.

其中：p≥={q1，q2…qu}，P>={qu+1，qu+2…qv}，p=={qv+1，qv+2…qw}，p～={qw+1，qw+2…qz}，并且（r1，r2，r3，…，rz）∈Vq1×Vq1×…×Vqz.

（R3）M≥≤決策規(guī)則的形式

如果f（x，q1）≥r1并且…f（x，qu）≥ru并且f（x，qu+1）≤ ru+1并且…f（x，qv）≤rv并且f（x，qv+1）稍大于rv+1并且…f（x，qt）稍大于rt并且f（x，qt+1）稍小于rt+1并且…f（x，qs）稍小于rs并且f（x，qs+1）=rs+1并且…f（x，qw）=rw并且f（x，qw+1）相似于rw+1并且…f（x，qz）相似于rz，則x∈Cls∪Cls+1∪…∪Clt.

其中：p≥={q1，q2…qu}∪{qu+1，qu+2…qv}，P>={qv+1，qv+2…qt}∪{qt+1，qt+2…qs}，p=={qs+1，qs+2…qw}，p～={qw+1，qw+2…qz}，并且（r1，r2，r3，…，rz）∈Vq1×Vq1×…×Vqz.

根據(jù)上述三大類決策規(guī)則，可以得到每名學生的綜合評價，教師基于此可制訂出適合不同學生的培養(yǎng)計劃和教學方案.

四、結(jié) 論

本文結(jié)合實際需求，為了更好地實施因材施教教學手段，借鑒多屬性多準則粗糙集模型，建立粗糙集的學生綜合能力判定系統(tǒng).

【參考文獻】

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