高等代數(shù)教學(xué)中的重難點(diǎn)分析

李慶

【摘要】 高等代數(shù)是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)的一門(mén)核心基礎(chǔ)課程.由于代數(shù)學(xué)高度的抽象性和一般性加大了高等代數(shù)教學(xué)的難度，因此，本文著重分析了高等代數(shù)教學(xué)過(guò)程中的幾個(gè)重難點(diǎn)，并給出了相應(yīng)的教學(xué)策略.

【關(guān)鍵詞】 高等代數(shù);矩陣;線性空間

【基金項(xiàng)目】 西南民族大學(xué)教學(xué)改革項(xiàng)目（2018JK04）.

高等代數(shù)作為代數(shù)學(xué)的入門(mén)課程，是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)本科生的三門(mén)主要必修基礎(chǔ)課（分析、幾何、代數(shù)）之一.高等代數(shù)的基本任務(wù)是以線性空間這一代數(shù)系統(tǒng)為例來(lái)闡述代數(shù)學(xué)的基本思想和一般性方法[1].高等代數(shù)課程的教學(xué)內(nèi)容看上去似乎是一塊一塊的，不像數(shù)學(xué)分析課程那樣主線明確.實(shí)際上，高等代數(shù)的主線也是明確的：研究線性空間的結(jié)構(gòu)及其線性映射.這是古典代數(shù)學(xué)研究的問(wèn)題（解方程和解方程組）和近世代數(shù)的革命性變革（研究代數(shù)習(xí)題的結(jié)構(gòu)及其態(tài)射）所決定[2].那么，在高等代數(shù)的教學(xué)中該如何貫穿這條主線呢？怎樣讓每個(gè)新的概念和理論順其自然地產(chǎn)生呢？筆者對(duì)高等代數(shù)教學(xué)中的幾個(gè)重難點(diǎn)做了一些分析并給出相應(yīng)的教學(xué)對(duì)策.本文主要以文獻(xiàn)[3]這部教材為例展開(kāi)分析.

一、矩陣和行列式概念的引入方法分析

我們知道在教學(xué)過(guò)程中對(duì)理論的闡述應(yīng)當(dāng)符合人的認(rèn)識(shí)規(guī)律，即由淺入深，從具體到抽象，由形象直觀到理性思維[1].經(jīng)典代數(shù)學(xué)的研究課題是各類代數(shù)方程的求解問(wèn)題，因此，高等代數(shù)的引入也應(yīng)該從解方程問(wèn)題入手，著重解決線性方程組的求解問(wèn)題.通過(guò)分析線性方程組求解過(guò)程中的消元法，即方程之間系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的變化，提煉出消元法的本質(zhì).消元的過(guò)程實(shí)際上就是讓相應(yīng)的未知量的系數(shù)通過(guò)方程之間的加、減或數(shù)乘關(guān)系化為零.于是，我們就可以在消元的解題過(guò)程中不必寫(xiě)出每個(gè)方程的未知量，而只需寫(xiě)出每個(gè)方程的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，并按行排列，同時(shí)方程組中每個(gè)未知量的系數(shù)按列對(duì)應(yīng)整齊，最后一列由常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成，因此，形成一個(gè)按行列排列整齊的一個(gè)矩形數(shù)表，由此我們引出矩陣的概念.同時(shí)，消元法的實(shí)質(zhì)是這個(gè)矩形數(shù)表的行之間的加、減或數(shù)乘關(guān)系，由此引出矩陣的初等行變換的概念.消元法解線性方程組的過(guò)程本質(zhì)上就是對(duì)它對(duì)應(yīng)的這個(gè)矩陣（簡(jiǎn)稱為增廣矩陣）實(shí)施初等行變換的過(guò)程.那么，變換到哪一步停止呢？此時(shí)，通過(guò)方程組的階梯形狀，引出階梯形矩陣的概念.這樣就給出了以矩陣?yán)碚摰乃季S來(lái)解決線性方程組求解問(wèn)題，引出高斯-約當(dāng)算法.這樣的教學(xué)過(guò)程讓學(xué)生從熟悉的解線性方程組入手，呈現(xiàn)出通過(guò)現(xiàn)象抓住本質(zhì)的過(guò)程.

另外，在討論線性方程組無(wú)窮多解之間的關(guān)系時(shí)，引導(dǎo)出向量空間的基本理論，比如，向量組的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān).此外，針對(duì)一類特殊的線性方程組，即方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相等的線性方程組的求解除了高斯-約當(dāng)算法外，能否直接通過(guò)該方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)直接判斷其解呢？由此引入行列式這一記憶符號(hào).應(yīng)特別注意，行列式的引入一開(kāi)始是作為符號(hào)方便記憶建立起來(lái)的.由2階行列式到3階行列式，再猜測(cè)并建立n階行列式的概念，產(chǎn)生行列式理論.因此，這樣的教學(xué)過(guò)程讓學(xué)生以中學(xué)代數(shù)知識(shí)（即經(jīng)典代數(shù)學(xué)中方程的求解問(wèn)題）為出發(fā)點(diǎn)將其逐步引導(dǎo)到現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的基本研究對(duì)象上來(lái).具體來(lái)說(shuō)，就是從研究線性方程理論入手，引導(dǎo)出向量空間和矩陣的基本理論.

二、抓住矩陣乘法運(yùn)算與矩陣初等變換之間的關(guān)系的應(yīng)用

在高等代數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，矩陣的乘法運(yùn)算與其初等變換之間關(guān)系密切，即對(duì)一個(gè)矩陣實(shí)施一次初等行（列）變換將相當(dāng)于在這個(gè)矩陣的左（右）邊乘一個(gè)相應(yīng)的初等矩陣.在這一理論中，初等矩陣起著重要的橋梁作用，同時(shí)也在后面的矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用中有著重要的地位.因此，首先讓學(xué)生透徹理解初等矩陣的概念，特別是三類初等變換與三類初等矩陣之間的對(duì)應(yīng)，要注意初等行變換和初等列變換對(duì)應(yīng)的三類初等矩陣的記號(hào)不能混淆.例如，文獻(xiàn)[3]中第187頁(yè)和第188頁(yè)，無(wú)論是通過(guò)初等行變換形成的初等矩陣還是初等列變換形成的初等矩陣，這些初等矩陣的記號(hào)分別是 P （i，j）， P （i（k））， P （i，j（k））.前兩類初等矩陣都是表示一個(gè)單位矩陣通過(guò)交換第i，j兩行（或兩列）形成的初等矩陣 P （i，j），以及一個(gè)單位矩陣通過(guò)第i行（或列）乘數(shù)k形成的初等矩陣 P （i（k））.而第三類初等矩陣 P （i，j（k））這個(gè)記號(hào)對(duì)應(yīng)的初等行變換和初等列變換在描述上有一點(diǎn)差異. P （i，j（k））表示為一個(gè)單位矩陣通過(guò)第i行加上第j行的k倍形成的初等矩陣，或一個(gè)單位矩陣通過(guò)第j列加上第i列的k倍形成的初等矩陣.因此，在這個(gè)教學(xué)過(guò)程中需要讓學(xué)生通過(guò)這些符號(hào)明白其背后隱藏的初等變換.

此外，矩陣的乘法運(yùn)算和它的初等變換的關(guān)系在矩陣的逆矩陣的求法和二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形中的合同變換法中起到重要的作用.在文獻(xiàn)[3]中第五章的第二節(jié)中著重提到了用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.在該教材的第219頁(yè)例2主要根據(jù)例1配方的過(guò)程寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的矩陣形式.自然需要思考，如果不用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，該如何利用直接矩陣?yán)碚搶?shí)現(xiàn)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的過(guò)程呢？在文獻(xiàn)[3]中第219頁(yè)例2解答中，一開(kāi)始就給出一個(gè)線性替換的系數(shù)矩陣.如果沒(méi)有文獻(xiàn)[3]中第214頁(yè)例1的解答過(guò)程，這樣很容易讓初學(xué)者摸不著頭腦.實(shí)際上它把合同變換的每一個(gè)過(guò)程用矩陣形式表達(dá)出來(lái)，但是對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)是不容易理解的.因此，在這個(gè)教學(xué)過(guò)程中教師要著重強(qiáng)調(diào)矩陣的乘法運(yùn)算和它的初等變換的關(guān)系在這里的應(yīng)用，也就是通常所說(shuō)的合同變換法.下面以文獻(xiàn)[3]中第219頁(yè)例2為例，不同于該例的解答過(guò)程，筆者利用矩陣的合同變換法來(lái)解答.

例? [3] 化二次型f（x1，x2，x3）=2x1x2+2x1x3-6x2x3成標(biāo)準(zhǔn)形.

解 ?二次型矩陣 A =? 0 1 1 1 0 -3 1 -3 0? ，

構(gòu)造矩陣

A ??E??? ??對(duì) A 子塊實(shí)施初等行變換，再對(duì)?? A ??E?? 實(shí)施相應(yīng)的初等列變換 ?????Λ ??C

注：當(dāng) A 對(duì)應(yīng)的子塊是對(duì)角陣，就可以停止計(jì)算，而下面的矩陣 C 就是所做的非退化的線性替換? x1 x2 x3? = C?? y1 y2 y3? 的系數(shù)矩陣.

A ??E?? =? 0 1 1 1 0 -3 1 -3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1?? r1+r2? ??1 1 -2 1 0 -3 1 -3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

c1+c2 ??2 1 -2 1 0 -3 -2 -3 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1

r2+r1× - 1 2? ，r3+r1

2 1 -2 0 - 1 2? -2 0 -2 -2 1 0 0 0 1 0 0 0 1??? c2+c1× - 1 2? ，c3+c1 ??2 0 0 0 - 1 2? -2 0 -2 -2 1 - 1 2? 1 0 1 0 0 0 1

r3+r2×（-4）? ??2 0 0 0 - 1 2? -2 0 0 6 1 - 1 2? 1 0 1 0 0 0 1??? c3+c2×（-4）

2 0 0 0 - 1 2? 0 0 0 6 1 - 1 2? 3 0 1 -4 0 0 1? ?.

故令非退化的線性替換? x1 x2 x3? =? 1 - 1 2? 3 0 1 -4 0 0 1??? y1 y2 y3? ，

從而二次型f=2y21- 1 2 y22+6y23.

這個(gè)解答過(guò)程進(jìn)一步體現(xiàn)了矩陣的乘法運(yùn)算和初等變換之間的關(guān)系.

三、理解線性空間的概念，實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的過(guò)渡

線性空間概念的引入，意味著數(shù)學(xué)從經(jīng)典代數(shù)學(xué)向近代的代數(shù)學(xué)邁出了關(guān)鍵性的一步，已經(jīng)擺脫了數(shù)及其四則運(yùn)算的局限性，進(jìn)入了一類不是由普通的數(shù)構(gòu)成的集合.在這個(gè)集合中給出了不同于普通數(shù)的兩種新的運(yùn)算，意味著研究對(duì)象從具體上升到了抽象.數(shù)學(xué)作為一門(mén)科學(xué)，它的任務(wù)就是要從感性上升到理性，從具體上升到抽象，只有這樣，才有理論上的實(shí)質(zhì)性進(jìn)展，我們對(duì)該理論的認(rèn)識(shí)才能深入，該理論的應(yīng)用領(lǐng)域才能更加寬廣[1].之前我們單獨(dú)研究多項(xiàng)式、研究矩陣、研究連續(xù)函數(shù)等，直到線性空間的產(chǎn)生，使得這些具體的研究對(duì)象，都可以統(tǒng)一到線性空間中去研究.特別在線性空間的概念的引入過(guò)程中，教師需要向?qū)W生充分展示數(shù)學(xué)思維方式的全過(guò)程，即觀察客觀現(xiàn)象，從具體的研究對(duì)象出發(fā)，抓住它們的主要特征，抽象出概念，或者建立數(shù)學(xué)模型.這樣讓學(xué)生不僅了解什么是線性空間，更讓學(xué)生從中受到數(shù)學(xué)思維方式的熏陶和訓(xùn)練.另外，在文獻(xiàn)[3]中第六章線性空間的最后一節(jié)為何會(huì)提到同構(gòu)映射呢？實(shí)際上通過(guò)同構(gòu)映射又將抽象的線性空間轉(zhuǎn)化到具體的有序數(shù)組構(gòu)成的向量空間中，使得線性空間中抽象的向量可以用坐標(biāo)這樣的有序數(shù)組來(lái)表示，又實(shí)現(xiàn)了從抽象到具體的一個(gè)思維過(guò)程.事實(shí)上，從具體到抽象，再?gòu)某橄蟮骄唧w，這樣循環(huán)下去，就是一個(gè)基本的代數(shù)研究方法.此外，同構(gòu)映射的提出也為高等代數(shù)后面研究線性映射埋下了鋪墊.

四、小 結(jié)

本文筆者從高等代數(shù)的教材中提取了一些重難點(diǎn)來(lái)分析，同時(shí)給出在教學(xué)過(guò)程中相應(yīng)的教學(xué)策略.總體而言，高等代數(shù)的教學(xué)過(guò)程中需注重“觀察—抽象—探索—猜測(cè)—論證”的思維方式[2]，使學(xué)生感受到從具體到抽象，再?gòu)某橄蟮骄唧w的循環(huán)的研究過(guò)程，使學(xué)生從中受到數(shù)學(xué)思維方式的熏陶.

【參考文獻(xiàn)】

[1]藍(lán)以中.高等代數(shù)簡(jiǎn)明教程（上、下冊(cè)）[M].北京：北京大學(xué)出版社，2013.

[2]邱維聲.高等代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2014.

[3]王萼芳，石生明.高等代數(shù)：第4版[M].北京：高等教育出版社，2013.