構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

賈一鳴

摘 要：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、向量、方程、不等式、圖形、二項(xiàng)式等，可以把很多原本難以解決的數(shù)學(xué)題，轉(zhuǎn)化為比較容易解決的問(wèn)題。構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的地位越來(lái)越重要，是創(chuàng)新解題的一種重要表現(xiàn)。利用構(gòu)造法可以創(chuàng)新解題思路，找到困難問(wèn)題解題的突破口，通過(guò)總結(jié)做題方法，逐步提升高中數(shù)學(xué)的解題能力與認(rèn)知水平。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法；高中數(shù)學(xué)；解題；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9132（2018）01-0094-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.01.059

一、構(gòu)造法的定義

所謂構(gòu)造法，就是根據(jù)題設(shè)條件、特點(diǎn)，用另外的角度理解，轉(zhuǎn)化為其他易于解題的形式，從而順利解決原來(lái)的問(wèn)題的方法。一般來(lái)講，原問(wèn)題的條件之間關(guān)系比較隱含，需要轉(zhuǎn)化為新構(gòu)造的條件比較顯化的問(wèn)題，可以應(yīng)用構(gòu)造法進(jìn)行解題。

二、構(gòu)造法的來(lái)歷

我國(guó)三世紀(jì)的數(shù)學(xué)家劉徽為了研究球的體積公式，構(gòu)造了“牟合方蓋”，但他當(dāng)時(shí)還沒(méi)有求出來(lái)。二百多年后數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子祖暅提出“冪勢(shì)既同，則積不容異”，利用構(gòu)造法求出了半球的體積公式，從而得出了球的體積公式，這是古代中國(guó)數(shù)學(xué)的輝煌成就。直到1635年，意大利數(shù)學(xué)家卡發(fā)雷利出版的《連續(xù)不可分幾何》中，提出了等積原理，所以西方人把它稱之為卡發(fā)雷利原理，其實(shí)他的發(fā)現(xiàn)要比我國(guó)的祖暅至少晚1100多年。

近代構(gòu)造法的系統(tǒng)創(chuàng)立者是布勞威，他完整地從哲學(xué)和數(shù)學(xué)兩方面發(fā)展了“存在必須被構(gòu)造”的觀點(diǎn)。我國(guó)當(dāng)代數(shù)學(xué)家吳文俊曾說(shuō)過(guò)“我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在從問(wèn)題出發(fā)、以解決問(wèn)題為宗旨的發(fā)展過(guò)程中建立了以構(gòu)造性與機(jī)械化為其特色的算法體系，這與西方數(shù)學(xué)以歐幾里得《幾何原本》為代表的所謂公理化演繹體系正好遙遙相對(duì)”。

三、構(gòu)造法的在解題中的應(yīng)用

（一）構(gòu)造圖形求四面體的體積

例1 求棱長(zhǎng)分別為4、5、6的四面體的體積。

分析：直接計(jì)算或利用坐標(biāo)計(jì)算都比較困難，改用構(gòu)造法。

解：構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，設(shè)棱長(zhǎng)分別為，根據(jù)題意

構(gòu)造特值函數(shù)的關(guān)鍵是使分散的函數(shù)關(guān)系、條件集中轉(zhuǎn)化為某個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，向著有利于判斷不等式的方向發(fā)展。

（四）構(gòu)造等式求數(shù)列的和

例4 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=n2，求此數(shù)列的前n項(xiàng)的和Sn。

解：Sn=12+22+32+…+n2，

構(gòu)造等式（n+1）3=n3+3n2+3n+1

作差（n+1）3-n3=3n2+3n+1

n3-（n-1）3=3（n-1）2+3（n-1）+1

33-23=3·22+3·2+1

23-13=3·12+3·1+1

上述各式相加，得

構(gòu)造向量的關(guān)鍵是使a與b都是常數(shù)。

（六）構(gòu)造復(fù)數(shù)二項(xiàng)式求若干項(xiàng)的和

例6 設(shè)（x+1）2017=a0x2017+a1x2016+a2x2015+…+a2016x+a2017，

那么a1+a5+a9+…+a2017的值為___________。

解：利用復(fù)數(shù)的特點(diǎn)構(gòu)造二項(xiàng)式。

令x=i，得（i+1）2017=（a1-a3+a5-a7+…+a2017）+（a0-a2+a4-a6+…+a2016）i

又（i+1）2017=（i+1）4×504+1=[（i+1）4]504·（i+1）=（-4）504·（i+1）=21008+21008i

所以a1-a3+a5-a7+…+a2017= 21008 ①

令x=1，得a0+a1+a2+a3+…+a2017= 22017 ②

令x=-1，得 -a0+a1-a2+a3+…+a2017=0 ③

②+③，得a1+a3+a5+…+a2017= 22016 ④

①+④，得 a1+a5+a9+…+a2017= 22015+21007

所以a1+a5+a9+…+a2017的值為22015+21007。

（七）構(gòu)造三角恒等式求sin18°的值

例7 求sin18°的值

解：構(gòu)造恒等式cos 54°=sin36°

即cos36°cos18°-sin36°sin18°=2sin18° cos18°

化簡(jiǎn)，得4sin218°+2sin18°-1=0

解得， sin18°（另一根為負(fù)值，不符合題意，舍去）

參考文獻(xiàn)：

[1] 余江兵，嚴(yán)鎮(zhèn)軍.構(gòu)造法解題[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1992.

[2] 馮躍峰.研究特例 發(fā)現(xiàn)構(gòu)造[J].中等數(shù)學(xué)，2009（2）.endprint