淺議樣本空間的“分割”及其應(yīng)用

陳卓

摘 要：樣本空間的分割又稱為完備事件群，是本科“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程中提出的一個概念，在高中概率教學(xué)中并沒有引進，但是它對于解釋離散型隨機變量的一些概念與性質(zhì)起著至關(guān)重要的作用，因此教師可以將完備事件群在高中概率教學(xué)與解題中進行簡單應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：完備事件群；全概率公式；貝葉斯公式

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2018）01-0033-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.01.019

完備事件群，又稱為對樣本空間的劃分，是本科“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程中的一個基本概念，它的定義并不復(fù)雜，非常好理解，一般出現(xiàn)在“條件概率”與“事件的獨立性”兩個知識點的學(xué)習(xí)之間，而這兩部分內(nèi)容都包含在高中理科數(shù)學(xué)選修2-3中，但是由于高中階段對概率的學(xué)習(xí)比較粗淺，對于條件概率這一部分的內(nèi)容并沒有進行更深入地學(xué)習(xí)，沒有學(xué)習(xí)全概率公式和貝葉斯公式，因此對“樣本空間的劃分”這一概念沒有提及，這對學(xué)生學(xué)習(xí)概率知識造成了一些困惑。因此，我在教學(xué)過程中，嘗試將這一內(nèi)容進行簡單補充并加以應(yīng)用。

一、相關(guān)概念

（一）完備事件群（樣本空間的劃分）的定義

定義：設(shè)Ω為試驗E的樣本空間，B1，B2，…，Bn為E的一組事件。若（i）Bi ∩ Bj=Φ，i≠j，i，j=1，2，…，n；（ii）B1 U B2 U…UBn=Ω。則稱B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一個劃分。

（二）常見完備事件群舉例

將樣本空間進行劃分，在概率模型中比較常見。例如，所有的基本事件可形成對樣本空間的一個劃分。在擲一枚質(zhì)地均勻骰子的實驗中，分別以B1，B2，…，B6表示擲出點數(shù)為1，2，…，6，則所有基本事件B1，B2，…，B6滿足定義中的兩個基本條件，能對樣本空間Ω構(gòu)成一個劃分。

二、對離散型隨機變量的深化理解

教材對離散型隨機變量的定義為：所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量。其分布列可用表格直觀地表示如下：

2.對離散型隨機變量正則性的理解

可見，利用完備事件群的概念，可對離散型隨機變量的正則性進行非常嚴密的論證，并且易于學(xué)生理解。

三、全概率公式與貝葉斯公式

高中數(shù)學(xué)教材在學(xué)習(xí)條件概率后，并沒有將乘法公式進行定義，但在“事件的相互獨立性”的學(xué)習(xí)中簡單提及了一下：

P（AB）=P（A）P（B|A）

該公式其實就是對條件概率的定義式進行簡單地移項，但是基于它，我們可以引申出概率論中非常重要、難度較大的兩個概念：全概率公式與貝葉斯公式。

（一）相關(guān)概念與公式

定理：設(shè)實驗的樣本空間為Ω，A為E的事件，B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一個劃分，且P（Bi）>0（i=1，2，…，n），則P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+…+P（A|Bn）P（Bn）

該式稱為全概率公式。

在很多實際問題中不易直接求得P（A），但卻容易找到Ω的一個劃分B1，B2，…，Bn，且P（Bi）和P（A|Bi）或為已知，或容易求得，那么就可以根據(jù)全概率公式求出P（A）。

證明：因為

A=AΩ=A（B1U B2U…UBn）=AB1U AB2U…U ABn，由假設(shè)P（Bi）>0（i=1，2，…，n），且（ABi）（ABj）=Φ，，i≠j，，i，j=1，2，…，n得到

P（A）=P（AB1）+P（AB2）+…+P（ABn）

=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+…+P（A|Bn）P（Bn）

另一個重要公式是下述的貝葉斯公式。

定理：設(shè)實驗的樣本空間為Ω。A為E的事件，B1，B2，…，Bn，為Ω的一個劃分，且P（A）>0，P（Bi）>0（i=1，2，…，n，則

（二）應(yīng)用

這兩個公式，尤其是貝葉斯公式，形式較復(fù)雜，理解難度較大，在高考題中幾乎沒有出現(xiàn)過，我也只在一本教輔資料上見過一題，現(xiàn)作為例題來研究一下這兩個公式的簡單應(yīng)用。

例：已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，從100位男人和100位女人中任選一人。

（1） 求此人患色盲的概率；

（2）如果此人是色盲，求此人是男人的概率。

這是對上述公式的一個典型應(yīng)用，第一問是全概率公式問題，第二問是貝葉斯公式問題。原書中對該題采用的是古典概型計數(shù)原理來求解，學(xué)生對解答并不是太了解，現(xiàn)在我利用全概率公式與貝葉斯公式對該題進行簡單解析。

解：設(shè)A1為事件“選出的人為男人”，A2為事件“選出的人為女人”，B表示事件“選出的人為色盲”。易知A1，A2是樣本空間Ω的一個劃分，且有P（A1）=P（A2）=0.5，P（B|A1）=5%，P（B|A2）=0.25%。

四、在教學(xué)過程中的補充建議

完備事件群的定義并不復(fù)雜，在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中進行穿插導(dǎo)入即可，具體而言，理科生在學(xué)習(xí)選修2-3第二章第一節(jié)第一課時“離散型隨機變量及其分布列”之前，在學(xué)習(xí)完離散型隨機變量的分布列可補充完備事件群的概念，然后利用它加深對其定義的理解，并解釋其正則性。

在學(xué)習(xí)完第二章第二節(jié)第一課時“條件概率”后，建議補充乘法公式并進行應(yīng)用，全概率公式和貝葉斯公式在高中階段一般不會出現(xiàn)，但對學(xué)有余力或進行數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生可適當加以嘗試和練習(xí)，一方面能培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴密性，另一方面對學(xué)生進入大學(xué)進一步學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程也是大有裨益的。

參考文獻：

[1] 盛驟.概率論與數(shù)理統(tǒng)計：第三版[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2] 侯新虎.新課標下高中數(shù)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)[J].成才之路，2011（26）.

[3] 魯西湖.高中數(shù)學(xué)新課程教學(xué)中的幾個問題[J].新課程學(xué)習(xí)（中），2012（5）：112.

[4] 茆詩松，周紀薌.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（第三版）習(xí)題與解答[M].北京：中國統(tǒng)計出版社，2008.endprint