例談離心率的基本題型及求解策略

☉江蘇省南京市第一中學(xué) 李毓涵

例談離心率的基本題型及求解策略

☉江蘇省南京市第一中學(xué) 李毓涵

求橢圓與雙曲線離心率問題是高考中的熱點，構(gòu)造不等式或等式是核心問題，而求離心率的取值范圍是解析幾何中的一類典型問題.這類問題的求解過程中往往涉及多個知識點，綜合性強(qiáng)，方法也多種多樣.本文通過幾例，給出求解這類問題的幾種思維策略.

一、根據(jù)所給圓錐曲線求離心率的取值范圍

例1 已知F（-c，0），F(xiàn)（c，0）為橢圓（a＞b＞0）的兩個焦點，P為橢圓上一點，且則此橢圓離心率的取值范圍為________.

策略一（數(shù)形結(jié)合）：設(shè)P的坐標(biāo)為（x0，y0），由，得又因為P在橢圓上，得聯(lián)立

策略二（轉(zhuǎn)化為點P坐標(biāo)）：設(shè)P的坐標(biāo)為（x0，y0），由，得.將代入橢圓方程由

策略三（三角代換）：P在橢圓上，于是可設(shè)P的坐標(biāo)為（a c o s θ，b s i n θ），代入得由

策略四（運用焦半徑）：設(shè)∠F1P F2=α，由焦半徑公式得|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0，由余弦定理得得從而解出由

策略五（運用均值不等式）：由余弦定理得cosα=c2，代入上式得.由橢圓定義得|PF1|+|PF2|=2a，根據(jù)均值不等式得a2≤3c2.又因為|PF1||PF2|≤a2-c2，即c2≤a2-c2，2c2≤a2，

例2設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，如果橢圓上存在點P，使∠F1PF2=90°，求離心率e的取值范圍.

策略一（利用曲線中x的范圍）：設(shè)P（x，y），又知F（1-c，0），F(xiàn)（2c，0），則

由∠F1PF2=90°，得，即（x+c，y）·（x-c，y）=0，得x2+y2=c2.

上述解法其實是將點P的軌跡方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立方程組，求出點P的橫坐標(biāo)后，利用橢圓中橫坐標(biāo)的取值范圍，建立起a、b、c的不等式，進(jìn)而求出離心率e的取值范圍.

策略二（利用二次方程根的判別式）：設(shè)r2，由橢圓定義知.又知，得所以r1，r2是方程2b2=0的兩個實數(shù)根，因此得e=，所以

利用橢圓定義和勾股定理，得到焦半徑r1，r2是關(guān)于方程x2-2ax+2b2=0的兩個實根后，再利用一元二次方程根的判別式，建立起a、b的不等式，是本解法的關(guān)鍵.判別式法是高中數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常采用的方法.

策略三（利用三角函數(shù)有界性）：記由正弦定理知，即

上述解法中先利用橢圓定義和正弦定理，將離心率轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式，再利用三角恒等變形和三角函數(shù)的有界性，求得離心率e的取值范圍，考查的知識點較為全面.

策略四（利用焦半徑公式）：設(shè)y），由焦半徑公式得r1=a+ex，r2=a+ex.由勾股定理得得又P點在橢圓上，且x≠±a，所以

策略五（利用基本不等式）：設(shè)由橢圓定義，有r1+r2=2a，而r1+r2=2a，平方后得

又∠F1PF2=90°知所以于是所以又0＜e＜1，所以

上述解法利用基本不等式建立起a、c的不等關(guān)系，使本題的解法變得更加簡捷.基本不等式法在求圓錐曲線的取值范圍中經(jīng)常會用到，同學(xué)們要加以重視.

策略六（利用圖形的幾何特性）：由∠F1PF2=90°知，點P在以原點為圓心，|F1F2|=2c為直徑的圓上.

又點P在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點，故有c≥b，所以c2≥b2，即c2≥a2-c2，2c2≥a2，所以

本解法巧妙借助圖形的幾何特性，利用數(shù)形結(jié)合，迅速找出了b、c的不等關(guān)系，進(jìn)而求出離心率e的取值范圍.

通過兩例常見解題策略的闡述，提示我們在求解圓錐曲線離心離的取值范圍時，關(guān)鍵在于根據(jù)圓錐曲線的定義、性質(zhì)以及圖形的幾何特征，充分挖掘題中隱含條件，建立起關(guān)于a、b、c的不等式關(guān)系，進(jìn)而求出離心離的取值范圍.

二、根據(jù)題目條件中已知參數(shù)的范圍求離心率的取值范圍

例3橢圓的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且過F2的直線交橢圓于P，Q兩點，且PQ⊥PF1.若|PQ|=λ|PF1|，且，試確定橢圓離心率的取值范圍.

分析：本題原解計算量很大，而且用到利用導(dǎo)數(shù)求范圍，學(xué)生很難算對，下面可以通過整體換元求范圍，關(guān)鍵還是如何構(gòu)造不等式求橢圓離心率的取值范圍.

解：時單調(diào)遞減，所以，，聯(lián)立得將代入，得，解得得