例談直線(xiàn)與圓中的最值問(wèn)題

☉江蘇省江陰市第二中學(xué) 張志剛

例談直線(xiàn)與圓中的最值問(wèn)題

☉江蘇省江陰市第二中學(xué) 張志剛

直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是高中數(shù)學(xué)一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，題型也千變?nèi)f化.最值是數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)中最具挑戰(zhàn)性的問(wèn)題.高考命題者對(duì)直線(xiàn)與圓知識(shí)中的最值問(wèn)題常常是情有獨(dú)鐘，這種導(dǎo)向性使得該知識(shí)成為教學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn).從問(wèn)題解決的思路來(lái)看，學(xué)生要想順利地解決此類(lèi)問(wèn)題，需要綜合運(yùn)用幾何與代數(shù)的相關(guān)知識(shí)與方法，以及數(shù)形結(jié)合等思想，并在此過(guò)程中尋找到解決最值問(wèn)題的方法.本文通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，枚舉幾例直線(xiàn)與圓中的最值問(wèn)題，以供參考.

一、直線(xiàn)與圓相交構(gòu)成的三角形面積最值

最值問(wèn)題中有一類(lèi)基本題型，就是一條直線(xiàn)與圓相交時(shí)所形成的兩個(gè)交點(diǎn)與圓心可以構(gòu)成一個(gè)三角形，由于直線(xiàn)的動(dòng)態(tài)性，所以該三角形的面積就存在一個(gè)最值.在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在遇到此類(lèi)問(wèn)題時(shí)思維常常是混亂的.來(lái)看一個(gè)例子：

例1 平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)P（-3，4），圓C：（x+1）2+y2=4.過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l與圓相交于A，B兩點(diǎn)，求△ABC面積的最大值.

解法1：顯然直線(xiàn)l的斜率存在且不為零.設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，方程為kx-y+3k+4=0.

圖1

接下來(lái)求出此函數(shù)的最大值（此略）.

解法2：顯然直線(xiàn)l的斜率存在且不為零.設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，方程為y=k（x+3）+4.圓心C（-1，0）到直線(xiàn)l的距離

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則

接來(lái)下求出此函數(shù)的最大值（.以下略）

解法3：如圖1所示，當(dāng)且僅當(dāng)∠ACB=90°時(shí)取等號(hào).

故△ABC面積的最大值為2.

比較三種方法，顯然第三種簡(jiǎn)潔方便.

二、由切線(xiàn)構(gòu)成的四邊形面積最值

例2 已知P是直線(xiàn)l：3x-4y+11=0上動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線(xiàn)，A，B為切點(diǎn)，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值為_(kāi)______.

解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-1）2+（y-1）2=1，圓心（1，1），r=1，如圖2.

圖2

故當(dāng)|PC|最小值，SPACB最小.

分析：在計(jì)算中我們選擇已知的信息量大的，便于計(jì)算.

解法1：

當(dāng)∠AOB=90°時(shí)，三角形面積最大.

這就轉(zhuǎn)化成了我們所熟悉的問(wèn)題.

圖3

解法2：設(shè)直線(xiàn)l的傾斜角為α，

轉(zhuǎn)化與化歸思想是重要的數(shù)學(xué)思想.本題中將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化成計(jì)算圓的弦長(zhǎng)、弦心距，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離使問(wèn)題迎刃而解，更好地提高學(xué)生的解題能力.

三、根據(jù)線(xiàn)性規(guī)劃思想求的最值問(wèn)題

根據(jù)所求代數(shù)式結(jié)構(gòu)，考查它的幾何意義，數(shù)形結(jié)合思想，以及線(xiàn)性規(guī)劃思想的體現(xiàn).

例4 已知P（x，y）是圓（x+2）2+y2=1上任一點(diǎn).

（2）求3x+4y的最值.

解：（1）如圖4，設(shè)A（1，2），則直線(xiàn)PA的斜率即kx-y-k+2=0.

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)（相交或相切）時(shí)k的范圍，利用直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系求解.

圖4

圖5

（2） 如 圖 5， 令 z=3x+4y， 即 3x+4y-z=0

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)（相交或相切）時(shí)z的范圍，利用直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系求解.

故3x+4y∈［-11，1］

例5 x，y滿(mǎn)足x+2y-5=0，求（x+1）2+（y+1）2的最小值.

解法1：設(shè)，d表示P（x，y）與Q（-1，-1）連線(xiàn)的距離.

圖6

解法2：令（x+1）2+（y+1）2=r2表示以Q（-1，-1）為圓心，r為半徑的圓，r2最小，即r最小，此時(shí)直線(xiàn)與圓相切

當(dāng)然除了上述與幾何圖形結(jié)合，利用幾何性質(zhì)及位置關(guān)系，求取最值方法外，還有一些代數(shù)方法，如函數(shù)法、重要不等式法等.

如例5中，x+2y-5=0，則x=5-2y，（x+1）2+（y+1）2=（6-2y）2+（y+1）2=5y2-22y+37

代換消元整理成一元二次函數(shù)，利用二次函數(shù)解決最值.

總之，應(yīng)給學(xué)生思考空間，引導(dǎo)其思考，幫助其分析，指導(dǎo)其歸納總結(jié)，并在平時(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練，強(qiáng)化運(yùn)用.

在直線(xiàn)與圓中，?？嫉淖钪祮?wèn)題有：圓外一定點(diǎn)與圓上一動(dòng)點(diǎn)間的距離；直線(xiàn)與圓相離，圓上點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；直線(xiàn)與圓相離，過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)的計(jì)算；過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的弦長(zhǎng)的范圍；兩圓相離，兩圓上動(dòng)點(diǎn)間的距離.需要學(xué)生準(zhǔn)確理解已知量、待求量的幾何意義，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，涉及切線(xiàn)長(zhǎng)的最值時(shí)，注意切線(xiàn)長(zhǎng)、半徑、圓心與切線(xiàn)另一端點(diǎn)連線(xiàn)能構(gòu)成直角三角形，涉及弦長(zhǎng)時(shí)，半徑、弦心距、弦長(zhǎng)一半，構(gòu)成直角三角形；與圓有關(guān)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，特別關(guān)注圓的圓心、半徑，這兩個(gè)基本幾何屬性與其他點(diǎn)、線(xiàn)產(chǎn)生聯(lián)系.

四、結(jié)束語(yǔ)

高中數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)關(guān)鍵在于抓住問(wèn)題的本質(zhì).數(shù)學(xué)解題講究入乎其內(nèi)、出乎其外，學(xué)生需要從豐富的題境中尋找有效條件，體會(huì)題目的內(nèi)涵與命題者所要考查的意圖.日常的習(xí)題教學(xué)中，教師要超越試題本身，要從方法的角度培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，這樣學(xué)生才能清楚地看到題目的本質(zhì)，從而對(duì)一類(lèi)題型形成規(guī)律性認(rèn)識(shí).

同時(shí)，高中數(shù)學(xué)解題中，教師還需要重點(diǎn)進(jìn)行基于學(xué)生可能思路的解題設(shè)計(jì)，學(xué)生在解題的過(guò)程中要獲得的不僅是解題能力，還要落實(shí)核心素養(yǎng).尤其是學(xué)生與學(xué)生之間的交流，常常是學(xué)生解題思路得以提升的重要階梯，教師要善于通過(guò)學(xué)生的發(fā)言，總結(jié)出一些學(xué)生認(rèn)知中的規(guī)律性認(rèn)識(shí)，進(jìn)而上升為清晰的解題思路，這樣學(xué)生在學(xué)習(xí)中往往可以更有成就感.