基于多想少算的數(shù)學(xué)解題策略*

☉四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院 李雪梅

☉內(nèi) 江 師 范 學(xué) 院 趙思林

基于多想少算的數(shù)學(xué)解題策略*

☉四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院 李雪梅

☉內(nèi) 江 師 范 學(xué) 院 趙思林

《數(shù)學(xué)考試大綱》要求學(xué)生的運(yùn)算能力會(huì)根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問(wèn)題的條件，尋找與設(shè)計(jì)合理的、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)的解題訓(xùn)練中要努力選取合理的方法，尋找簡(jiǎn)捷的途徑，減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，從而達(dá)到多想少算的效果.數(shù)學(xué)作為思維的科學(xué)，更應(yīng)“多動(dòng)腦”，即“多想少算”.［1］這里，“多想”是多做有價(jià)值的多向、多面、多次之想，“少算”是少做盲目、繁雜、低效之算.高考數(shù)學(xué)命題將“多考點(diǎn)想，少考點(diǎn)算”作為一條基本的命題理念，在近年的高考試題中得到了充分的體現(xiàn).多想少算作為解高考數(shù)學(xué)題的基本策略，其具體的思維策略有很多，比如：代換策略、類(lèi)比策略、運(yùn)用定義策略、數(shù)學(xué)思想策略、分離參數(shù)策略、聯(lián)想策略、逆向思維策略、猜想策略、極限策略、基本量策略等.

一、代換策略

在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，把其中某個(gè)代數(shù)式看成一個(gè)整體，用一個(gè)新變量作代換，從而使問(wèn)題的解答便于進(jìn)行，這種方法叫做代換法.代換法既是一種重要的解題方法，也蘊(yùn)含有豐富的解題技巧，其應(yīng)用目的是把復(fù)雜的結(jié)構(gòu)形式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)形式，把隱含的條件顯露處理，把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，化陌生為熟悉.在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，應(yīng)根據(jù)所給問(wèn)題的特點(diǎn)，靈活選取適當(dāng)?shù)拇鷵Q方法，從而提高解題能力.

例1（2017年高考全國(guó)卷Ⅱ理23題）已知a＞0，b＞0，a2+b2=2，證明：

（1）（a+b）（a3+b3）≥4；

（2）a+b≤2.

證明：（1）因?yàn)閍＞0，b＞0，a2+b2=2，所以（a+b）（a3+b3）=（a+b）2（a2+b2-ab）=（a2+b2+2ab）（a2+b2-ab）=（2+2ab）（2-ab）=-2（ab）2+2ab+4.

所以，當(dāng)ab=1時(shí)，（a+b）（a3+b3）取到最小值4，即（a+b）（a3+b3）≥4.

點(diǎn)評(píng)：本題是一道證明不等式的問(wèn)題，在求解過(guò)程中運(yùn)用了等量代換法，從而簡(jiǎn)化了問(wèn)題的求解過(guò)程.高考中數(shù)學(xué)題目類(lèi)型繁多，解題方法靈活多變，其中代換法不但能開(kāi)拓靈活巧妙的解題思路，而且有化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.其中代換法在不等式證明、三角證明、求極限等題目中都有體現(xiàn)，因此教師在教學(xué)中應(yīng)注意加強(qiáng)代換法的滲透教學(xué).

二、類(lèi)比策略

類(lèi)比是根據(jù)兩個(gè)不同的對(duì)象之間某些屬性類(lèi)似，從一類(lèi)對(duì)象的某種屬性猜想到另一類(lèi)對(duì)象也具有這種屬性的一種推理方法.類(lèi)比思維方法是數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維中很重要的一種思維方法，當(dāng)我們的思維遇到障礙時(shí)，運(yùn)用類(lèi)比推理，往往能實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，將已學(xué)過(guò)的知識(shí)或已掌握的解題方法遷移過(guò)來(lái)，使得“柳暗花明又一村”.正如康德提到：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，類(lèi)比這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn).”

例2已知x，y，z均為實(shí)數(shù)，且xy≠-1，yz≠-1，zx≠

證明：設(shè)A=α-β，B=β-γ，C=γ-α，于是x=tanα，y=tanβ，z=tanγ.

所以tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC成立.

點(diǎn)評(píng)：本題觀(guān)察結(jié)論中需要我們求證的等式，可以發(fā)現(xiàn)等式的結(jié)構(gòu)特征與tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC（A+B+C=k，k∈Z）相類(lèi)似，所以可以類(lèi)比到這個(gè)三角恒等式上，用三角函數(shù)換元法求解.本題通過(guò)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)所證不等式與三角恒等式結(jié)構(gòu)之間的類(lèi)似，進(jìn)而進(jìn)行類(lèi)比求解.因此，其解法較新穎、靈活，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力及對(duì)知識(shí)的理解深度，是一道值得研究的題目.

三、運(yùn)用定義策略

中國(guó)科學(xué)院李邦河院士認(rèn)為：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧.”［2］利用概念的定義解題，可以深化理解概念，縮短解題過(guò)程，優(yōu)化思維品質(zhì)，開(kāi)發(fā)學(xué)習(xí)潛能.

圖1

例3（2016年江蘇卷10題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且∠BFC=90°，則該橢圓的離心率是________.

解析：由題意得F（c，0），直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立可得，由∠BFC=90°可得則

由b2=a2-c2可得，則

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率及直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn).在求解過(guò)程中將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立求得B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量法求解，從而求得橢圓的離心率.本題的關(guān)鍵在于要熟知橢圓的定義及其離心率的定義，只有掌握了定義才能夠解答題目.

例4（2017年北京卷理、文5題）已知函數(shù)則（fx）（ ）.

A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

解析，所以函數(shù)是奇函數(shù)，并且3x是增函數(shù)是減函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，所以函數(shù)（fx）是增函數(shù).選A.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，以及如何判斷一個(gè)函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù).既考查了函數(shù)奇偶性，又考查了函數(shù)的單調(diào)性，題目雖然不是很難，但是考查的知識(shí)點(diǎn)還是比較全面具體的，因此本題具有一定的研究?jī)r(jià)值.

四、數(shù)學(xué)思想策略

思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、規(guī)律的一種本質(zhì)認(rèn)識(shí).所謂數(shù)學(xué)思想是指從具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來(lái)的對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，它在數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被普遍使用，是建立數(shù)學(xué)理論和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的指導(dǎo)思想.

解析：由y=loga（x+1）+1在［0，+∞）上遞減，則0＜a＜1.又由f（x）在R上單調(diào)遞減，則02+（4a-3）·0+3a≥（f0）=1，

圖2

由圖像（圖2）可知，在［0，+∞）上|（fx）|=2-x有且僅有一個(gè)解，故在（-∞，0）上|（fx）|=2-x同樣有且僅有一個(gè)解.

（4a-2）2-4（3a-2）=0，解得或1（舍）.選C.

點(diǎn)評(píng)：此題以選擇題的形式出現(xiàn)顯然大大降低了難度，學(xué)生可以根據(jù)選項(xiàng)運(yùn)用排除法進(jìn)行解答，若此題以解答題的學(xué)生出現(xiàn)，我們就可以采用分類(lèi)討論，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想使問(wèn)題化難為易，變抽象為具體，從而達(dá)到事半功倍的效果.

當(dāng)1≤3a≤2時(shí)，由圖像（圖2）可知，符合條件.

綜上

五、分離參數(shù)策略

分離參數(shù)作為高中數(shù)學(xué)中的一種常用的方法，有極為重要、廣泛的應(yīng)用.不少數(shù)學(xué)問(wèn)題中對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論往往比較煩瑣，因此常用分離參數(shù)的方法解決問(wèn)題，從而提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性和學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

例6若關(guān)于x的不等式ax2-|x+1|+2a＜0的解集為?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：現(xiàn)將條件轉(zhuǎn)換成“對(duì)任意的x∈R，均有ax2-|x+1|+2a≥0”，再將參數(shù)a分離出來(lái)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題.

①當(dāng)t=0時(shí)，g（0）=0；

點(diǎn)評(píng)：本題要求根據(jù)含參數(shù)不等式及其解集，求參數(shù)a的取值范圍，解決此類(lèi)問(wèn)題的較常用且較簡(jiǎn)單快捷的方法是分離參數(shù).這種方法可以避免分類(lèi)討論的麻煩，從而使問(wèn)題得以順利解決.分離參數(shù)法在解決有關(guān)不等式恒成立、不等式有解、函數(shù)有零點(diǎn)、函數(shù)單調(diào)性中參數(shù)的取值范圍問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到.解題的關(guān)鍵是分離出參數(shù)之后將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域問(wèn)題.

六、聯(lián)想策略

聯(lián)想是將研究對(duì)象的特點(diǎn)與個(gè)體自身的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行想象的思維形式，是一種自覺(jué)的、有目的的想象.聯(lián)想分析法是指運(yùn)用聯(lián)想的方式分析并解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種方法.聯(lián)想分析法能在較短的時(shí)間內(nèi)，洞察問(wèn)題結(jié)論，發(fā)現(xiàn)解題思路，從而快速求解數(shù)學(xué)題目.

例7（2009年四川卷）已知函數(shù)（fx）是定義在實(shí)數(shù)集R上不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有x（fx+1）=）的值是（ ）.

解析：在解決抽象函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可以聯(lián)想具體的函數(shù)并類(lèi)比它的性質(zhì)，從而得出結(jié)論.本題聯(lián)想到函數(shù)y=xsin2πx滿(mǎn)足題設(shè)的條件x（fx+1）=（1+x）（fx），可以用特殊值法，取y=xsin2πx，則

點(diǎn)評(píng)：本題由抽象函數(shù)聯(lián)想到具體函數(shù)，通過(guò)類(lèi)比具體函數(shù)的性質(zhì)，從而得出結(jié)論.在求解這類(lèi)題目時(shí)，對(duì)學(xué)生的思維層次及對(duì)知識(shí)的熟練程度都有一定的要求，當(dāng)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)都比較熟練的時(shí)候聯(lián)想比較容易發(fā)生，從而“熟能生巧”，快速解決問(wèn)題.

七、逆向思維策略

逆向思維又稱(chēng)為反向思維，是從對(duì)立的角度考慮問(wèn)題的思維方式.當(dāng)正向思考有困難時(shí)，不妨轉(zhuǎn)換思考方式，進(jìn)行逆向思考，常能化難為易，使問(wèn)題迅速而準(zhǔn)確地解決.善于逆向思維是思維靈活的一種表現(xiàn).

例8在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有_______個(gè).

分析：不能被5整除的數(shù)要分類(lèi)討論，情況較多，討論起來(lái)比較復(fù)雜，因此我們換一個(gè)角度思考，從反面入手考慮，用間接法求解.

解：顯然，不能被5整除的數(shù)末位數(shù)字不是0，也不是5.末位數(shù)字是0或者5的數(shù)可以被5整除.

點(diǎn)評(píng)：本題按習(xí)慣從“正面入手”求解比較復(fù)雜.因此，我們考慮問(wèn)題的反面，即先求出可以被5整除的四位數(shù)，進(jìn)而求出不能被5整除的四位數(shù).從反面考慮問(wèn)題，優(yōu)化了解題的過(guò)程，從而快速求解，達(dá)到了事半功倍的效果.

例9（2017年浙江卷16題）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有______種不同的選法（.用數(shù)字作答）

解析：由題意可得，總的選擇方法為種，其中不滿(mǎn)足題意的選法有種，則滿(mǎn)足題意的選法有

點(diǎn)評(píng)：本題若采用正向思維解答存在一定的難度，學(xué)生可能會(huì)遺漏掉一些情況.因此采用逆向思維法求解，首先計(jì)算出總的選擇方法和不滿(mǎn)足題意的情況，再相減即可得到滿(mǎn)足題意的選法.在高考中，遇到類(lèi)似問(wèn)題而無(wú)法求解時(shí)，不妨嘗試?yán)媚嫦蛩季S求解，“反其道而思之”，從問(wèn)題的反面深入地進(jìn)行探索，往往可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

八、猜想策略

猜想是人們依據(jù)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)研究的問(wèn)題和對(duì)象做出合乎一定經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的預(yù)測(cè)性判斷，它是一種極具創(chuàng)造性的思維活動(dòng).牛頓曾指出“沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn).”因此，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可在一定前提下進(jìn)行合理的、大膽的猜想，培養(yǎng)觀(guān)察、猜想、估計(jì)，以及直覺(jué)思維的能力和敏銳的數(shù)學(xué)眼光.

例10若對(duì)任意常數(shù)a，且a≠0，都有問(wèn)：（fx）是否為周期函數(shù)？若是，求出它的一個(gè)周期.

分析：本題的實(shí)質(zhì)是判斷滿(mǎn)足上述條件的函數(shù)是否為周期函數(shù)，進(jìn)一步聯(lián)想到等式與等式的結(jié)構(gòu)極為相似，分析后者可知tanx的周期為π，是常數(shù)的4倍，故猜想結(jié)構(gòu)相似的函數(shù)（fx）是以4a為周期的函數(shù)，即有（f4a+x）=（fx），通過(guò)驗(yàn)證可知猜想正確.

點(diǎn)評(píng)：這里的猜想并不是憑空想象，而是由題目條件和已有經(jīng)驗(yàn)，對(duì)問(wèn)題從整體上把握而產(chǎn)生的合情猜想，它是觀(guān)察題目所給的條件，運(yùn)用聯(lián)想而產(chǎn)生的直覺(jué)猜想.

九、極限策略

極限思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用，這是由它本身固有的思維功能決定的，極限思想揭示了變量與常量、無(wú)限與有限的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，是唯物辯證法的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用.因此，在求解比較困難，感到無(wú)從下手的題目時(shí)，不妨嘗試?yán)脴O限思想解答.

例11在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，若AC邊上的高h(yuǎn)等于c-a，那么的值是（ ）.

解析：本題若直接用常規(guī)方法求解比較煩瑣，因此要轉(zhuǎn)換思路進(jìn)行解答.這里，若令A(yù)→0°，則h→0，又因?yàn)閔=c-a，從而C→0°.

點(diǎn)評(píng)：本題利用極限的思想求解，簡(jiǎn)化了解答過(guò)程，化難為易，通過(guò)無(wú)限逼近的思想即可求解.極限的思想指用極限的概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，它是數(shù)學(xué)中一種重要的思想，并且極限思想方法也是數(shù)學(xué)分析乃至全部高等數(shù)學(xué)必不可少的一種重要方法.

十、基本量策略

在數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程中，常需要根據(jù)題目的已知條件，設(shè)定未知條件，并且分析已知量與未知量之間的關(guān)系，從而列出相應(yīng)的等式求解.在這些已知量、未知量中，選定其中的一些量，則其余的量就可以用它們來(lái)表達(dá).這些量，我們稱(chēng)之為基本量.在解題過(guò)程中如何適當(dāng)選取基本量是分析及解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié).

例12 （2017年高考全國(guó)卷Ⅱ理17題）△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，已知

（1）求cosB；

（2）若a+c=6，△ABC的面積為2，求b.

解析：利用三角形內(nèi)角和定理可知A+C=π-B，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)sin（A+C），利用降冪公式化簡(jiǎn)sin2B，結(jié)2合sin2B+cos2B=1，求出cosB；再利用（1）中結(jié)論B=90°，以及勾股定理和面積公式，求出a+c、ac，從而求出b.

點(diǎn)評(píng)：解三角形問(wèn)題是高考的高頻考點(diǎn)，命題大多放在解答題的第一題，主要利用三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理，三角形面積公式等知識(shí)解題，解題時(shí)要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行 “邊化角”，“角化邊”，另外還要注意a+c，ac，a2+c2三者之間的關(guān)系，這類(lèi)題目小而靈活，考查知識(shí)全面.此外，本題在求解過(guò)程中也滲透了基本量策略.

培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一，在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)主要培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，并提倡“多想少算”，即要多思考，鍛煉自己的思維能力，從而跳出以往的思維定勢(shì)，進(jìn)而在解題中迅速找到簡(jiǎn)潔的解題途徑.

1.趙思林.中學(xué)數(shù)學(xué)研究性教學(xué)與案例［M］.成都：四川大學(xué)出版社，2016.

2.李邦河.數(shù)的概念的發(fā)展［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2009（8）.

*項(xiàng)目來(lái)源：教育部“本科教學(xué)工程”四川省地方屬高校本科專(zhuān)業(yè)綜合改革試點(diǎn)項(xiàng)目——內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)“專(zhuān)業(yè)綜合改革試點(diǎn)”項(xiàng)目（ZG0464）；四川省“西部卓越中學(xué)數(shù)學(xué)教師協(xié)同培養(yǎng)計(jì)劃”項(xiàng)目（ZY16001），內(nèi)江師范學(xué)院2016年度校級(jí)學(xué)科建設(shè)特色培育項(xiàng)目（T160009，T160010，T160011）.趙思林系本文通訊作者.