偏文類學生數(shù)學教學輔助策略探索

☉江蘇省新沂市高級中學 王登平

偏文類學生數(shù)學教學輔助策略探索

☉江蘇省新沂市高級中學 王登平

全新的課程改革正在醞釀，新的課程標準已經(jīng)于2017年初制定完畢，對于數(shù)學學科而言，文理科分科正在這一輪課程改革中逐步取消，有些省份走在課程改革試點前沿（如浙江、上海已經(jīng)取消文理分科）.但對于學生而言，卻不會因為文理分科的取消而沒有層次差別，有些學生依舊是偏理型的人才，而有些學生則依舊擁有偏文類的特點.如何面對文理分科取消后的數(shù)學教學？如何在數(shù)學教學中將偏文類學生與偏理類學生一起教學？面對解題困擾時，教師如何掌控這一教學難點？這些都成為數(shù)學教學新面臨的疑惑點.

筆者認為新的教學起點，新的契機，要有新的嘗試.可以從幾個方面來思考偏文類學生數(shù)學教學的一些輔助策略，將這一策略實施到位，有助于偏文類學生在數(shù)學學習中獲得一定的成功感.本文結(jié)合教學片斷和案例與大家一起交流.

一、注重學情，因材施教

偏文類學生與偏理類學生最大的不同在于其感性化程度較高，理性化抽象思維較弱.對于偏文類學生的教學正是要基于學生的這一重要特性，進行不同的教學設計，從知識理解的角度設計一定的感性部分，逐步將知識上升為理性層面，以求獲得知識的鞏固和理解.

案例1對定義域為R的函數(shù)f（x），其相關式子f（a+x）=f（b-x）與f（a+x）+f（b-x）=0的理解.

分析：不少偏文類學生對于這種側(cè)重抽象含義的數(shù)學表達式理解存在困難，其一，懼怕抽象式；其二，不理解；其三，因為這種循環(huán)造成了實際問題中也無法面對這些抽象表述，從而無法獲得學習的快樂.筆者認為對于偏理類學生，我們更多的是依照教師自身多年的教學經(jīng)驗，結(jié)合抽象表述進行一番思考即可.但是對于偏文類學生而言，這一招幾乎沒用，因為其根本無法直接進入理性思考的層面，因此針對學情因材施教才是關鍵.將其分為三個步驟進行教學：

（1）思考特殊關系式，令a=b=0，表達式f（x）=f（-x）表達的含義是什么？顯然說明定義域為R的函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，其圖像關于x=0（即y軸）對稱.

（2）對于表達式f（a+x）=f（b-x），首先令x=1、x=2、x=3等多個變量取值，觀測不同變量帶來的影響，可以發(fā)現(xiàn)f（a+1）=f（b-1）、f（a+2）=f（b-2）、f（a+3）=f（b-3）等，顯然其說明定義域為R的函數(shù)f（x）其圖像關于對稱.

圖1

（3）進一步從更高層面的理性角度思考，對于f（a+x）=f（b-x）中，a、b為兩個常數(shù)，對定義域為R的函數(shù)而言，即x任意變化情況下，我們作出其圖像（如圖1）.

抽象式f（a+x）=f（b-x）所表示的含義：自變量x1=a+x與x2=bx到它們的中點等距離，且（fx）=（fx），考慮到變量12的任意性，因此自變量x1=a+x與x2=b-x到它們的中點永遠等距離，且函數(shù)值一定相等，從而可知定義域為R的函數(shù)（fx）圖像關于直線成軸對稱.

同理：對f（a+x）+f（b-x）=0所表示的含義，也可以分為三步驟進行，思考教學中最基本的奇函數(shù)概念及其性質(zhì)，即該表達式中a=b=0，因此獲得了f（x）+f（-x）=0的更進一步的理解，對于更為一般性的表達式f（a+x）+f（b-x）=0，正是可以從這樣的視角首先思考；最后理性環(huán)節(jié)的思考可以與上述第三步驟一樣作出其圖像（如圖2）.抽象式f（a+x）+f（b-x）=0所表示的含義：自變量x1=a+x與x2=b-x到它們的中點等距離，且f（x1）+f（x2）=0，即函數(shù)值互為相反數(shù)，由自變量的任意性，x1=a+x與x2=b-x的函數(shù)值互為相反數(shù)，從而可知函數(shù)f（x）關于點成中心對稱.

圖2

變式：對定義域為R的函數(shù)f（x），其相關式子f（x+a）=f（x-b）的含義又說明什么呢？

分析：顯然本問題的結(jié)論是思考函數(shù)的周期性，但是偏文類學生往往又和第一個問題類型混淆.建議學生從特殊情形入手思考，取a=b=0，顯然為恒等式；取a=b=1，則f（x+1）=f（x-1），顯然與上述軸對稱和中心對稱均不相同，從一個角度再輔助偏文類學生思考，再次嘗試令x=1、x=2、x=3，發(fā)現(xiàn)可得f（2）=f（0）、f（3）=f（1）、f（4）=f（2）等一系列值，這恰意味著周期性的體現(xiàn).可以引導學生進一步進行理性證明，令x-b=t，則f（x+a）=f（x-b）?f（t+a+b）=f（t），由周期的定義可知，定義域為R的函數(shù)f（x）的周期為|a+b|.

可見，對于偏文類學生的教學要特別注重學生的感性思維，可以適當?shù)貙⑤^難的數(shù)學抽象知識分割學習、逐步深入，大大舒緩了偏文類學生的數(shù)學學習過程、提高了學習的積極性，將注重學情的教學設計結(jié)合螺旋式上升的教學過程，則符合偏文類學生學習認知心理，是有效的教學.

二、強調(diào)特殊，注重歸納

與偏理類學生不同的是，偏文類學生更要注重從特殊到一般的歸納推理方式，而不是演繹推理.這與偏文類學生的思維特征緊密相關，因為偏文類學生思維的層次性不夠，這就要求教學中更好的方式是首先獲取問題的答案，然后回頭思考怎么獲得一般性的過程.從特殊到一般，是歸納推理的典型運用.

案例2已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），若2f′（x）＞f（x）對任意的x∈R成立，則3f（2ln2）與2f（2ln3）的大小關系為___________.

分析：本題為導數(shù)運用問題，其本意是從構造類的角度思考導數(shù)的運用，但是對于偏文類的學生而言，其根本未能意識到這一知識使用的層面，因此可以換一個角度首先思考答案的判斷.因為2f′（x）＞f（x），對任意的x∈R，令f（x）=ex，顯然f（x）滿足題意，因此3f（2ln2）=3e2ln2=12＜2f（2ln3）=2e2ln3=18，因此3f（2ln2）＜2f（2ln3）.對于偏文類學生來說，答案的判斷顯然獲得了成功，從應試角度來說已經(jīng)成功.新課程標準明確提出了要學生獲得適合其自身發(fā)展的數(shù)學，因此對于不少偏文類學生而言，能掌握這種特殊化的問題解決思想，已經(jīng)是一種足夠的數(shù)學，就如天津師大王光明教授所說：“沒有必要人人都去研究形式化的數(shù)學過程和結(jié)論，獲得適合自身發(fā)展的數(shù)學才是關鍵和必需的.”

最終確定了問題的答案，對于偏文類學生而言，也可以讓學生進一步體會知識運用的合理性，一般性的方式方法怎么尋求解決之道.本題是典型的函數(shù)構造類，考慮到選項中的數(shù)值，將3（f2ln2），2（f2ln3）變形為比較這兩個數(shù)的大小關系，因此容易想到構造函數(shù)，研究其導數(shù)又對任意的x∈R時2f′（x）＞（fx）成立，因此2f′（2lnx）-（f2lnx）＞0，故g（′x）＞0成立，所以g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù).又2＜3，故g（2）＜g（3）? （f2ln2）＜ （f2ln3），即3（f2ln2）23＜2（f2ln3）.另外，本題的函數(shù)構造不僅僅只有一種，還可以是有興趣的讀者可以再類似推理思考.筆者對這樣的問題的教學建議是，運用典型的歸納推理思想，從特殊到一般，這正是偏文類學生適合的、喜歡的方式.

三、強化代數(shù)，善用圖形

偏文類的學生對問題的一般思路更偏重運算的角度，即代數(shù)化，對于圖形思維的角度考量不多，也不善于思考.筆者以為正是因為偏文類學生這樣的普遍特點，我們教學更要重視思考，以偏文類學生的特點為切入點，強化其所需的代數(shù)運算能力，進一步開發(fā)其圖形思考的方面，力爭從數(shù)與形兩個角度對不同偏文類學生進行加強.

案例3向量a，b，c滿足，則|c|的最大值等于______.

分析：偏文類學生的思考主要是從數(shù)量積基本運算的視角出發(fā)，由題意，由（a-c）·又，所以，化簡得|c|2≤2+（a+b）·c≤2+|a+b·||c|=2+|c|，得|c|2-|c|-2≤0?|c|≤2，即最大模長為2.顯然這種教學方式偏文類學生比較喜歡，因為注重的是數(shù)量積運算和均值不等式，但是能算到底的學生并不是太多，因此也要向?qū)W生滲透圖形的思路.

另法：向量a，b滿足夾角120°，且a-c與b-c的夾角是60°，以四點共圓來建構圖形.如圖3，設則∠AOB=120°，∠ACB=60°，可知點C的軌跡是優(yōu)弧上一動點，顯然當點C為優(yōu)弧中點時取到最大值，即為O，A，B，C四點所在圓的直徑.易得，在△ABC中，由正弦定理知

圖3

限于篇幅，本文就偏文類學生數(shù)學教學提出了符合新課程理念教學的三個輔助視角，即概念教學的多步驟、層次性，解題教學的特殊化、歸納推理，解題思想中的強化代數(shù)、善用圖形等，這些都是偏文類學生沒有完全做到位或者欠缺的.因此，筆者以教學實踐中的思考做了一番不成熟的總結(jié)，懇請讀者繼續(xù)補充指正，引導偏文類學生進一步在數(shù)學學習上獲得高效和有效的途徑.

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2.吳成海.數(shù)學試題創(chuàng)新應著力于思維培養(yǎng)［J］.中學數(shù)學，2013（8）.

3.李廣修.追求非功利化的數(shù)學教學［J］.中學數(shù)學月刊，2015（2）.