語言轉(zhuǎn)換中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

盧清榮

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》要求讓學(xué)生經(jīng)歷模型猜想—驗證—解釋—運用的過程。建立和求解模型能提高學(xué)生的學(xué)習興趣和應(yīng)用意識。小學(xué)數(shù)學(xué)教科書由實物照片、圖形、圖文結(jié)合、文字、符號等構(gòu)成，這些圖形、文字、符號就是數(shù)學(xué)語言。數(shù)學(xué)語言按其形式一般分為圖形語言、文字語言、符號語言三類。數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)，數(shù)學(xué)知識學(xué)習的過程就是數(shù)學(xué)語言不斷生成、運用、內(nèi)化的過程。學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)知識時如果能靈活運用數(shù)學(xué)語言并轉(zhuǎn)換，有利于他們熟練建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。張丹教授執(zhí)教的“長方體的體積”這節(jié)課，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力方面給我們做了很好的示范。

【片段一】模型準備中圖形語言轉(zhuǎn)換為文字語言

師（出示長方體圖形）：長方體的體積可能與什么有關(guān)？大膽猜想一下。

生1：可能與面積有關(guān)。

生2：可能與長、寬、高有關(guān)。

生3：可能與表面積有關(guān)。

生4：可能與棱長有關(guān)。

【賞析】問題是思維的起點，也是探究的動力。提出一個問題往往比解決一個問題更重要。上課伊始，張教授直奔主題，提供一個長方體圖形，讓學(xué)生觀察并猜想長方體的體積與什么有關(guān)。觀察圖形幫助學(xué)生喚醒長方體的特征、計算等知識經(jīng)驗，建立相關(guān)知識與體積之間的關(guān)系。學(xué)生根據(jù)圖形提出猜想的過程就是圖形語言轉(zhuǎn)換為文字語言的過程。學(xué)生在思考的基礎(chǔ)上提出符合自身認知經(jīng)驗的問題，激發(fā)他們思考問題的興趣和好奇心，為認識長方體體積模型做好充分準備。

【片段二】模型建構(gòu)中圖形語言轉(zhuǎn)換為符號語言

師：謀劃謀劃，要怎樣研究？老師為你們提供了一些學(xué)具。

（教師出示一些體積是1立方厘米的小正方體木塊。學(xué)生動手操作：有的用尺量，有的畫圖……但大部分學(xué)生不知所措。）

師：可能有的同學(xué)還不知道體積。什么是長方體的體積？

生：長方體所占空間的大小就是長方體的體積。

師：（舉起1立方厘米的小正方體）這是什么？

生：1立方厘米的小正方體，是體積單位。

師：老師發(fā)現(xiàn)個別同學(xué)有思路了。請這位同學(xué)給大家介紹一下她的想法。

生：可以用這樣的體積單位搭一個相同的長方體，就可以知道它的體積了。

師（學(xué)生搭長方體后）：誰來說說你手里的長方體的體積怎樣求？

生：長方體的體積等于長乘寬乘高。

師：你是怎么想的？

生：我是用小正方體搭的（圖1）。

師：同學(xué)們認真觀察一下，看她搭的長方體的體積是——

生：3×2×2=12。

師：你們有問題要問她嗎？

生1：3是什么？

生2：長方體的長是由3個小正方體擺成的。

生3：3×2是什么意思？

生4：表示一個面的面積。

（教師舉起其中一層，驗證3×2是表示其中一層的面積。）

師：那為什么還要乘2？

生：有2層。

師：這個長方體體積是3×2×2。長方體體積是不是就等于長乘寬乘高呢？

生：是。

師（出示圖2）：老師用小正方體擺了個長方體，這個長方體的體積是多少呢？

生：4×2×3。

師：為什么是4×2×3呢？

生：4×2表示一層有8個小方塊，有這樣的3層，一共是24個。

師：他先求一層有幾個小方塊。有3層就再乘3，就把這個長方體的體積求出來了，你們同意嗎？

生：同意。

師：無論是剛才那位同學(xué)搭的，是你們自己搭的，還是老師搭的這個長方體，你們覺得長方體的體積應(yīng)該怎么求？

生：長方體的體積等于長乘寬乘高。

【賞析】計算長度、面積、體積的本質(zhì)是相同的，都是計算圖形中包含多少個這樣的度量單位。計算長方體的體積時，從整體中“分出”多少個體積單位，學(xué)生一般缺少這方面的思維經(jīng)驗，因此，“分出”計量單位個數(shù)的方法不易操作和被發(fā)現(xiàn)。轉(zhuǎn)換思維視角，用n個體積單位拼成一個大長方體，讓學(xué)生直觀操作并感知長方體的體積實質(zhì)就是n個體積單位聚合的思維形式，學(xué)生更容易接受。張教授準確把握學(xué)情并提供研究材料，引導(dǎo)學(xué)生用拼搭的方法從部分到整體理解長方體的長寬高與小正方體個數(shù)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生驗證猜想并推理論證，3×2既可以表示每排3個擺2排，需要6個小正方體；還可以理解為3表示長，2表示寬，長乘寬等于底面積；3×2×2既可以表示大長方體中包含小正方體的個數(shù)，又可以表示長寬高的積。用數(shù)數(shù)的方法得到小正方體的總個數(shù)就是這個長方體的體積，用3×2×2也表示長方體的體積。把數(shù)小正方體個數(shù)轉(zhuǎn)化為列式計算的過程，其實就是把圖形語言轉(zhuǎn)換為符號語言的過程，學(xué)生初步建立了長×寬×高與體積的關(guān)系。教師再次舉例，放手讓學(xué)生充分探究、驗證、說理，長方形體積模型在數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換中得以凸顯。

【片段三】模型確立中符號語言轉(zhuǎn)換為文字語言

師：所有長方體的體積都等于長×寬×高嗎？

（學(xué)生猶豫。）

師（出示圖3）：這個長方體的體積是8×4×4嗎？

生：用棱長1厘米的小方塊擺，長可以擺8個，寬可以擺4行，高可以擺4層。

師：你們能想象出來嗎？

（課件出示拼擺過程，很多學(xué)生露出驚喜的表情。）

師：長方體的體積就是長×寬×高，你信嗎？

生：信。

師：長乘寬就是什么？

生：底下一個面的面積。

師：高是什么？

生：幾層。

師：如果再給你一個長7、寬6、高4的長方體，它的體積是7×6×4嗎？

生：是。

師（指向長方體抽屜）：這個長方體的體積是長×寬×高嗎？

生：是。

師：我們回憶一下，剛才我們提出了一個話題“長方體的體積”，然后我們想到了操作、猜想、驗證，把長方體“體積=長×寬×高”由“？”變成了“?！?。

【賞析】荷蘭的數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾認為：學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)知識的過程是他們“再創(chuàng)造”的過程?！霸賱?chuàng)造”的過程就是學(xué)生分析問題、理清數(shù)量關(guān)系、抽象概括、建立模型的過程。張教授為了讓學(xué)生深入驗證長方體的體積就是長乘寬乘高，向?qū)W生提供了8×4×4的算式，讓學(xué)生說它是否表示長方體的體積，學(xué)生通過舉例和空間想象，分析每個符號所表示的圖形意義，長方體體積模型公式在推理中明確建立。從算式符號到空間想象，符號語言轉(zhuǎn)換為圖形語言，再用文字語言抽象、概括長方形的體積計算模型，數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換幫助學(xué)生清晰建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，還讓學(xué)生清楚知道知識“是什么”和“為什么”。

【片段四】模型拓展中文字語言轉(zhuǎn)換為文字語言

師：還有其他新的問題嗎？

生：正方體的體積怎么求？

師：如果正方體的棱長是6呢？

生：6×6×6。

師：大膽地想一想，你還能求出哪些立體圖形的體積？

生：圓柱。

師（指向話筒的圓柱部分）：你有想法嗎？

生（指著底面）：先求底下這個面的面積再乘層數(shù)。

生：半徑乘半徑乘高。

師：她大膽猜想，但有點小問題。等你們學(xué)了圓的面積就知道了。還想知道什么立體圖形的體積？

生：三棱柱。

師：怎樣求它的體積？

生（指著三棱柱的底面三角形）：求出這個面的面積再乘高。

師：還想知道什么立體圖形的體積？

師：只要什么，就——

生：只要是立體圖形，知道它的底面積和高就能求出體積。

師：你們認為呢？

（學(xué)生交流得出：只要是規(guī)則的、上下一樣粗的立體圖形，都可以用底面積乘高求出它的體積。）

【賞析】日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏說：“學(xué)生們所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，在進入社會后不到一兩年就忘掉了，然而那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法卻長期在他們的生活和工作中發(fā)揮作用?！蔽覀冊诮虒W(xué)中要有意識地對學(xué)生進行數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的滲透，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。張教授大膽讓學(xué)生猜想還能求出哪些立體圖形的體積，學(xué)生基于長方體體積的探究經(jīng)驗，猜想圓柱、三棱柱的體積，建立長方體體積與其他立體圖形的體積形體上的共性，抽象、概括出所有立體圖形體積的共同本質(zhì)——每層所擺體積單位的個數(shù)乘層數(shù)（高）就是體積數(shù)。長方體的體積模型擴展為一類立體圖形的體積模型，在文字語言轉(zhuǎn)換為文字語言中培養(yǎng)學(xué)生遷移、類推能力。學(xué)生學(xué)習有聯(lián)系、有結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)，有利于立體圖形整體認知結(jié)構(gòu)建立。

總之，張丹教授從學(xué)生的認知經(jīng)驗出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷模型建構(gòu)過程，有意識地運用數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換幫助學(xué)生有效思維，學(xué)生靈活地運用和轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言，長方體體積模型建構(gòu)輕松自然。

（作者單位：江蘇省睢寧縣實驗小學(xué)）

責任編輯 李杰杰

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