“幾何畫板”破解數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)之利劍

林志輝

【摘要】在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中總是存在學(xué)生難于理解的教學(xué)難點(diǎn)，而突破難點(diǎn)是課堂教學(xué)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，更是衡量學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)是否理解的重要標(biāo)志.如何在教學(xué)中突破難點(diǎn)？是當(dāng)前教師面臨的挑戰(zhàn)與思考.筆者根據(jù)多年研究幾何畫板的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，分別以幾何畫板的強(qiáng)大功能——“畫”抽為形、“畫”數(shù)為形、“畫”靜為動(dòng)、“畫”客為主，來破解小學(xué)數(shù)學(xué)四個(gè)領(lǐng)域中的相關(guān)難點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】幾何畫板；破解；教學(xué)難點(diǎn)

數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)是指在教學(xué)過程中，與學(xué)生已有的數(shù)學(xué)發(fā)展水平矛盾較突出的、在數(shù)學(xué)教材中所體現(xiàn)的教學(xué)目標(biāo)和要求.通俗來講，教學(xué)難點(diǎn)就是大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中難于理解和運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn).教學(xué)難點(diǎn)往往蘊(yùn)含著豐富的教學(xué)功能，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教學(xué)難點(diǎn)的突破，是課堂教學(xué)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，它涉及學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解，對(duì)知識(shí)的有效把握，通常也是創(chuàng)設(shè)課堂教學(xué)高潮的重要環(huán)節(jié)，是數(shù)學(xué)課堂的魅力所在，更是衡量一節(jié)課成功與否的重要標(biāo)志.如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中突破難點(diǎn)？當(dāng)然認(rèn)真?zhèn)湔n、吃透教材、抓住教材重難點(diǎn)是突破難點(diǎn)的前提，以舊知識(shí)為生長點(diǎn)是突破難點(diǎn)的重要策略，而利用好“幾何畫板”這一利劍更有事半功倍之效.下面就結(jié)合筆者對(duì)幾何畫板的實(shí)踐研究，談?wù)勑W(xué)數(shù)學(xué)四個(gè)領(lǐng)域中的難點(diǎn)突破.

一、劍指圖形與幾何，“畫”抽為形

幾何畫板使抽象的思維過程變成了生動(dòng)形象的動(dòng)態(tài)過程，把一些抽象難懂的概念變成具體的可觀察、可操作的畫面，即化抽象為具體，化抽象為形象.教學(xué)中若使用常規(guī)工具（如，紙筆、圓規(guī)和直尺）畫圖，畫出的圖形是靜態(tài)的，很容易掩蓋一些重要的幾何規(guī)律.而使用幾何畫板，可以畫出有幾何約束條件的幾何圖形.另外，幾何畫板可以在圖形運(yùn)動(dòng)中動(dòng)態(tài)地保持幾何關(guān)系，可以運(yùn)用它在變化的圖形中發(fā)現(xiàn)恒定不變的幾何規(guī)律.幾何畫板的使用使學(xué)生多種感官并用，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性、自主性和合作性增強(qiáng)，為形成和培養(yǎng)學(xué)生的“動(dòng)畫思維”提供了條件，為難點(diǎn)突破提供了可能.

（一）“畫”曲為直

六年級(jí)下冊“圓柱的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)難點(diǎn)是如何理解圓柱側(cè)面展開圖，“側(cè)面展開時(shí)圓柱的底面周長就是展開后長方形的長”，如果能突破此難點(diǎn)，學(xué)生自然形成側(cè)面展開的表象，對(duì)圓柱的表面積的理解也就水到渠成了.

之前，很多教師是通過讓學(xué)生卷一卷這樣的操作來突破難點(diǎn).雖然這樣操作可以一定程度上把握難點(diǎn)，但對(duì)初學(xué)立體幾何的學(xué)生，其大多數(shù)不具備豐富的空間想象能力，及較強(qiáng)的平面與空間圖形的相互轉(zhuǎn)化能力.平面上繪出的立體圖形受其視角的影響，難于把握全局，其空間形式又具有很大的抽象性，因而，難點(diǎn)突破還是停留在較淺層面.

（二）“畫”無為有

四年級(jí)下冊“三角形的三邊關(guān)系”的教學(xué)難點(diǎn)在“兩邊之和等于第三邊能否圍成三角形”.之前，很多教師用直觀操作來突破，用小棒、紙片、吸管等擺一擺，結(jié)果學(xué)生還是很糾結(jié)，因?yàn)檫@些直觀的學(xué)具本身有寬度，再加上頂點(diǎn)對(duì)齊等問題，總有一部分學(xué)生堅(jiān)持兩邊之和等于第三邊能圍成三角形，此刻教師只能說線段沒有粗細(xì)等專業(yè)術(shù)語強(qiáng)迫學(xué)生接受，使得難點(diǎn)不但沒能突破反而扼殺了學(xué)生的思維、想象能力.

如果引入幾何畫板，讓學(xué)生循序漸進(jìn)地經(jīng)歷：

1.不能圍成（兩邊之和小于第三邊）.

學(xué)生想象加驗(yàn)證，不能圍成的原因是兩條較短邊的軌跡顯示沒有交點(diǎn)（如下圖所示）.

2.接著經(jīng)歷圍成（兩邊之和大于第三邊）.

3.最后聚焦在糾結(jié)處（兩邊之和等于第三邊）.學(xué)生在經(jīng)歷猜想、想象，兩邊在上拱的過程中缺口會(huì)越來越大，然后通過顯示弧線展示出軌跡之后，驗(yàn)證學(xué)生的想象.就這樣把學(xué)生難以理解的抽象過程用幾何畫板的圖形變動(dòng)保持原有幾何關(guān)系的功能，把最糾結(jié)的難點(diǎn)“雁過無聲”地突破了.

二、劍指數(shù)與代數(shù)，“畫”數(shù)為形

數(shù)形結(jié)合思想是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.”幾何畫板為數(shù)形結(jié)合創(chuàng)造了一條便捷的通道，它不僅對(duì)幾何模型的繪制提供信息，可以解決學(xué)生難以繪制圖形的困難，而且提供了圖形“變換”的動(dòng)感，豐富多彩的“動(dòng)畫”模型，給學(xué)生一種耳目一新的視覺感受，使學(xué)生從畫面中去尋求到問題解決的方法和依據(jù)，并從畫面中去認(rèn)清問題的本質(zhì).在引入幾何畫板之后，可以測量各種數(shù)值以及進(jìn)行各種函數(shù)運(yùn)算.在圖形的變化過程中，數(shù)量變化特征也可以直觀地展現(xiàn)在學(xué)生眼前，“以形助數(shù)”“用數(shù)解形”在傳統(tǒng)教學(xué)中無法辦到的，幾何畫板的強(qiáng)大功能很好地為突破難點(diǎn)服務(wù).

通過數(shù)形結(jié)合能直觀地表示出來學(xué)生想要的分?jǐn)?shù)，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)逐步從直觀中“剝離”，進(jìn)而走向抽象.其實(shí)，數(shù)形結(jié)合不是最終目的，重要的是通過數(shù)形結(jié)合給學(xué)生搭建認(rèn)知突破的臺(tái)階，在學(xué)生形成分?jǐn)?shù)正確表象的基礎(chǔ)上，適時(shí)通過遷移、抽象，有效實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)意義的深度建構(gòu)，更本質(zhì)地理解分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵.

學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的意義有所感悟，但還不能主動(dòng)將其與分?jǐn)?shù)的大小比較聯(lián)系起來.教學(xué)分子是1的分?jǐn)?shù)大小的比較，應(yīng)該充分立足于學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)識(shí).借助幾何畫板的直觀圖形和隨機(jī)生成性，運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的方法，引導(dǎo)學(xué)生觀察同樣大小的兩個(gè)圓形涂色部分的大小，在直觀比較的基礎(chǔ)上，逐漸掌握方法、形成技能并建立“模型”，從而將分?jǐn)?shù)的意義和大小比較有效“連接”和“融合”起來，從而有效地突破教學(xué)難點(diǎn).

三、劍指統(tǒng)計(jì)與概率，“畫”靜為動(dòng)

“動(dòng)態(tài)”是幾何畫板的最大特點(diǎn)，也是其魅力之所在.這在數(shù)學(xué)上的意義非同尋常，它滿足了數(shù)學(xué)教學(xué)之需，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教學(xué)方式的不足.黑板上的圖形是永遠(yuǎn)靜止不動(dòng)的，它掩蓋了數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì).在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，用圓規(guī)、三角板繪制的幾何圖形是靜態(tài)的.要認(rèn)識(shí)它的關(guān)系需要教師的語言描述和學(xué)生的理解和想象能力.幾何畫板畫出的圖形與在黑板上畫出的圖形不同，它具有動(dòng)態(tài)特征.教師可以在“動(dòng)”中教，學(xué)生可以在“動(dòng)”中學(xué).有些教學(xué)內(nèi)容在傳統(tǒng)教學(xué)中顯得枯燥和乏味，引入幾何畫板后許多內(nèi)容變靜為動(dòng)，學(xué)生在“動(dòng)”中求知，從而激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)積極性.

三年級(jí)下冊“平均數(shù)”的教學(xué)難點(diǎn)是平均數(shù)是一個(gè)“虛擬”的數(shù)，他表示的是一組數(shù)據(jù)的總體水平.之前，在教學(xué)中很多教師把重點(diǎn)放在平均數(shù)的求法上，甚至總結(jié)出一個(gè)學(xué)生似懂非懂的總數(shù)量除以總份數(shù)的公式，讓學(xué)生來套用，而在平均數(shù)意義的理解上卻是蜻蜓點(diǎn)水，甚至與平均分混為一談.學(xué)生概念模糊，所掌握的知識(shí)只能停留在機(jī)械地模仿與記憶之中.

四、劍指綜合與實(shí)踐，“畫”客為主

利用幾何畫板的動(dòng)態(tài)性和形象性，可以給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)實(shí)際“操作”幾何圖形的環(huán)境.學(xué)生可以任意拖動(dòng)圖形、觀察圖形、猜測并驗(yàn)證，在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中增強(qiáng)對(duì)各種圖形的感性認(rèn)識(shí)，形成豐厚的幾何經(jīng)驗(yàn)背景，從而更有助于學(xué)生理解和證明.課堂教學(xué)時(shí)，學(xué)生很可能在學(xué)習(xí)過程中閃現(xiàn)出“奇思妙想”的思維火花，這就要求教師在講課時(shí)要能及時(shí)調(diào)整教學(xué)內(nèi)容和節(jié)奏，抓住這閃光點(diǎn)，發(fā)揮出它的威力與作用.幾何畫板就具有這樣的靈活性，可隨時(shí)操作，為學(xué)生創(chuàng)造很好的條件.教師引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手操作，既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情，又能達(dá)到研究性學(xué)習(xí)的目的.

小學(xué)數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐課的開設(shè)目的在于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，具體地說，主要是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，并能用所學(xué)知識(shí)技能解決在學(xué)習(xí)、工作和生活中遇到的數(shù)學(xué)問題.從實(shí)踐內(nèi)容選擇來說，要尊重學(xué)生的需要、興趣和愛好，讓學(xué)生通過實(shí)踐活動(dòng)獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和即時(shí)信息，幫助學(xué)生應(yīng)用、驗(yàn)證、鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力，從而促進(jìn)全面素質(zhì)的提高.

運(yùn)用幾何畫板的構(gòu)造、度量、繪制及計(jì)算功能.圖形變換功能，幾何定理展示功能，動(dòng)態(tài)對(duì)象跟蹤功能等去發(fā)現(xiàn)、去表現(xiàn)、去探索、去總結(jié)函數(shù)、代數(shù)、幾何的規(guī)律與知識(shí)點(diǎn)，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的更好理解與掌握.當(dāng)然，幾何畫板也不是萬能的，畢竟它只是一種輔助工具，只要適合的內(nèi)容出現(xiàn)，我們數(shù)學(xué)教師就要敢于“亮劍”，亮出幾何畫板這柄鋒利的寶劍來破解教學(xué)中的難點(diǎn).

【參考文獻(xiàn)】

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