數(shù)學(xué)教學(xué)：在“實踐”與“內(nèi)化”間穿行

劉琴

摘 要：“具身認(rèn)知”理論視野下的數(shù)學(xué)教學(xué)是學(xué)生“動手實踐”與“活動內(nèi)化”相互促進、和諧圓融、共生共長的過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生在“實踐”與“內(nèi)化”之間穿行。運用“實踐”事實，可以促進學(xué)生數(shù)學(xué)“內(nèi)化”的轉(zhuǎn)變；開拓“內(nèi)化”空間，可以提升學(xué)生數(shù)學(xué)“實踐”的效能；形成“共生”取向，可以優(yōu)化學(xué)生“實踐”“內(nèi)化”的品質(zhì)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；動手實踐；活動內(nèi)化；做思共生

“人有兩個寶，雙手和大腦，雙手會做工，大腦會思考。用手又用腦，才能有創(chuàng)造。”這是人民教育家陶行知先生著名的《手腦相長歌》。陶行知先生在一生的教育實踐中，始終踐行“教學(xué)做合一”。農(nóng)村小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)承擔(dān)著數(shù)學(xué)啟蒙的重要使命，以培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為旨?xì)w。將學(xué)生數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)中的“動手實踐”與“活動內(nèi)化”有機結(jié)合，無論是作為學(xué)生的認(rèn)知方式，還是作為數(shù)學(xué)課程與教學(xué)改革的試驗田，都與當(dāng)下“具身認(rèn)知”理論相契合?！熬呱碚J(rèn)知”既強調(diào)學(xué)生的動手實踐，又強調(diào)學(xué)生的活動內(nèi)化。換言之，對于學(xué)生學(xué)習(xí)來說，既離不開合理地“做”，又離不開數(shù)學(xué)地“思”，“做思共生”是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的應(yīng)然選擇。

一、運用“實踐”的事實，促進學(xué)生數(shù)學(xué)“內(nèi)化”的轉(zhuǎn)變

瑞士著名教育心理學(xué)家、結(jié)構(gòu)主義哲學(xué)的肇始者皮亞杰曾經(jīng)這樣說，“兒童的思維是從動作開始的，切斷動作與思維的聯(lián)系，思維就不能得到發(fā)展”。在小學(xué)階段，學(xué)生的動手操作、數(shù)學(xué)實踐對于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說具有奠基性作用，因為這期間的學(xué)生處于從“直觀動作”向“具體形象”思維過渡的年齡、心理階段。針對這個階段兒童的認(rèn)知心理，皮亞杰說“動作是產(chǎn)生意義的基礎(chǔ)，是兒童獲得理解的唯一手段”。

學(xué)生的動手實踐是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的外顯，因此，教師要給予學(xué)生動手操作、實踐的自由，賦予學(xué)生動手操作、實踐的時空，運用學(xué)生動手操作、實踐的事實，促進學(xué)生數(shù)學(xué)內(nèi)化的轉(zhuǎn)變。事實上，學(xué)生能夠提出有價值、有意義的數(shù)學(xué)猜想，往往是基于學(xué)生經(jīng)驗的認(rèn)知，如果學(xué)生經(jīng)驗缺失，那么學(xué)生是很難提出有價值的數(shù)學(xué)猜想的。操作、實踐的過程就是積累學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)表象的過程，就是學(xué)生認(rèn)知感受、體驗的過程。

例如教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第8冊的“三角形的三邊關(guān)系”，筆者在教學(xué)伊始向?qū)W生提出這樣的問題：現(xiàn)在我給你三根小棒，你能圍成一個三角形嗎？學(xué)生興高采烈地回答：“能！”接著，筆者向?qū)W生提供了一組結(jié)構(gòu)性素材：①組：5厘米、5厘米、5厘米；②組：3厘米、4厘米、5厘米；③組：2厘米、3厘米、6厘米；④組：3厘米、3厘米、6厘米。學(xué)生分小組展開數(shù)學(xué)實驗、操作。他們驚訝地發(fā)現(xiàn)，第③組、第④組的三根小棒不能圍成三角形。學(xué)生先前的迷思概念、相異構(gòu)想被數(shù)學(xué)操作、實踐事實所打破，由此誕生出新問題：既然并不是任意三根小棒都能圍成三角形，那么，怎樣的三根小棒才能圍成三角形呢？在實踐事實前，學(xué)生開始思考三根小棒長度之間的關(guān)系。他們發(fā)現(xiàn)，第③組的三根小棒之所以圍不成三角形，是因為2厘米的小棒和3厘米的小棒合起來還沒有6厘米；第④組的三根小棒之所以圍不成三角形，是因為3厘米和3厘米的小棒合起來等于6厘米，并不能“拱”起來。圍繞著“拱”這個關(guān)鍵詞，筆者引導(dǎo)學(xué)生從三個方面展開思考：其一，三角形三條邊中每兩條邊都要“拱”起來，必須滿足怎樣的條件？其二，聯(lián)系“兩點之間，線段最短”，你認(rèn)為三角形三邊的關(guān)系可以怎樣概括？其三，給你一根小棒將其分成三段，最長的一段應(yīng)該從哪里剪？由此，將三角形三邊關(guān)系的探討、交流引向深入。

誠然，像“三角形三邊關(guān)系”這樣的問題，學(xué)生通過操作可能還會對某些問題產(chǎn)生爭論、形成意見分歧。如當(dāng)兩根小棒的長度和等于第三根小棒的時候，由于小棒本身的厚度、寬度，有學(xué)生也認(rèn)為可以圍成三角形。但如果沒有學(xué)生的實踐、操作，僅靠多媒體演示或者借助“兩點之間線段最短”來進行思辨，學(xué)生獲得的感受、體驗必定是膚淺的?！奥牭降倪^眼煙云，看到的銘記在心，做過的淪肌浹髓”，只有基于學(xué)生實踐基礎(chǔ)上的內(nèi)化才更有實際、更具建構(gòu)和生成的意義。

二、開拓“內(nèi)化”的空間，提升學(xué)生數(shù)學(xué)“實踐”的效能

“工欲善其事，必先利其器”，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“內(nèi)化”是學(xué)生實踐的目的與保障。如果學(xué)生的數(shù)學(xué)實踐缺乏內(nèi)化，那么，這樣的實踐、操作只是一種盲動。漫無目的地做還不如不做。如果學(xué)生能夠做到“想好了再做”“想明白了再做”“方案設(shè)計好了再做”，這樣內(nèi)化空間得到開拓，無疑將會提升學(xué)生數(shù)學(xué)實踐的效能。因此，在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，教師要根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知特質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生深度思考，比如應(yīng)該如何設(shè)計數(shù)學(xué)實驗的方案，數(shù)學(xué)操作需要哪些材料，數(shù)學(xué)實驗過程中需要控制哪些變量等。

教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第12冊“圓錐的體積”時，在學(xué)生動手操作展開數(shù)學(xué)實驗前，筆者分三個層次引導(dǎo)學(xué)生展開直覺思考，開拓學(xué)生內(nèi)化空間。

一是向?qū)W生出示長方體、正方體和圓柱體，引導(dǎo)學(xué)生思考：我們應(yīng)該將圓錐的體積轉(zhuǎn)化成什么幾何形體的體積？學(xué)生紛紛認(rèn)為，應(yīng)該轉(zhuǎn)化成圓柱的體積，因為只有圓柱和圓錐的底面都是圓形的。

二是向?qū)W生提供了四種規(guī)格的圓柱和圓錐：一是等底不等高的圓柱和圓錐；二是等高不等底的圓柱和圓錐；三是等底等高的圓柱和圓錐；四是不等底不等高的圓柱和圓錐。孩子們依據(jù)數(shù)學(xué)直覺，認(rèn)為應(yīng)該采用等底等高的圓柱和圓錐，因為這樣實驗可能更利于發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系。從科學(xué)上講，運用等底等高的圓柱和圓錐進行數(shù)學(xué)實驗，其底、高等數(shù)學(xué)實驗中的變量都變成了常量，因此這樣的選擇有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)實驗的效能。

三是向?qū)W生提供了這些數(shù)學(xué)實驗素材，如黃豆、沙子、水等。學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該選用水這種實驗素材，因為他們直觀地看到，黃豆之間的空隙較大，可能做起實驗來誤差大；沙子之間盡管空隙比較小，但還是存在著我們?nèi)庋鬯芸吹降目p隙，因此毫無疑問也存在一定的誤差；水的空隙非常小，我們的肉眼看不到水的縫隙，因此，學(xué)生紛紛選擇水這種實驗素材。

學(xué)生在數(shù)學(xué)實驗前以“思”作為先導(dǎo)，明確了應(yīng)該做什么和怎樣做之后，再動手實踐，這樣的實踐更具目的性、方向性、針對性和實效性。教學(xué)中，教師只有調(diào)動了學(xué)生的心智，學(xué)生才能更深刻地體悟到數(shù)學(xué)實驗素材與實驗現(xiàn)象之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。否則，學(xué)生可能由于對數(shù)學(xué)實踐過程中素材的結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)以及對實驗結(jié)果的影響等缺乏關(guān)注，導(dǎo)致學(xué)生之間產(chǎn)生一些不必要的、非數(shù)學(xué)的爭論，甚至有可能將學(xué)生的數(shù)學(xué)實踐帶入一種無序、失范、混亂的境地。endprint

學(xué)生數(shù)學(xué)內(nèi)化空間的拓展，得益于學(xué)生數(shù)學(xué)實踐前的“思”。長此以往，這種“思”能夠逐步培養(yǎng)起學(xué)生“數(shù)學(xué)地思維”的能力，能夠引導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)學(xué)的眼光”看問題，用“數(shù)學(xué)的大腦”思考、分析問題和用數(shù)學(xué)的方式解決問題等能力。

三、形成“共生”的取向，優(yōu)化學(xué)生“實踐”“內(nèi)化”的品質(zhì)

“共生”是生物學(xué)中的一個術(shù)語。所謂“共生”，是指生物之間相互依存的關(guān)系。在數(shù)學(xué)實踐和內(nèi)化過程中，援引“共生”這一術(shù)語，其目的是讓學(xué)生的實踐與內(nèi)化活動相互支撐、相互融通起來。腦科學(xué)研究表明，只有當(dāng)人腦左右兩個半球同時被激活，學(xué)生的效率才能大大提升。實踐與內(nèi)化在學(xué)生的心理建構(gòu)活動中往往是相互交織在一起的，實踐是內(nèi)化的支撐和證明，內(nèi)化是實踐的內(nèi)在指向和引領(lǐng)，實踐和內(nèi)化在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中是互為表里、相互促進的。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)往往始于手腦，現(xiàn)于身心，成于共生。正是在這個意義上，有專家認(rèn)為，學(xué)生必須“用手思考，用腦操作”。

例如教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第5冊“兩位數(shù)除以一位數(shù)”，筆者首先出示46÷2，學(xué)生借助小棒展開了實物操作。筆者發(fā)現(xiàn)，有學(xué)生先將零頭6根小棒平均分成2份，再將4捆小棒平均分成2份；也有學(xué)生先將4捆小棒平均分成2份，再將零頭6根平均分成2份。通過實踐操作，學(xué)生都能得到結(jié)果。接著筆者出示38÷2，有學(xué)生還是從十位開始分，結(jié)果每份1捆，還剩1捆，學(xué)生將這一捆打開，和零頭8根合起來變成了18根，平均分成2份，每份是9根，合起來是19；也有學(xué)生還是從個位開始分，將8平均分成2份后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)3捆不能平均分成2份了，這時學(xué)生通過“內(nèi)部言語”體驗到“先分十位”更合理、更方便，于是他們主動調(diào)整分的策略，將1捆和8根合起來，然后繼續(xù)平均分。最后筆者出示了72÷4，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，個位上的2不能平均分成4份，他們試圖從十位上借1捆來，但是借后發(fā)現(xiàn)，雖然個位已經(jīng)能夠平均分了，但十位上的7捆借走了1捆還剩6捆，卻不能平均分成4份。于是這部分學(xué)生自覺地調(diào)整平均分的策略，開始從高位分起。在這個過程中，學(xué)生邊實踐、邊思考、邊內(nèi)化，最終演繹生成出“兩位數(shù)除以一位數(shù)”的算法，建構(gòu)出 “豎式計算”的模型。

實踐與內(nèi)化的有機融合，讓學(xué)生真正做到了“做”中有“思”、“思”中有做，做思共存、做思共生?！白觥笔侵讣獾乃季S，“思”是頭腦的操作，“做”與“思”是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的“兩件寶”。學(xué)生在這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實踐內(nèi)化過程中，大腦的左右兩個半球被同時激活，他們健康用腦、和諧用腦、友善用腦，極大地優(yōu)化了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的品質(zhì)。

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是動手實踐與活動內(nèi)化結(jié)伴而行的過程，實踐為內(nèi)化提供了“外援幫助”，內(nèi)化為實踐提供了“內(nèi)源支撐”。教學(xué)中，教師要展開適切地導(dǎo)引，讓學(xué)生在實踐中內(nèi)化、在內(nèi)化中實踐，促成動手實踐與活動內(nèi)化的動態(tài)平衡，進而打造高效靈動的數(shù)學(xué)課堂，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)！endprint