冪級數(shù)在多復(fù)變函數(shù)論中的一個推廣

金帥+毛奕岑

【摘要】復(fù)變函數(shù)中研究解析函數(shù)主要有兩種方法：一個是由Cauchy提出的積分表示方法，另一種是由Weierstrass提出的冪級數(shù)方法.冪級數(shù)方法是研究解析函數(shù)的一種重要方法，是復(fù)變函數(shù)論中的主要內(nèi)容.本文將單復(fù)變解析函數(shù)的冪級數(shù)展式在多復(fù)變的乘積域中做了一個簡單的推廣，成為研究多復(fù)變?nèi)兒瘮?shù)的一個重要工具.

【關(guān)鍵詞】冪級數(shù)；多復(fù)變函數(shù)；全純函數(shù)；Cauchy積分公式；一致收斂

【基金項目】廣東科技學(xué)院科研項目（GKY-2016KYYB-15）.

一、引 言

復(fù)變函數(shù)主要包含三個方面的內(nèi)容：Cauchy積分定理、Weierstrass冪級數(shù)定理以及Riemann映射定理.其中Weierstrass提出的冪級數(shù)方法成為研究復(fù)變函數(shù)的一個重要工具.在單復(fù)變函數(shù)論中，我們熟知如果一個函數(shù)在某一點解析，那么它一定可以在這一點的某個鄰域展成冪級數(shù)[1]-[3].這是單復(fù)變函數(shù)論中解析函數(shù)的一種等價描述.多復(fù)變函數(shù)是單復(fù)變函數(shù)在多維情形的一種推廣，但性質(zhì)卻發(fā)生了很大的變化，例如，多復(fù)變函數(shù)論中比較經(jīng)典的Poincare定理和Hartogs延拓定理[4].在本文中，我們將把單復(fù)變解析函數(shù)的冪級數(shù)展式推廣到多復(fù)變乘積域的情形，得到了全純函數(shù)在乘積域的冪級數(shù)展式.

二、冪級數(shù)的一個推廣

在這里，我們先介紹多復(fù)變函數(shù)論的一些基礎(chǔ)知識[5].

三、結(jié) 論

本文主要利用單復(fù)變函數(shù)論的Cauchy積分公式與冪級數(shù)展式等工具，給出了多復(fù)變?nèi)兒瘮?shù)在乘積域上的冪級數(shù)展式，使之成為研究多復(fù)變?nèi)兒瘮?shù)的一個有效工具.

【參考文獻】

[1]譚小江，伍勝健.復(fù)變函數(shù)簡明教程[M].北京：北京大學(xué)出版社，2006：48-86.

[2]龔升.簡明復(fù)分析[M].北京：北京大學(xué)出版社，1996：16-28.

[3]劉燈明.解析函數(shù)泰勒展開的一種新方法[J].長春師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2016（4）：4-7.

[4]涂振漢.多元復(fù)分析[M].北京：科學(xué)出版社，2014：19-50.

[5]蕭蔭堂，陳志華，鐘家慶.多復(fù)變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，2013：1-8.endprint