強擬對偶模

鄭奇蓮

【摘要】本文引入并研究了“強擬對偶?！?稱ArtinR-模T是強擬對偶的，如果fdR（T）<∞，R^→HomR（T，T）是同構(gòu)及Exti>0R（T，T）=0.通過Matlis對偶，可以將強擬對偶模與對偶模聯(lián)系起來.

【關(guān)鍵詞】強擬對偶模；對偶模；Matlis對偶

一、引言及準(zhǔn)備工作

設(shè)R是交換，局部，Noether環(huán).m是極大理想，residue域k=Rm.R的m-緊致完備化記為R^，k的內(nèi)射包E=ER（k），Matlis對偶函子是（-）∨=HomR（-，E）.

對偶模是Grothendick于1967年在交換Noether環(huán)上引入的，這個概念在交換代數(shù)和代數(shù)幾何領(lǐng)域，特別是在模和群的表示理論中有廣泛的發(fā)展和應(yīng)用.然而，保證對偶模的存在需要對環(huán)有較苛刻的要求，比如，局部Gorenstein環(huán)，局部Artin環(huán)（見[8，（15.5），（15.6）]等）.而半對偶模在一般環(huán)上是大量存在的，作為對偶模的推廣，半對偶模近年來受到了許多學(xué)者的廣泛關(guān)注（見[1，5，6，11，12，13]等）.

基于以上理論，B.Kubik在2010年引入了對偶模（見[3]）.稱ArtinR-模T是擬對偶的，如果R^→HomR（T，T）是同構(gòu)及Exti>0R（T，T）=0.通過Matlis對偶，擬對偶模與半對偶模可以建立其等價關(guān)系.

很自然地會產(chǎn)生這樣的問題：通過Matlis對偶，什么樣的模可以與對偶模建立起類似于擬對偶模與半對偶模的等價關(guān)系？本文的主要目的是引入這種模，稱之為“強擬對偶?！?

稱ArtinR-模T是強擬對偶的，如果fdR（T）<∞，R^→HomR（T，T）是同構(gòu)及Exti>0R（T，T）=0.通過Matlis對偶，強擬對偶模與對偶模之間可以建立等價關(guān)系.

根據(jù)半對偶模的做法，我們用強擬對偶模定義了其他的模類.例如，對于R-模，我們分別考慮“導(dǎo)出M-自反R-?！鳖怗fullM（R）以及Noether模和Artin模的子模類：GnoethM（R）和GartinM（R）.我們也考慮了Auslander類AM（R）和Bass類BM（R）的子類.定義見第二部分.它們之間的關(guān)系將在下邊的結(jié)果中列出來.證明在第三部分中給出.

【參考文獻】

[1]A.Frankid and S.Sather-Wagastaff，The set of semidualizing complexes is a nontrivialmetric space[J].Algebra，2007（308）：124-143.

[2]B.Kubik，M.J.Leamer and S.Sather-Wagastaff，Homology of artinian and mini-max modules，I[J].Pure.Appl.Algebra，2011（215）：2486-2503.