初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)之關(guān)于“最值”問(wèn)題的探索

所謂“最值”問(wèn)題，即求一個(gè)變動(dòng)的數(shù)量在某范圍內(nèi)取最大或最小值的問(wèn)題?？v觀中考命題體型中，求“最值”一直是考試命題的熱點(diǎn)問(wèn)題。求“最值”的問(wèn)題是一個(gè)綜合能力的考查，從內(nèi)容上來(lái)看它涉及初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)；從方法上來(lái)說(shuō)，它涉及代數(shù)式的變形與變換，數(shù)形結(jié)合，換元法，構(gòu)造法，分類討論，內(nèi)容與方法上的轉(zhuǎn)換等；從能力角度來(lái)說(shuō)，它要求有一定的分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力。所以無(wú)論從考試的角度及能力培養(yǎng)上，在學(xué)習(xí)中應(yīng)高度重視。下面將結(jié)合一些典型的例子，淺談“最值”問(wèn)題的解題策略。

本文就圍繞“最值”中涉及到函數(shù)和幾何兩大模型展開(kāi)教學(xué)探索。

一、“最值”問(wèn)題大都?xì)w于兩類基本模型：

1、歸于函數(shù)模型：即利用一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的對(duì)稱性及增減性，確定某范圍內(nèi)函數(shù)的最大或最小值。

2、歸于幾何模型，這類模型又分為兩種情況：

（1）歸于“兩點(diǎn)之間的連線中，線段最短”。凡屬于求“變動(dòng)的兩線段之和的最小值”時(shí)，大都

應(yīng)用這一模型。

直線l同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，在直線l上存在點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小.

條件：如下左圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)P.問(wèn)題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小.

方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連結(jié)A'B交l于點(diǎn)P，則PA+PB=A'B的值最?。ú槐刈C明）.

（2）歸于“三角形兩邊之差小于第三邊”凡屬于求“變動(dòng)的兩線段之差的絕對(duì)值最大值”時(shí)，大都應(yīng)用這一模型。

直線l兩旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，在直線l上存在點(diǎn)P，使得︱PA-PB︱的值最大.

條件：如下右圖，A、B是直線兩旁的兩個(gè)定點(diǎn).問(wèn)題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使︱PB-PA︱的值最小.

方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接BA'，并延長(zhǎng)BA'與直線l的交點(diǎn)即為P，則︱PA-PB︱的最大值為 AB.（不必證明）.

二、模型應(yīng)用：

1、利用函數(shù)模型求最值

例1、某市某生態(tài)果園今年收獲了15噸李子和8噸桃子，要租用甲、乙兩種貨車共6輛，及時(shí)運(yùn)往外地，甲種貨車可裝李子4噸和桃子噸，乙種貨車可裝李子噸和桃子3噸.

（1）共有幾種租車方案？

（2）若甲種貨車每輛需付運(yùn)費(fèi)1000元，乙種貨車每輛需付運(yùn)費(fèi)700元，請(qǐng)選出最佳方案，此方案運(yùn)費(fèi)是多少.

解：（1）設(shè)租用甲種貨車x輛，依題意得：4x+（6-x）≥15

x+3（6-x）≥8

解不等式得不等式的解集是3≤x≤5

因?yàn)槿≌麛?shù)，所以x=3，4，5則共有三種方案。

（2）設(shè)需要的總運(yùn)費(fèi)為y元，則y=300x+4200，且y隨x增大而增大，

即當(dāng)x=3時(shí)，y有最小值=5100元

例2、農(nóng)民張大伯為了致富奔小康，大力發(fā)展家庭養(yǎng)殖業(yè)。他準(zhǔn)備用40m長(zhǎng)的木欄圍一個(gè)矩形的

羊圈，為了節(jié)約材料同時(shí)要使矩形的面積最大，設(shè)計(jì)了如圖一個(gè)矩形的羊圈。他利用了自家房屋一面長(zhǎng)15m的墻，設(shè)AB的長(zhǎng)為x m，羊圈的面積為y m2 ，

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（要指出自變量x的取值范圍）

（2）函數(shù)的性質(zhì)及草圖求y的最大值

解：（1）y=-2x2+40x （12.5≤x<20）

（2）y=-2x2+40x=-2（x-10）2+200

∵-2<0 ，且當(dāng)12.5≤x<20時(shí)，y隨x的增大而減小

∴當(dāng)x=12.5時(shí)，y的最大值=187.5 m2

說(shuō)明：可以看出，函數(shù)是解決“數(shù)量”最值問(wèn)題的最基本的方法。

2、利用幾何模型求最值

（1）歸入“兩點(diǎn)之間的連線中，線段最短”

例3、 如圖，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，AO⊥OB，∠AOC=60°，P是 OB上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值是___________；

說(shuō)明：本題的關(guān)鍵在于將“在直線上確定一點(diǎn)，使它到直線同側(cè)的兩點(diǎn)距離之和最短”，轉(zhuǎn)化為“直線異側(cè)兩點(diǎn)距離之和最短”，進(jìn)而再用“兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短。

（2）歸于“三角形兩邊之差小于第三邊”

例4、 已知在拋物線y=x2-2x上有一點(diǎn)A（3，3），試問(wèn)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使∣PO-PA∣的值最大。若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：設(shè)存在點(diǎn)P，使得∣PO-PA∣的值最大。

拋物線y=x2-2x的對(duì)稱軸為直線，x=1

設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，則點(diǎn)B（2，0），

∵點(diǎn)O、點(diǎn)B關(guān)于直線x=1對(duì)稱，

∴PO=PB

要使得∣PO-PA∣的值最大，即是使得∣PB-PA∣的值最大，

根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知，當(dāng)P、B、A三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，的值最大，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為p（1，-3）（本題也可以作A點(diǎn)關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)）。

說(shuō)明：這里將求“兩線段之差的最大值”，借助“三角形兩邊之差小于第三邊”轉(zhuǎn)化為求一條特殊線段的長(zhǎng)，其間，還借助了拋物線對(duì)稱軸的性質(zhì)。