從《有理數(shù)》一章中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是溝通數(shù)學(xué)問(wèn)題與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)基本方法之間聯(lián)系而產(chǎn)生的解題思路的想法。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最終應(yīng)落在對(duì)數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟和掌握上，做到舉一反三，觸類旁通。在學(xué)習(xí)《有理數(shù)》一章時(shí)，我們應(yīng)掌握以下四種數(shù)學(xué)思想。

一、分類思想

根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)和要求，按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，把所要研究和解決的問(wèn)題分為幾種情況，然后再逐一研究和解決的數(shù)學(xué)思想叫分類思想。在《有理數(shù)》一章中，有理數(shù)的加法法則和乘法法則中就含有分類思想，分為兩數(shù)同號(hào)，兩數(shù)異號(hào)。

【例1】比較大?。?）2 與3 ；（2）│ │+│ │與│ + │。

解：①當(dāng) >0時(shí)，2 <3 ；當(dāng) =0時(shí)，2 =3 ；當(dāng) <0時(shí)，2 >3 ；②當(dāng) 、 同號(hào)時(shí)，│ │+│ │=│ + │；當(dāng) 、 異號(hào)時(shí)，│ │+│ │>│ + │用分類思想，就是化整為零，化大為小，使每個(gè)問(wèn)題變得容易理解。

二、化歸思想

將所要研究和解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過(guò)的老問(wèn)題來(lái)處理的一種數(shù)學(xué)思想叫化歸思想。它是研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想。通過(guò)化歸，陌生的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題；通過(guò)化歸，抽象的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題；通過(guò)化歸，復(fù)雜的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

在《有理數(shù)》一章中，處處體現(xiàn)著這種思想，如在有理數(shù)加法的基礎(chǔ)上，利用相反數(shù)的概念化歸出減法法則，減去這個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，從而使加、減法統(tǒng)一成加法，又如利用絕對(duì)值的性質(zhì)，將有理數(shù)的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成算術(shù)運(yùn)算等。

【例2】計(jì)算①（1.125）+（- ）+（- ）+（-0.6）；②2+│-3│-4

解：①原式=（ ）+（- ）+（- ）+（- ）= - - - =1-4=-3；②原式=2+3-4=1

三、數(shù)形結(jié)合的思想

借助于數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化來(lái)研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想叫數(shù)形結(jié)合的思想。“數(shù)”準(zhǔn)確地反映“形”的大小性質(zhì)；“形”能直觀地啟迪“數(shù)”有關(guān)計(jì)算方法，數(shù)形結(jié)合不僅可以使枯燥無(wú)味的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得生動(dòng)形象有趣，而且解決起來(lái)簡(jiǎn)便、快捷。

《有理數(shù)》一章中數(shù)軸的引入使得數(shù)與形（數(shù)軸上的點(diǎn)）聯(lián)系起來(lái)，這是數(shù)與形的初步結(jié)合，例如，利用數(shù)軸來(lái)說(shuō)明相反數(shù)就是表示到原點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，這樣的點(diǎn)往往有兩個(gè)，它們的區(qū)別僅僅是符號(hào)不同。這樣就對(duì)相反數(shù)的意義有了深刻的、本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。再如利用數(shù)軸來(lái)進(jìn)行有理數(shù)的大小比較，就是借助“形”來(lái)研究“數(shù)”的。

【例3】設(shè) 、 均為有理數(shù)，且 >0， <0， + >0，試用“<”連接- 、 、- 、

解：由 >0， <0， + >0，得│ │>│ │故- 、 、- 、 在數(shù)軸上的位置可表示為（如圖1）：

故- < <- <

【例4】有理數(shù) 在數(shù)軸上的位置如圖2所示，化簡(jiǎn)│ - │+│ + │

解：由圖可知： <0， >0故 - <0， + <0，│ - │+│ + │= -（ - ）-（ + ）= - + - - =-2

四、逆向思維的思想

采取與傳統(tǒng)和習(xí)慣相反的方法來(lái)思考問(wèn)題，從而發(fā)明和找到解題方法和途徑的數(shù)學(xué)思想叫做逆向思維的思想。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就要善于逆向思維，這樣可以沖破習(xí)慣勢(shì)力的束縛，消除思維定勢(shì)的影響，跳出常規(guī)方法的圈子，從而合理巧妙地解題。

【例5】計(jì)算① ；②

解：①原式= = ；

②原式= = =1994-1993=1

本題中第（1）小題是逆用了乘法分配律，第（2）小題是把19941994拆成19940000與1994的和，19931993拆成19930000與1993的和，再逆用分配律，約去公因式（104+1）很快地得出結(jié)果。

成功的教學(xué)不僅教會(huì)學(xué)生知識(shí)，而且要教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)，即，不僅要學(xué)生“學(xué)會(huì)”，而且要學(xué)生會(huì)學(xué)，要學(xué)生會(huì)獨(dú)立、主動(dòng)地去獲取已有知識(shí)，會(huì)創(chuàng)造性地探索新的知識(shí)。要學(xué)生“會(huì)學(xué)”數(shù)學(xué)，就必須讓學(xué)生掌握基本數(shù)學(xué)思想和方法，會(huì)提出問(wèn)題、思考問(wèn)題。