探求最值問題的解決方案

有關(guān)圓的最值問題，往往知識面廣、綜合性大、應(yīng)用性強(qiáng)，而且情境新穎，能很好地考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì)，本文按知識點(diǎn)分類，以近幾年中考題為例，歸納總結(jié)此類試題的解題方法。

一、直線外一點(diǎn)到直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短

例1：（2012寧波）如圖1，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2 ，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)EF，則線段EF長度的最小值為_______.

分析：由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑AD最短.

解：如圖2，連結(jié)OE，OF，過O點(diǎn)作OH⊥EF，垂足為H.∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2 ，∴AD=BD=2，即此時(shí)圓的直徑為2。由圓周角定理，可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE·sin∠EOH= .由垂徑定理，可知EF=2EH=

點(diǎn)評：本題是一道融垂徑定理、圓周角定理、解直角三角形于一體的綜合應(yīng)用題.關(guān)鍵是根據(jù)運(yùn)動(dòng)變化，找出滿足條件的最小圓.

二、兩點(diǎn)之間線段最短

例2：（2014三明）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于點(diǎn)D，P是 CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，則AP的最小值是_______.

分析：如圖4，取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，交半圓于點(diǎn)P2，在半圓上取點(diǎn)P1，連結(jié)AP1，EP1，可得，AP1+EP1>AE，即AP2是AP的最小值.再根據(jù)勾股定理求出AE的長，然后減掉半徑即可.

解：如圖4，取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，交半圓于點(diǎn)P2，在半圓上取點(diǎn)P1，連結(jié)AP1，EP1，可得，AP1+EP1>AE，∵ ，P2E=1.∴AP2 .即AP2是AP的最小值.

點(diǎn)評：本題考查了勾股定理、最短路徑問題，利用兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵.

三、利用軸對稱，求直線上一點(diǎn)到直線同側(cè)兩點(diǎn)的線段之和最短

例3 （2014張家界）如圖5，AB、CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB=8，CD=6，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)E，CD⊥MN于點(diǎn)F，P為EF上的任意一點(diǎn)，則PA+PC的最小值為_______.

分析A、B兩點(diǎn)關(guān)于MN對稱，因而PA+PC=PB+PC，即當(dāng)B、C、P在一條直線上時(shí)，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值.

解：如圖6，連接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于點(diǎn)H.根據(jù)垂徑定理，得到

在Rt△BCH中，根據(jù)勾股定理得到BC=7 ，則PA+PC的最小值為7 .

點(diǎn)評：正確理解BC的長是PA+PC的最小值，是解決本題的關(guān)鍵.

例4（2014東營）如圖7，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB=8cm， ，M是AB上一動(dòng)點(diǎn)，則CM+DM的最小值是_______cm.

解析：如圖8，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)C'，連結(jié)C'D與AB相交于點(diǎn)M，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，點(diǎn)M為CM+DM的最小值時(shí)的位置，根據(jù)垂徑定理可得 ，然后求出C'D為直徑，從而得解.∴CM+DM的最小值是8cm.

點(diǎn)評：題考查了軸對稱確定最短路線問題，垂徑定理，熟記定理并作出圖形，判斷出CM+DM的最小值等于圓的直徑的長度是解題的關(guān)鍵.

四、利用切線的性質(zhì)求最小值

例5（2010蘇州）如圖9，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，2），⊙C的圓心坐標(biāo)為（-1，0），半徑為1.若D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最小值是（ ）

解析：根據(jù)三角形的面積公式，△ABE底邊BE上的高AO不變，BE越小，則面積越小，可以判斷當(dāng)AD與⊙C相切時(shí)，BE的值最小.根據(jù)勾股定理求出AD的值，然后根據(jù)相似三角形求出OE的長度，代入三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解.

如圖10，由題意知道當(dāng)DA是圓C的切線時(shí)，OE最短，此時(shí)△ABE面積最小.AC=2+1=3.CD=1.

故選C.

點(diǎn)評：本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出OE的長度是解題的關(guān)鍵.

以圓為載體的最值問題在中考試題中通常以選擇、填空的壓軸題頻繁出現(xiàn).這類試題“小而精”，集多個(gè)知識點(diǎn)于一體，能全方位地考查學(xué)生的基本知識、基本技能、解題技巧、以及數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，成為中考試題中的一朵奇葩，希望同學(xué)們在平時(shí)學(xué)習(xí)中，多注意練習(xí)總結(jié)這類題型的解題方法.www.czsx.com.cn