數(shù)學(xué)解題中的思考

（一）分類討論的思想：

所謂分類討論就是分別歸類再進(jìn)行討論的意思，它體現(xiàn)了化整為零，化零為整與歸類整理的思想，它：揭示著數(shù)學(xué)事物之間的內(nèi)在規(guī)律，學(xué)會分類有助于學(xué)生總結(jié)歸納所學(xué)的知識，使所學(xué)的知識條理化，提高思維的概括性，從而提高分析問題和解決問題的能力。

我們在運(yùn)用分類討論的思想解決問題時，首先要審清題意，認(rèn)真分析可能產(chǎn)生的不同因素，進(jìn)行討論時要確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，每一次分類只能按照一個標(biāo)準(zhǔn)來分，不能重復(fù)也不能遺漏，另外還要逐一認(rèn)真解答。

案例1：某服裝廠生產(chǎn)一種西裝和領(lǐng)帶。西裝每套定價200元，領(lǐng)帶每條定價40元，廠方在開展促銷活動期間向顧客提供兩種優(yōu)惠方案。方案一：買一套西裝送一條領(lǐng)帶，方案二：西裝領(lǐng)帶均按定價打9折（兩種優(yōu)惠方案不可同時采用）某店老板要去廠里購買20套西裝和若干條領(lǐng)帶（超過20條）請幫店老板選擇一種較省錢的購買方案？

分析：因為已知條件中未明確購買領(lǐng)帶的數(shù)量，因而較省錢的購買方案也是不確定的，而是由不同的領(lǐng)帶購買數(shù)量決定的

解：設(shè)店老板需購買領(lǐng)帶x條

方案一購買需要付款200×20+（x-20）×40=40x+3200 （元）

方案二購買需要付款（200×20+40x）×0.9=36x+3600 （元）

假設(shè) y=（40x+3200） -（36x+3600） = 4x-400 （元）

一.當(dāng)y<0時，即20

二.當(dāng)y=0時，即x=100， 方案一和方案二同樣省錢

三.當(dāng)y>0時，即x>100， 方案二比方案一省錢

答：當(dāng)購買領(lǐng)帶超過20條而不到100條時，方案一省錢，當(dāng)購買領(lǐng)帶等于100條時，兩種方案一樣省錢，當(dāng)購買領(lǐng)帶超過100條時，方案二省錢

（二）分類的原則：

（1）.同一性原則

分類應(yīng)該按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，即每次分類不能同時使用幾個不同的分類依據(jù)，否則會出現(xiàn)重復(fù)的現(xiàn)象，例如有些同學(xué)認(rèn)為三角形可以分為等腰三角形，等邊三角形，銳角三角形，鈍角三角形，直角三角形，這樣的分類是錯誤的，不但以邊來分類而且以角來分類，等腰三角形可以是銳角三角形，鈍角三角形或直角三角形，這樣的分類犯了標(biāo)準(zhǔn)不同的錯誤

（2）互斥性原則

分類后的每一個子類應(yīng)該具備互不相容的原則，即不能出現(xiàn)有一項既屬于這一類又屬于那一類。例如學(xué)校舉行運(yùn)動會，規(guī)定每個學(xué)生只能參加一項比賽，初一六班的6名同學(xué)報名參加100和200米的賽跑，其中有4人參加100米比賽，3人參加200米比賽，那么就有1人既參加100米又參加200米比賽，這道題目分類的互斥性原則

（3）完整性原則

分類后的每一個子類合并起來應(yīng)該等于總類，否則會出現(xiàn)遺漏的現(xiàn)象。例如某人把實數(shù)分為正實數(shù)和負(fù)實數(shù)，這樣的分類是不完整的，因為零也是實數(shù)，但是零既不是正實數(shù)也不是負(fù)實數(shù)。

（4）多層性原則

分類后的子類還可以繼續(xù)再進(jìn)一步分類，直到不能再分為止。例如實數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)，有理數(shù)可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)可以分為正整數(shù)，零和負(fù)整數(shù)

（三） 分類討論的應(yīng)用：

（1）分類討論在應(yīng)用題中的應(yīng)用

案例2：學(xué)校建花壇余下24米漂亮的小圍欄，經(jīng)總務(wù)部門同意，初一五班的同學(xué)準(zhǔn)備在自己教室后的空地上建一個一面靠墻，三面利用這些圍欄的花圃，請你設(shè)計一下，使花圃的長比寬多3米，求出花圃的面積是多少？

分析：因為已知條件中并沒有明確長和寬的位置，所以需要對長和寬的位置進(jìn)行討論

解：（1）假設(shè)平行于墻的一邊為長x米，則寬為（x-3）米，依題意可列方程

x+2（x-3）=24

解方程得x=10

經(jīng)檢驗，符合題意

長為10米，寬為7米，面積為70平方米

（2）假設(shè)垂直于墻的一邊為長x米，則寬為（x-3）米，依題意可列方程

2x+ （x-3）=24

解方程得x=9

經(jīng)檢驗，符合題意

長為9米，寬為6米，面積為54平方米

答：當(dāng)平行于墻的一邊為花圃的長時花圃的面積是70平方米，當(dāng)垂直于墻的一邊為花圃的長時花圃的面積是54平方米。

學(xué)生在解此類題的錯誤往往是因為不認(rèn)真審題，沒有弄清已知條件中的各種可能情況而急于解題所造成，只有審清了題意，全面系統(tǒng)地考慮問題，才可以確定出各種可能情況，解答此類問題就不會造成漏解

（2）分類討論在絕對值方程中的應(yīng)用

關(guān)于絕對值的問題，往往要將絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式看成一個整體，將這個整體分為正數(shù)，負(fù)數(shù)，零三種，再分別進(jìn)行討論。

案例3：求方程 ︳x﹢2︳﹢︳3﹣x︳= 5的解

分析：本題應(yīng)該對于代數(shù)式 ︳x﹢2︳應(yīng)分為x=﹣2，x﹥﹣2，x﹤﹣2，對于︳3﹣x︳應(yīng)分為x=3，x﹥3，x﹤3，把上述范圍畫在數(shù)軸上可見對這一問題應(yīng)劃分以下三種情況分別討論

解：①當(dāng)x≦﹣2時，原方程變?yōu)椹仼vx﹣2﹚﹢3﹣x=5，解得x=0與x≦﹣2產(chǎn)生矛盾，故在x﹤﹣2時原方程無解

②當(dāng)﹣2﹤x≦3時，原方程為x﹢2﹢3﹣x=5恒成立，故滿足2﹤x≦3的一切實數(shù)x都是此方程的解

③當(dāng)x﹥3時，原方程為x﹢2﹣﹙3﹣x﹚=5，解得x=3這與x﹥3產(chǎn)生了矛盾，故在x﹥3時原方程無解

綜上所述，原方程的解是滿足2﹤x≦3的一切實數(shù)。

（3）分類討論在解含有參數(shù)問題中的應(yīng)用

所有含有參數(shù)的問題都要進(jìn)行分類討論，而且要對參數(shù)的不同取值范圍分類討論，不能有重復(fù)和遺漏。

案例4：若關(guān)于x的分式方程x-ax-1-3x=1無解，求a的值

解：方程兩邊同乘以x﹙x﹣1﹚，得﹙x﹣a﹚x﹣3﹙x﹣1﹚=x﹙x﹣1﹚

整理得﹙a﹢2﹚x=3

①當(dāng)a﹢2=0即 a=﹣2時，方程無解，則原方程也無解

②當(dāng)x=1時方程無解，此時a﹢2=3，得a=1

③當(dāng)x=0時方程無解，此時﹙a﹢2﹚×0=3無解

綜上所述，a的值為1或﹣2

（4）分類討論在解幾何題中的應(yīng)用

分類討論思想在幾何題中有廣泛的應(yīng)用，在有關(guān)點與線的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，等腰三角形等的題目中都需要進(jìn)行分類討論。

案例5：等腰三角形中，有一個角是另一個角的4倍，求等腰三角形的一個底角的度數(shù)？

分析：本題應(yīng)該分為底角是頂角的4倍和頂角是底角的4倍兩種情況進(jìn)行討論

解：（1）當(dāng)一個底角的度數(shù)為x度，頂角是4x度時

依題意列方程x﹢x﹢4x=180解得x=30，底角等于30度

（2）當(dāng)一個底角的度數(shù)為4x度，頂角是x度時

依題意列方程4x﹢4x﹢x=180解得x=20，底角等于80度

綜上所述，等腰三角形的底角為30度或者80度。

（5）分類討論在解概率題中的應(yīng)用

在求簡單事件的概率時，我們通常會用“列表”或者是“畫樹狀圖”的方法來列舉所有機(jī)會均等的結(jié)果，然后找出該事件所包含的結(jié)果，從而求出該事件發(fā)生的概率。事實上“列表”或者是“畫樹狀圖”的方法就是分類討論的思想方法最直接的體現(xiàn)。

案例6：同時拋擲3枚普通的硬幣一次，問得到“兩正一反”的概率是多少

分析：每一個硬幣都有正面和反面，我們可以用畫樹狀圖的方法分析先拋第一枚，再拋第二枚，最后拋第三枚，可知共有8種機(jī)會均等的結(jié)果它們是（正正正）（正正反）（正反正）（反正正）（反反正）（反正反）（正反反）（反反反），其中兩正一反的結(jié)果有3種，可以求得概率是八分之三。

（6）分類討論在解函數(shù)題中的應(yīng)用

分類討論的思想方法貫穿于初中階段學(xué)過的所有的函數(shù)中，一次函數(shù)y=kx﹢b﹙k≠0﹚要對k，b取值范圍進(jìn)行分類討論，反比例y=kx﹙k≠0﹚函數(shù)要對k的取值范圍進(jìn)行分類討論，二次函數(shù)y=ax2﹢bx﹢c﹙a≠0﹚要對a的取值范圍進(jìn)行分類討論

案例7：求二次函數(shù)y=ax2﹢﹙3﹣a﹚x﹢1﹙a≠0﹚與x軸只有一個交點，求a的值與交點坐標(biāo)

解：①當(dāng)a=0時，此函數(shù)為一次函數(shù)y=3x﹢1與x軸只有一個交點，坐標(biāo)是（-13，0）

②當(dāng)a≠0時，此函數(shù)是二次函數(shù)，因二次函數(shù)與x軸只能有一個交點則判別式為零

﹙3﹣a）2﹣4a = 0

解得a=1或a=9

當(dāng)a=1時，與x軸的交點坐標(biāo)是（﹣1，0）

當(dāng)a=9時，與x軸的交點坐標(biāo)是（13，0）

【結(jié)語】分類討論思想的應(yīng)用非常廣泛，涉及到初中的全部知識點，這里不能一一列舉出來，分類討論思想的關(guān)鍵是分清引起分類的原因，明確分類討論的事物和標(biāo)準(zhǔn)，按可能出現(xiàn)的所有情況做出準(zhǔn)確分類，再分門別類加以求解，最后將各類結(jié)論綜合歸納，得出正確答案。數(shù)學(xué)中的分類思想是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想，通過加強(qiáng)數(shù)學(xué)分類思想的訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性，縝密性，科學(xué)性，這種優(yōu)良的思維品質(zhì)對學(xué)生的未來必將產(chǎn)生深刻和久遠(yuǎn)的影響。