探索使用數(shù)軸理解近似數(shù)

一、學生在數(shù)的近似中解題困難引起思考

1.數(shù)的估計中，學生碰到的問題

在四年級上冊教學中，學生們會碰到這樣一種類型的問題：一個數(shù)改寫成萬作單位的數(shù)時約等于10萬，問這個數(shù)最大是多少？最小是多少？無論哪一屆學生在解決這個問題時都會遇到困難，我們教師在引導過程中也會有好幾種方法。但盡管教師講解過多遍，一些學生在碰到具體問題時還是會手足無措，也有一些學生只是記住了特點，最大的末尾是4999的形式，最小的末尾是5000的形式。其實學生對于約等于10萬這個近似數(shù)還是不夠理解的。

到了四年級下冊的時候，小數(shù)的近似數(shù)時，學生對于約等于2.7的二位小數(shù)最大是多少，最小是多少也會讓學生產(chǎn)生困難，如果問約等于2.7的三位小數(shù)最大值和最小值是多少學生更是感到麻煩，以及在理解近似數(shù)2與近似數(shù)2.0的差異上，多半學生并不能完全明白。

2.在詢問學生方法時，筆者碰到的困惑

問學生約等于10萬的最大值和最小值是多少，成績好的學生他能回答清幾個思路：①約等于10萬的數(shù)有可能比10萬大，也有可能比10萬小。②比10萬大的數(shù)四舍約等于10萬，所以是10萬多，比10萬小的數(shù)五入到10萬，所以是9萬多。③要看四舍和五入關鍵是千位，四舍最大填4，五入最小填5。④后面幾個數(shù)位不影響近似，所以這幾個數(shù)位上要最大就填9，要最小就填0。如果學生能有邏輯解決這個問題固然是很好，體現(xiàn)出了學生的邏輯推理能力，而給學生的是四舍五入的一種規(guī)則，但是我們?yōu)槭裁匆眠@個規(guī)則呢？難道生活中我們對于約等于10萬是一種推理嗎？筆者認為這并不是約等于10萬的全部意義，近似數(shù)的認識，應該存在著概念教學，而不是變成了規(guī)則教學，數(shù)的概念教學就不應該完全推理化，還應該有數(shù)感的培養(yǎng)，學生不應該完全恪守于規(guī)則化地解題。

3.以理解數(shù)的概念教學為目的，提出用數(shù)軸配合探究近似數(shù)的大小。

數(shù)（shù）的概念是從數(shù)（shǔ）開始的，由1開始，我們在認識1時是從實際一個物體開始的，可以是一個人、一只貓、一棵樹、一條船等等形象中抽象出數(shù)字1，那么近似數(shù)也是從生活中直接抽象出來的，比如有10多個人在打掃衛(wèi)生，學校大約有1000多名師生等概念。到了高年級我們把數(shù)的大小表示在數(shù)軸上，引出了負數(shù)、無理數(shù)等概念，基于這些原因，本人覺得在教學四年級近似數(shù)的過程中，可以嘗試利用數(shù)軸進行探究。

二、近似數(shù)教學中幾種方法的對比

對于同一個問題，我們可以對比不同的講解方式：

求近似到萬位約是10萬的整數(shù)最大和最小各是多少？

教法一：列舉法

師：請你寫出幾個近似到萬位約等于10萬的整數(shù)。

生寫出幾個

師：有沒有比這個更大的？

生一次一次寫大來，直到寫出104999

師：還能再大么？

生：不能了，因為再大就是105000，105000是約等于11萬的。

師：所以約等于10萬最大的是104999，我們可以記牢它是999結尾的，再多一就變5000了，會約等于11萬的。那么有沒有人能找到最小的呢？

然后生列舉，直到找到95000

師：還能再小么？

生：不能了，再小就約等于9萬了。

師總結，讓學生記憶最小數(shù)的特點，都是0結尾的。

評析：這樣的方法雖然也能解決問題，但是整個過程學生的思考是隨機散亂的，沒有形成系統(tǒng)的概括性的方法指導，學生碰到類似問題時還是會先毫無方向地試一試，很多學生不能有效地找到最大或最小的數(shù)，它需要學生過分地依賴自己的記憶能力。

教法二：推理法

師：約等于10萬的數(shù)，比10萬大還是比10萬??？

生：都有可能的，有可能比10萬大，也有可能比10萬小。

師：比10萬大，是怎樣的數(shù)？

生列舉幾個，師打斷：也就是10萬多的，那10萬多的數(shù)要約等于10萬后面的部分需要四舍還是五入？

生：要四舍的。

師：那四舍里最大是多少？

生：4，也就是千位上要4。

師：那后面幾位可以填什么？

生：可以填9

師：我們找到了最大的數(shù)，它是四舍得到的。那么最小的數(shù)怎么找？

生：應該比10萬小，在9萬多，必須要五入，所以千位上應該是5，最小就應該95000。

師總結方法，最大的要四舍，所以下一位要求4，后面幾位要大就填9；最小的要五入，所以下一位是5，后面幾位要小就填0。

評析：利用推理的方法，避免了無目的的列舉，使思考變得有方向性，明確了最大應該是比10萬多的，甚至是四舍得出來的；最小應該是比10萬小的，需要五入進位成10萬的，于是不難找到正確答案。但是它過分強調了約10萬的抽象意義，忽略了約等于10萬的形象概念，對于思維能力較弱的學生仍舊只依靠記憶的方式解決問題。

教法三：數(shù)軸法

出示數(shù)軸圖1，師：說說這個點所表示的數(shù)大約是多少？

生：10萬（或者說10萬多的數(shù)）

師：怎么看出它約等于10萬的？

生：這個數(shù)比10萬多一點點，它沒有超過10萬后面的半格，相比于11萬它更接近與10萬。

出示數(shù)軸圖2，師：那么這個點所表示的數(shù)大約是多少？

生：也是10萬

師：這個點與剛才那個點有什么不一樣？為什么都約等于10萬？

生：這個點雖然和剛才那個點不一樣，但是它也在靠近10萬的一側，所以也可以約等于10萬。

生：雖然這個點表示的數(shù)比10萬小，但它還是很接近10萬。

師：你們的意思是說靠近10萬這個范圍的都可以約等于10萬？你能在數(shù)軸上涂一涂約等于10萬的范圍么？

師：請一個同學上來說一說，涂色的這個框表示什么意思？

生：就是表示約等于10萬的一個范圍。

師：那么最右邊表示多少？最左邊表示多少？

生：最右邊表示10萬5000，最左邊是9萬5000。

生：約等于10萬的數(shù)是從95000到105000。

師：5000是怎么得出來的？

生：5000就是剛剛一半的地方（1萬的一半）

師：那如果是約等于11萬的數(shù)，應該怎樣的范圍？

生：10萬5000到11萬5000。

師：那10萬5000剛剛不是約等于10萬的么？為什么現(xiàn)在約等于11萬了？10萬5000到底應該約等于哪個呢？

生：我認為都可以……

生：我認為10萬5000已經(jīng)是一個整千數(shù)了，它既不能約等于10萬也不能約等于11萬。

生：我認為四舍五入，5000應該往大的方向估計，所以要約等于11萬的。

師：是的，因為5000多一點點的數(shù)都在接近于大的那個數(shù)那一邊，所以數(shù)學上把5開頭的包括5都往大的方向估，于是有了四舍五入。10萬5000一般規(guī)定它約等于11萬。

師：想一想，約等于10萬的最大的整數(shù)是多少？

生：104999，約等于10萬的整數(shù)應該是95000——104999。

三、利用數(shù)軸進行近似數(shù)教學的積極意義

相對于前兩種教學，用數(shù)軸法進行教學有以下幾點作用：

1.利用數(shù)軸可以有效地讓學生明白近似數(shù)的概念。

與準確數(shù)相比，準確數(shù)只是數(shù)軸上的一個點，而近似數(shù)表示了以10萬作為中心的一個數(shù)值范圍，是點的集合。這種集合思想講明了多個準確數(shù)對應一個近似數(shù)的數(shù)學關系，更有利于學生數(shù)感的培養(yǎng)與形成。同時，這樣的方法也適合與四年級下冊小數(shù)的近似數(shù)，解決約等于2.7的二位小數(shù)、三位小數(shù)的最大最小值的時候，同樣可以讓學生在數(shù)軸上觀察分析。

這時可以進一步分析，約等于2.7的數(shù)是2.65到2.75之間，哪一邊不能取到呢？學生根據(jù)四舍五入的法則，會明確2.75是不能取到的，這個教學其實就是中學的閉區(qū)間和開區(qū)間的認識，那可以引導學生用實心點標左邊的2.65，用空心點標右邊的2.75，也就是約等于2.7的數(shù)應該是2.65≦2.7﹤2.75的范圍內(nèi)，非常接近于2.75但不到2.75，也就是中學里的【2.65，2.75）。

于是約等于2.7的二位小數(shù)是2.65～2.74，三位小數(shù)是2.650～2.749，甚至可以繼續(xù)思考約等于2.75的四位小數(shù)是2.6500～2.7499。

2.數(shù)軸法的教學過程中明確了四舍五入規(guī)則的原因，讓學生明白了數(shù)學是合乎情理的。

很多教師在規(guī)則教學過程中都帶著一些強制性，因為這是一個數(shù)學規(guī)則，甚至有時候教師都沒有去思考過為什么必須是這樣的規(guī)則。如果像前兩種教法，學生對于四舍五入只是一個規(guī)則化認識，非自己意愿的。這樣就違背了數(shù)學學科的特點，數(shù)學應當是講理的學科，數(shù)學知識應是存在客觀規(guī)律的。

3.數(shù)軸本身作為一種工具，有利于學生產(chǎn)生知識遷移，內(nèi)化知識網(wǎng)。

人教版新教材下，對于數(shù)軸的利用有所增多，在很多數(shù)的認識和量的認識中潛移默化地在引導學生使用數(shù)軸。同時數(shù)軸對于學生感知數(shù)的大小，利用數(shù)形結合解決問題都有很好的作用。在關于數(shù)和量的教學中，結合數(shù)軸在學生的認知模式中構建元認知，形成知識網(wǎng)，能讓學生更扎實地學好知識。就以四年級下冊約等于2與約等于2.0為例：

通過對比，可以感受到近似數(shù)2.0應該在1.95到2.05這個范圍內(nèi)（不能取2.05），這個范圍明顯小多了，那么也就表示保留到十分位比保留到整數(shù)更加精確。

四、問題與總結

實際教學過程中，學生對于利用數(shù)軸理解數(shù)還是不熟練的，用這個研究近似數(shù)的方法也沒有能讓學生完全掌握，所以我覺得利用數(shù)軸對學生的近似數(shù)教學中還有很多需要注意和改進的地方。①要讓學生在低學段加強數(shù)軸的教學，讓孩子看到這樣的標有數(shù)的線不陌生。②用推理法配合教學，學生對于方法的掌握更牢固。③近似數(shù)應該與生活有關，問題的呈現(xiàn)還要配合生活情景性。

隨著教學研究的深入，數(shù)軸法可以應用到數(shù)學的其他領域，必然能產(chǎn)生更多的積極意義。