善“借題”巧“發(fā)揮”

【摘 要】試題源于課本；試題導(dǎo)向作用，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展；原題探究；拓展變式；結(jié)論的變化與拓展；讓題設(shè)條件與圖形“動(dòng)”起來；條件和結(jié)論的互逆變換；數(shù)學(xué)思想方法。

【關(guān)鍵詞】原題探究 拓展變化 中考鏈接

【科研項(xiàng)目】本論文為福建省中青年教師教育科研項(xiàng)目資助（項(xiàng)目編號(hào)：JZ160512）。

數(shù)學(xué)命題要體現(xiàn)“依標(biāo)（課程標(biāo)準(zhǔn)）用本”，試題盡量源于課本。改編課本習(xí)題是考試命題的方式之一。通過改編課本習(xí)題，從而使學(xué)生能充分發(fā)揮自己應(yīng)有的水平，也使試題能更好了解、鑒別考生的不同能力，又能體現(xiàn)以學(xué)生為本的人文精神。改編試題作為一種命題模式，往往具有一定的連續(xù)性、靈活性及發(fā)展性。數(shù)學(xué)老師要善“借題”巧“發(fā)揮”，使數(shù)學(xué)命題能充分發(fā)揮考試的導(dǎo)向作用，從而促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

一、原題探究

如圖，AB⊥BD于點(diǎn)B，CD⊥BD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，AP⊥PC，則△ABP≌△PDC。請(qǐng)說明理由。

題目分析：本題出自華東師大版八年級(jí)上冊(cè)全等三角形的判定課后作業(yè)的一道習(xí)題。它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形全等的判定的基礎(chǔ)上給出的一個(gè)題目，意在考查學(xué)生對(duì)三角形全等的判定的掌握程度。有哪些方法判定三角形全等，三角形全等必須具備哪些條件，如何尋找三角形全等的條件等，都是解決本題的關(guān)鍵。

設(shè)計(jì)意圖：本題意在考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握程度。

解題思路：題目中已知AP=PC，且AB⊥BD于點(diǎn)B，CD⊥BD于點(diǎn)D，可以得出∠B=∠D=900，再尋找一個(gè)條件便可以證明三角形全等，利用兩個(gè)角互余證明角相等是常用的一種方法，于是第三組條件不難找到。下面對(duì)題目做出變式。

二、拓展變化

變式之前，先讓學(xué)生分析其特點(diǎn)，從特殊到一般。在我們數(shù)學(xué)教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)問題的解題方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想，滲透解題思想。

1、結(jié)論的變化與拓展

問題的提出：從題目所給的信息中，你還能發(fā)現(xiàn)其他結(jié)論嗎？

變化一：如圖，AB⊥BD于點(diǎn)B，CD⊥BD于點(diǎn)D，P是BD上一點(diǎn)，且AP=PC，AP⊥PC觀察圖形猜想AB、BD、CD之間的關(guān)系，并證明你的猜想。

題目分析：由題目的條件出發(fā)，不難證明△ABP≌△PDC，從而可以得出AB=PD，CD==BP。于是BD=AB+CD。但本題的設(shè)計(jì)，比原型題證明三角形全等的難度大得多。首先學(xué)生應(yīng)該綜合分析題目中圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，先通過猜想三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，從而尋找圖中有關(guān)相等的線段，于是通過證明三角形全等來解決這個(gè)問題。

變化二：如圖，已知A、D是一段圓弧上的兩點(diǎn)，且在直線L的同側(cè)，分別過這兩點(diǎn)作L的垂線，垂足為B、C，E是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD、AE、DE，若點(diǎn)E恰為這段圓弧的圓心，則線段AB、BC、CD之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的結(jié)論并予以證明。

解題說明：若點(diǎn)E恰為這段圓弧的圓心，同樣可以知道∠AED=90°，題目自然可以轉(zhuǎn)化為變式一的形式來解決。從圖形運(yùn)動(dòng)中找出規(guī)律，轉(zhuǎn)化為一般的幾何證明問題，探究解決新問題的策略，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

再探究：當(dāng)A、D分別在直線L兩側(cè)且AB≠CD，而其余條件不變時(shí)，線段AB、BC、CD之間又有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明。

其設(shè)計(jì)理念是：（1）經(jīng)歷觀察猜想到驗(yàn)證的解決問題方法；培養(yǎng)學(xué)生探究能力與解決問題的能力。

（2）讓題設(shè)條件與圖形“動(dòng)”起來，克服思維定勢和圖形位置定勢，使學(xué)生習(xí)慣于“開放”與“探究”的思維。

解題思路：在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同知識(shí)、不同的思想方法來思考同一個(gè)問題，能使各個(gè)層次的學(xué)生都達(dá)到一定的效果，也能使學(xué)生從單一的思維模式中解放出來，達(dá)到以創(chuàng)新方式來解決問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的開闊性、發(fā)散性和靈活性。

2、弱化條件

弱化“直角”，則“全等三角形”結(jié)論仍然成立。

如圖，△ABC和△CDE中，點(diǎn)D在邊BC的延長線上，AC=CE，∠ACE=∠B=∠D，則△ABC≌△CDE。

解題思路：無論如何變換，本質(zhì)是三個(gè)角相等，應(yīng)用三角形相似（全等）來解決。

設(shè)計(jì)意圖：通過本題的拓展，我們應(yīng)該教會(huì)學(xué)生善于思考，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，鼓勵(lì)學(xué)生合作交流，獲得廣泛的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。

3、條件和結(jié)論的互逆變換

例：兩個(gè)全等的含30°、60°角的三角板DEA和三角板ACB如圖所示放置，E，A，C三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BD，取的BD中點(diǎn)M，連結(jié)EM，EC，試判斷的△CME形狀，并說明理由。

設(shè)計(jì)意圖：本問設(shè)計(jì)意圖是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察圖形，深入挖掘隱含的條件和結(jié)論，尋找知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系、轉(zhuǎn)化，激發(fā)學(xué)生積極思考，主動(dòng)探索，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力，可以更好地分析題意。培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、概括、歸納及語言表達(dá)能力。

解題指導(dǎo)：本題主要利用三角形全等的判定來進(jìn)行證明、求解。

三、中考鏈接

已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3。分別以O(shè)B，OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），過F點(diǎn)的反比例函數(shù)

的圖象與AC邊交于點(diǎn)E。請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)F，使得將△CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB上？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

（1）添加直角坐標(biāo)系，與函數(shù)結(jié)合，是一道代數(shù)與幾何的綜合題，考查相似三角形、圖形與坐標(biāo)、函數(shù)等知識(shí)；

（2）通過全等證線段相等的理念。培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問題能力、處理實(shí)際問題能力和應(yīng)變能力。

數(shù)學(xué)思想方法：（1）數(shù)學(xué)思想：化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想；特殊到一般思想等；（2）數(shù)學(xué)方法：構(gòu)造法等。

具有較強(qiáng)代表性和典型性的試題是數(shù)學(xué)問題的精華，教學(xué)不要忽視了這些試題，要善于“借題發(fā)揮”，進(jìn)行一題多解，一題多變，多題組合，引導(dǎo)學(xué)生去探索數(shù)學(xué)問題的規(guī)律性和方法，以達(dá)到“做一題、通一類、會(huì)一片”的教學(xué)效果，讓學(xué)生走出題海戰(zhàn)術(shù)，真正做到“輕負(fù)高效質(zhì)”，這對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，創(chuàng)新能力，數(shù)學(xué)素養(yǎng)，都將起作積極的推動(dòng)作用。