數(shù)形結(jié)合百般好，幾何直觀很重要

【摘要】 幾何直觀是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出的十個(gè)核心概念之一，是借助圖形的直觀，促進(jìn)學(xué)生把“數(shù)和形”結(jié)合起來(lái)考慮，從而達(dá)到滲透“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想。在數(shù)學(xué)課程中，幾何課程的價(jià)值不僅僅是能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，它也能培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。教師在幾何內(nèi)容教學(xué)中不僅要重視幾何直觀，在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中都應(yīng)該重視幾何直觀，將培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力貫穿于數(shù)學(xué)課程的始終。

【關(guān)鍵詞】 幾何直觀 數(shù)形結(jié)合

幾何直觀是 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》新增的核心概念，幾何直觀主要是指“利用圖形描述和分析問(wèn)題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用。”[1] 愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)一句名言：“想象力比知識(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是有限的，而想象力概括世界的一切，并且是知識(shí)進(jìn)化的源泉，嚴(yán)格地說(shuō)想象力是科學(xué)研究中的實(shí)在因素”[2]由此我們不難知道，幾何直觀所指有兩點(diǎn)：一是幾何，在這里幾何是指圖形；二是直觀，這里的直觀不僅僅是指直接看到的東西（直接看到的是一個(gè)層次），更重要的是依托現(xiàn)在看到的東西、以前看到的東西進(jìn)行思考、想象，綜合起來(lái)，幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和想象。它在本質(zhì)上是一種通過(guò)圖形所展開(kāi)的想象能力。

我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)缺形時(shí)少直觀。”“數(shù)形結(jié)合”的思想是重要的數(shù)學(xué)思想，其實(shí)質(zhì)是使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙和諧地結(jié)合起來(lái)，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)。數(shù)學(xué)教材中特別注重這種思想的滲透，借助幾何直觀，可以把數(shù)形結(jié)合思想更好地反映出來(lái)。通過(guò)圖形的直觀性質(zhì)來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，實(shí)現(xiàn)代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的互相轉(zhuǎn)化，相互滲透，不僅使解題簡(jiǎn)捷明快，還開(kāi)拓解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)辟了條重要的途徑。借助“形”的直觀，能促進(jìn)學(xué)生形成從“數(shù)”和“形”的角度把“數(shù)和形”結(jié)合起來(lái)考慮問(wèn)題的意識(shí)，有機(jī)滲透數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想。

直觀是抽象思維問(wèn)題的信息源，又是途徑信息源，它不僅為抽象思維提供信息，而且由于直觀形象在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中鮮明性強(qiáng)，可以多思路、反復(fù)地給抽象思維以技巧。通過(guò)圖形的直觀性質(zhì)來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，實(shí)現(xiàn)代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的互相轉(zhuǎn)化，相互滲透，不僅使解題簡(jiǎn)捷明，還開(kāi)拓解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)辟了條重要的途徑。直觀圖形的使用，不但可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并理解數(shù)學(xué)結(jié)論，而且有利于掌握數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和空間觀念。

當(dāng)前，學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)出來(lái)的“幾何直觀”達(dá)到了什么水平呢？我以《泰順縣小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)期末質(zhì)量檢測(cè)試卷（2016.01）》的一道填空題為例談一談我的思考。

【原題呈現(xiàn)】一個(gè)圓形花壇，半徑是5米，沿著花壇周?chē)幸粭l寬1米的石子路，沿著石子路的外圍走一圈是（ ）米，這條石子路的面積是（ ）平方米。

這樣一道題目，得分率應(yīng)該是在80%左右，而我縣學(xué)生的得分率只有54%，我所教的班級(jí)得分率是61%，是什么原因讓得分率比我們預(yù)想的低了近20%呢？

經(jīng)了解，錯(cuò)誤的學(xué)生主要是因?yàn)槿鄙贁?shù)形結(jié)合的思想，缺少想象，沒(méi)有在腦子構(gòu)建出這樣的一個(gè)圓環(huán)圖形，也沒(méi)有在草稿紙上畫(huà)出圖形，以至于搞不清出圓環(huán)外圍的的直徑和半徑。由此可以看出，我們學(xué)生的幾何直觀水平有待進(jìn)一步提升。

教師不僅要在幾何教學(xué)中重視幾何直觀，而且在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中都應(yīng)該重視幾何直觀，將培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和數(shù)形結(jié)合思想方法貫穿數(shù)學(xué)課程的始終。不管是什么樣的教學(xué)內(nèi)容，都應(yīng)把握以下幾點(diǎn)：

一、重視讀圖訓(xùn)練

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于受學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思維水平的限制，經(jīng)常會(huì)遇到一些很難用語(yǔ)言解釋清楚的概念或性質(zhì)，這時(shí)，圖形直觀往往會(huì)成為有效的表達(dá)工具。直觀的背景材料和幾何形象能為學(xué)生創(chuàng)造自主思考的機(jī)會(huì)。如果學(xué)生連基本的圖形都看不懂，就談不上用圖解決問(wèn)題，更不可能實(shí)現(xiàn)幾何直觀的形成。

二、重視畫(huà)圖訓(xùn)練

一般來(lái)說(shuō)，純文字形式的問(wèn)題相對(duì)比較抽象，如果能把抽象的問(wèn)題以直觀圖示的方式表達(dá)出來(lái)，數(shù)形結(jié)合，學(xué)生就可能主動(dòng)發(fā)現(xiàn)條件和問(wèn)題之間的聯(lián)系，找到解決問(wèn)題的方法。因此，教給學(xué)生用直觀圖示描述問(wèn)題的方法，是發(fā)展學(xué)生幾何直觀的重要前提。教學(xué)時(shí)，要注意三點(diǎn)：

1、誘發(fā)學(xué)生畫(huà)圖描述問(wèn)題的主觀愿望。當(dāng)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中遇到困難時(shí)，可以引導(dǎo)思考：“問(wèn)題難在哪里，怎樣整理?xiàng)l件和問(wèn)題？”以誘發(fā)學(xué)生畫(huà)圖描述問(wèn)題的心理需要。

2、教給學(xué)生一些必要的畫(huà)示意圖的技能。通過(guò)教師示范并逐步放手讓學(xué)生獨(dú)立畫(huà)圖，形成必要的技能。

3、注意培養(yǎng)畫(huà)圖描述問(wèn)題的習(xí)慣。完成解題后，要注意引導(dǎo)學(xué)生回顧解決問(wèn)題的過(guò)程，并通過(guò)比較和交流，幫助學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)形結(jié)合在分析和解決問(wèn)題過(guò)程中的作用。

三、重視借助幾何直觀，數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題

問(wèn)題解決的主要環(huán)節(jié)有：描述和表征問(wèn)題——分析和解決問(wèn)題。如果說(shuō)讀圖和畫(huà)圖是“利用幾何圖形描述數(shù)學(xué)問(wèn)題”，那么“借助幾何圖形分析問(wèn)題”是形成解決問(wèn)題思路的重要環(huán)節(jié)。

借助幾何圖形描述和表征數(shù)學(xué)問(wèn)題，能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題情境信息及其關(guān)系的理解，數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生從整體上把握問(wèn)題，提示問(wèn)題的突破口，從而獲得正確的解題思路。

四、重視循序漸進(jìn)的培養(yǎng)幾何直觀

對(duì)于幾何直觀，要在不同的教學(xué)內(nèi)容中長(zhǎng)期滲透，循序漸進(jìn)。因?yàn)樵诎嗉?jí)授課制下，學(xué)生的能力水平和學(xué)習(xí)風(fēng)格有差異，面對(duì)相同的問(wèn)題，會(huì)出現(xiàn)不同的方法，表現(xiàn)出不同的思維特點(diǎn)，如果強(qiáng)求所有學(xué)生用幾何直觀的方法來(lái)表征問(wèn)題、探索思路，違背的恰是“因材施教”的教育規(guī)律。教師要在學(xué)生的個(gè)性化方法和數(shù)學(xué)的通法之間、在學(xué)生的想象和數(shù)學(xué)的理性思考之間穿梭往返，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和數(shù)形結(jié)合的思想方法。

五、重視過(guò)程評(píng)價(jià)，不斷提高

在幾何直觀的培養(yǎng)過(guò)程中，教師要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用評(píng)價(jià)手段，全面了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程，激勵(lì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和改進(jìn)教師的教學(xué)。對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)，要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要關(guān)注他們學(xué)習(xí)的過(guò)程和思想方法；要關(guān)注他們?cè)诨顒?dòng)中所表現(xiàn)出來(lái)的情感和態(tài)度，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)自我，建立信心。把幾何直觀能力的培養(yǎng)和數(shù)形結(jié)合的思想方法貫穿數(shù)學(xué)課程的始終，滲透到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)鄰域。

總之，在教學(xué)中我們要重視學(xué)生幾何直觀能力和數(shù)形結(jié)合思想方法的培養(yǎng)，借助幾何直觀把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幫助學(xué)生建立起實(shí)物與概念間的聯(lián)系，化抽象為具體，促使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，使學(xué)生的幾何直觀能力得以形成和發(fā)展，這樣學(xué)生就能更好地感知數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)。同時(shí)，讓學(xué)生不同的思維方法有機(jī)共存、相互激蕩和補(bǔ)充，相互提升相互進(jìn)步，這才是我們希望看到的課堂。

參考文獻(xiàn)

[1] 教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社.2012.

[2] 許良英，范岱年（編譯）.愛(ài)因斯坦文集（第1卷）[M].上海：商務(wù)印書(shū)館.1976.284.