數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)課堂的靈魂

王燕洲

摘 要：數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的本質(zhì)體現(xiàn)，是形成數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)意識(shí)的橋梁，是靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的靈魂，因此，學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵是正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法。

關(guān)鍵詞：滲透；揭示；提煉；總結(jié)

所謂數(shù)學(xué)思想方法，就是數(shù)學(xué)研究活動(dòng)中解決問題的根本想法，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)，也是在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法作進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和概括的基礎(chǔ)上形成的一般性觀點(diǎn)。與數(shù)學(xué)概念相關(guān)的有集合與映射的思想，方程與函數(shù)的思想，參數(shù)的思想，極限的思想。

數(shù)學(xué)方法包括發(fā)現(xiàn)方法、邏輯方法、解題方法和審美方法。數(shù)學(xué)方法為數(shù)學(xué)問題的求解和數(shù)學(xué)知識(shí)的獲取提供了可能。與數(shù)學(xué)方法相關(guān)的有轉(zhuǎn)化與變換的思想，化歸的思想，構(gòu)造的思想，類比的思想。

在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，為解決實(shí)踐上和理論上提出的各類數(shù)學(xué)問題勢(shì)必創(chuàng)造出各種不同的數(shù)學(xué)方法，數(shù)學(xué)方法的產(chǎn)生又豐富和發(fā)展了數(shù)學(xué)思想。如坐標(biāo)法的產(chǎn)生豐富了數(shù)學(xué)的變換思想，而代數(shù)中的配方法，幾何中的割補(bǔ)法都是數(shù)學(xué)化歸思想的表現(xiàn)。

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)歷來只注重知識(shí)的傳授，而忽視知識(shí)發(fā)生過程中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，這不利于素質(zhì)教育。筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)和數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授是數(shù)學(xué)教學(xué)的兩個(gè)組成部分，而數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)也許比知識(shí)更為重要。

如何在平時(shí)的教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)良好思維品質(zhì)呢？筆者認(rèn)為應(yīng)從以下幾個(gè)方面入手：

1 從數(shù)學(xué)思想上把握教材，改造教材

作為一名數(shù)學(xué)教師，必須對(duì)教材有一個(gè)從數(shù)學(xué)思想上的整體認(rèn)識(shí)，這就要求數(shù)學(xué)教師在吃透教材的基礎(chǔ)上去領(lǐng)會(huì)教材中隱含的數(shù)學(xué)思想，從而掌握教材的實(shí)質(zhì)。

從中學(xué)數(shù)學(xué)的角度看，函數(shù)思想是最主要的思想，可用它串聯(lián)代數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何以及微積分初步的大部分知識(shí)。方程可看成函數(shù)值為零的特例，不等式可看作兩個(gè)函數(shù)值的比較，解幾的曲線可視為函數(shù)的圖形，微積分中的導(dǎo)數(shù)可作為研究函數(shù)性質(zhì)的主要工具。其次是化歸的思想：在基本運(yùn)算中，減法化歸成加法，除法用乘法轉(zhuǎn)化，冪的運(yùn)算歸結(jié)為指數(shù)的運(yùn)算，方程中，三元、二元都化歸成一元，分式方程化歸成整式方程，立體幾何中的空間問題化歸成平面問題。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，比較重要的還有變換的思想，可以用它來統(tǒng)帥三角函數(shù)的內(nèi)容。此外，對(duì)應(yīng)的思想也很重要。如點(diǎn)與數(shù)的對(duì)應(yīng)是中學(xué)數(shù)學(xué)里一種最基本也是最重要的對(duì)應(yīng)，數(shù)形結(jié)合正是這種對(duì)應(yīng)思想的具體體現(xiàn)。

為了將數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)放在中心位置，在當(dāng)前的條件下，數(shù)學(xué)教師不但要從數(shù)學(xué)思想上把握教材，發(fā)掘教材中隱含的數(shù)學(xué)思想，而且還要善于改造教材。我在講授二次根式時(shí)，將平方根和算術(shù)平方根的定義集中在一節(jié)課進(jìn)行了教學(xué)，經(jīng)測(cè)試，學(xué)生對(duì)兩種定義和簡(jiǎn)單計(jì)算的異同點(diǎn)掌握得較好，既節(jié)省了時(shí)間，又加強(qiáng)了類比思想的教育。

2 把握滲透數(shù)學(xué)思想的契機(jī)

對(duì)于數(shù)學(xué)而言，知識(shí)的發(fā)生過程，實(shí)際上也是數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)生過程。因此，必須把握好教學(xué)過程中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透契機(jī)。如概念的形成過程、結(jié)論的推導(dǎo)過程、方法的思考過程、問題的被發(fā)現(xiàn)過程、思路的探索過程、規(guī)律的被揭示過程，等等，都蘊(yùn)藏著向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法、訓(xùn)練思維的極好機(jī)會(huì)。

在概念形成的教學(xué)過程中，與其教學(xué)生記住公式、定義、定理和法則，還不如更多地琢磨一下這些東西是怎么來的。如負(fù)數(shù)概念的教學(xué)，教材借助溫度計(jì)給出描述性定義，學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)往往難以透徹理解。若設(shè)計(jì)一個(gè)提示概念與新問題間矛盾的實(shí)例，使學(xué)生感到“負(fù)數(shù)”產(chǎn)生的合理性和必要性，領(lǐng)悟其中數(shù)學(xué)符號(hào)化思想的價(jià)值，則無疑有益于激發(fā)學(xué)生探究概念的興趣，激發(fā)學(xué)生思維的積極性，從而更深刻、全面的理解概念。我在演示溫度計(jì)時(shí)提出這樣一個(gè)問題：今年冬季某天南京白天的氣溫是零上12℃，夜晚的最低氣溫是零下5℃，問這一天的最高氣溫比最低氣溫高多少度。學(xué)生知道應(yīng)該通過實(shí)施減法來求出問題的答案，但是，在具體列算式時(shí)遇到了困惑：是“10-5”嗎？不對(duì)！是“零上10℃減零下5℃”嗎？似乎對(duì)，但又無法進(jìn)行計(jì)算。于是，一個(gè)關(guān)于“負(fù)數(shù)”及其表示的思考由此而展開。再通過現(xiàn)實(shí)生活中大量表示相反意義的量，抽象概括出相反意義的量可以用數(shù)學(xué)符號(hào)“+”與“-”來表示。

而結(jié)論的推導(dǎo)過程，有時(shí)就是某種數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)。例如在推求直棱柱和正棱柱的側(cè)面積公式時(shí)，采用了平面展開圖的方法，這是一次進(jìn)行化歸思想教學(xué)的好時(shí)機(jī)。

3 掌握滲透數(shù)學(xué)思想的手段

⑴在設(shè)計(jì)問題中要蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想方法

現(xiàn)代教學(xué)觀提倡把問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，設(shè)計(jì)問題一方面是為了引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激起學(xué)生求知欲望，另一方面是通過問題的引導(dǎo)，讓學(xué)生嘗試探索新知識(shí)。因此，教師要善于設(shè)計(jì)蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想方法的問題，以利于學(xué)生站在思想方法的高度掌握知識(shí)。

例如：講絕對(duì)值的代數(shù)意義時(shí)，為了幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，可設(shè)計(jì)這樣的問題：

①表示一個(gè)有理數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置可能有幾種？（在原點(diǎn)、在原點(diǎn)左邊、在原點(diǎn)右邊）。

②數(shù)軸上表示正數(shù)、負(fù)數(shù)和零的點(diǎn)，它們與原點(diǎn)的距離各是什么數(shù)？（正數(shù)、正數(shù)和零）

說明：?jiǎn)栴}①實(shí)質(zhì)是在研究對(duì)象的可能情況，滲透了正確分類思想方法，以加深學(xué)生正確認(rèn)識(shí)絕對(duì)值的三種情況。問題②是讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)量”和“圖形”的相互依賴關(guān)系，理解絕對(duì)值的非負(fù)性特征，并初步感知研究有理數(shù)問題的重要方法——數(shù)形結(jié)合思想方法。

⑵在知識(shí)發(fā)生、形成過程中要揭示數(shù)學(xué)思想方法

由于教材中只對(duì)某些數(shù)學(xué)思想方法作了明確闡述，如消元法、換元法等，大量的較高層次的數(shù)學(xué)思想方法是蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)之中的。因此，教學(xué)要在知識(shí)的發(fā)生、形成過程中揭示由知識(shí)所反映出的數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)學(xué)生思維結(jié)構(gòu)的形成。

例如：在推導(dǎo)同底數(shù)冪的除法法則時(shí)，可設(shè)計(jì)如下問題：

①具體數(shù)的計(jì)算：

22×23=22+3=25。那么

25÷23=？（思考片刻，學(xué)生答：22。我將？替換）引導(dǎo)學(xué)生觀察這里的指數(shù)2與被除數(shù)、除數(shù)的指數(shù)5和3的關(guān)系，并用彩筆突出，即

25÷23=25-3=22。

②用不為零的字母a代替底數(shù)2，即

∵a2·a3=a5

∴a5÷a3=a2.即

a5÷a3=a5-3=a2

③當(dāng)a≠0，m、n都是正整數(shù)，且m﹥n時(shí)，用字母m、n分別代替②中被除式冪和除式冪中的指數(shù)，即

am÷an=am-n，并用紅筆板書。

到這里，不但推導(dǎo)出了同底數(shù)冪的除法法則，而且滲透了換元思想。

⑶在例題教學(xué)中要突出數(shù)學(xué)思想方法

例題教學(xué)是課堂教學(xué)中的中心環(huán)節(jié)，教師應(yīng)抓住有利時(shí)機(jī)，通過例題教學(xué)突出和強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法對(duì)解題的指導(dǎo)作用。

例如：解方程組

觀察：左邊出現(xiàn)的是整整齊齊（x-1）和（y-1），這個(gè)信息提醒我們可以把（x-1）和（y-1）看作一個(gè)整體，這一解題過程，既滲透了整體意識(shí)，又介紹了變量代換思想，也體現(xiàn)了化歸的具體應(yīng)用。這樣給人以美的享受，使學(xué)生初步領(lǐng)略了化歸最簡(jiǎn)的優(yōu)點(diǎn)，從而培養(yǎng)了學(xué)生的化歸意識(shí)。

⑷在解題訓(xùn)練中要運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法

首先是教師在選編習(xí)題時(shí)，要明確習(xí)題對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的要求，強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題的意識(shí)。

例如講完一次函數(shù)圖象和性質(zhì)后，選編習(xí)題時(shí)就應(yīng)明確對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想方法和待定系數(shù)法的要求?？蛇M(jìn)行如：①讀圖與識(shí)圖訓(xùn)練：

如圖l是直線y=kx+b，則當(dāng)x 時(shí)，y﹥0；當(dāng)x 時(shí)，y=0；當(dāng)x 時(shí)，y﹤0，其中k的符號(hào) b的符號(hào)。

②數(shù)形互譯訓(xùn)練：

若ab=0，則點(diǎn)p（a，b）的位置是什么？

若點(diǎn)p（a，b）位于x軸上方，則a、b必須滿足什么條件？

其次是加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法訓(xùn)練的科學(xué)性。做到：“舉一反三”與“舉三反一”相結(jié)合，“多題一解”與“一題多解”相結(jié)合，“精練”與“泛練”相結(jié)合，并在結(jié)合中不斷提煉思想，歸納方法，拓寬思路，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題的自覺性和主動(dòng)性。

⑸引導(dǎo)學(xué)生自己提煉數(shù)學(xué)思想方法

柏拉圖說，他從不把自己看作一個(gè)教師，而是一個(gè)幫助別人產(chǎn)生他們自己思想的“助產(chǎn)士”。學(xué)習(xí)有一條很重要的原則，就是不可代替原則，這就要求教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自己提煉數(shù)學(xué)思想。

例如解方程組

第二個(gè)方程中的y可用第一個(gè)方程中表示y的代數(shù)式2x來代替。

又如在八年級(jí)數(shù)學(xué)中應(yīng)用平方差公式分解因式的思路分析中：

9m2-4n2=（3m）2-（2n）2=（3m+2n）（3m-2n）

a2-b2=（a+b）（a-b）

這種分析現(xiàn)象體現(xiàn)了換元思想。

通過例題教學(xué)與習(xí)題的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生觀察方程中可以換元的字母或代數(shù)式的特點(diǎn)，讓學(xué)生歸納出適用換元法的解方程的方程類型。

⑹教會(huì)學(xué)生反思

著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力。”對(duì)于例題，我要求學(xué)生按照“做-比-問”的方法學(xué)習(xí)?！白觥本褪亲约合葘忣}、分析、試做，目的是訓(xùn)練和檢查自己獨(dú)立分析和解決問題的能力；“比”就是把自己的分析、做法同老師或書上的方法對(duì)比，找出優(yōu)劣，發(fā)現(xiàn)問題；“問”就是提問題，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)：解法是怎么想出來的？關(guān)鍵是哪一步？自己為什么沒想出來？能找到更好的解題途徑嗎？通過解這個(gè)題，我應(yīng)該學(xué)什么？這種反思能較好的概括思維的本質(zhì)，從而上升到數(shù)學(xué)思想上來。

⑺充分發(fā)揮小結(jié)的功能

揭示知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系是小結(jié)的功能之一。學(xué)生學(xué)完一章，應(yīng)該從整體上對(duì)內(nèi)容有清晰的認(rèn)識(shí)，因此小結(jié)可以總結(jié)這一章所涉及的數(shù)學(xué)思想方法，從知識(shí)發(fā)展的過程來縱觀數(shù)學(xué)思想方法的作用。另外小結(jié)中還可以增設(shè)“本章錯(cuò)解分析”，“典型例題選登”，以逐步提高學(xué)生的概括水平。

總而言之，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)思想的內(nèi)核，能活化為數(shù)學(xué)教學(xué)思想，體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律的本質(zhì)要求。沒有數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)教學(xué)，是一碗“沒有肉的淡湯”，沒有先進(jìn)的數(shù)學(xué)教學(xué)思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，數(shù)學(xué)思想就是一塊“嚼不動(dòng)的牛肉”。我們唯愿數(shù)學(xué)思想能在數(shù)學(xué)課堂中靈動(dòng)的飛翔，象春天的細(xì)雨滋潤(rùn)學(xué)生的心靈！

參考文獻(xiàn)

[1]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：《新版課程標(biāo)準(zhǔn)解析與教學(xué)指導(dǎo)》，北京師范大學(xué)出版集團(tuán)2011年版

[2]國(guó)人民大學(xué)主辦. 《中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)》2009.7

[3]涂榮豹.試論反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010.4