結(jié)合函數(shù)思想巧解數(shù)列問題探究

翟麗娟

摘 要：數(shù)列問題是中職數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，數(shù)列與函數(shù)之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，即數(shù)列就是一種特殊的函數(shù)。那么，在遇到有關(guān)數(shù)列類問題時(shí)，結(jié)合函數(shù)思想，就會收獲事半功倍的效果。文章從結(jié)合函數(shù)解析式、結(jié)合函數(shù)圖像特征、結(jié)合函數(shù)單調(diào)性幾方面，研究如何結(jié)合函數(shù)思想巧解數(shù)列問題。

關(guān)鍵詞：中職數(shù)學(xué)；函數(shù)思想；數(shù)列問題；聯(lián)系

中圖分類號：G712；G718.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1008-3561（2017）35-0074-01

數(shù)列問題是中職數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，由于數(shù)列中的每一個數(shù)都對應(yīng)一個序號，同樣的道理，每個序號也都對應(yīng)著一個數(shù)，因此，數(shù)列與函數(shù)之間有著千絲萬縷的聯(lián)系。通過多年的教學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)在解決數(shù)列問題時(shí)，如果能夠多從函數(shù)的角度出發(fā)，學(xué)會構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)去研究數(shù)列中的數(shù)列關(guān)系，那么數(shù)列問題就會迎刃而解。因此，這就需要教師在教學(xué)的過程中，不斷地滲透函數(shù)思想，教會學(xué)生將數(shù)列問題函數(shù)化，加強(qiáng)兩者間的聯(lián)系，不斷積累經(jīng)驗(yàn)，解題就會更加自如。

一、 結(jié)合函數(shù)解析式，巧解數(shù)列問題

在數(shù)列學(xué)習(xí)中，要知道數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn和通項(xiàng)公式an都是關(guān)于自變量n的一個函數(shù)，它的定義域就是正整數(shù)集N*或者N*的一個非空子集，那么仔細(xì)觀察函數(shù)的解析式，就會發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=na1+ d，以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn= （q≠1）或者Sn=na1（q=1）中，只要令n=0，那么就會有S0=0。

例1： （1）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=（n+1）2+λ，試求λ的值。（2）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n+a，試求a的值。

解析：根據(jù)題意，學(xué)生們拿到題目之后，會利用an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2這種常規(guī)方法求解，但是由于本題是道填空題，因此，利用S0=0，將會提高解題效率。（1）因?yàn)樵诘炔顢?shù)列{an}中，S0=0，所以（0+1）2+λ=0，故λ=-1；（2）因?yàn)樵诘缺葦?shù)列{an}中，S0=0，所以30+a=0，故a=-1。

點(diǎn)撥：在本道題中，因?yàn)槭翘羁疹}，還有條件已經(jīng)給出是等差數(shù)列或者等比數(shù)列，于是我們利用S0=0，更加方便解題，但是需要學(xué)生們注意的是，如果沒有先前的條件，只是說數(shù)列前n項(xiàng)和滿足S0=0，那么該數(shù)列就未必是等差或者等比數(shù)列。

二、 結(jié)合函數(shù)圖像特征，巧解數(shù)列問題

函數(shù)的圖像特征比較能直觀地看出函數(shù)的信息，因此，在解數(shù)列問題時(shí)，將對解題起到很大的幫助。學(xué)生們需要知道：在公差d不為零的等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和公式Sn=na1+ d= n2+a1- n是關(guān)于n的二次函數(shù)，那么點(diǎn)（n，Sn）就在過原點(diǎn)的拋物線y= x2+a1- x上。

例2：在等差數(shù)列{an}中，a1<0，Sn為其前n項(xiàng)和，已知S4=S9，當(dāng)Sn最小時(shí)，試求n的值。

解析：根據(jù)題意，可知等差數(shù)列{an}的公差d>0，那么點(diǎn)（n，Sn）就在過原點(diǎn)且開口向上的拋物線y= x2+a1- x上，于是結(jié)合二次函數(shù)圖形特征，根據(jù)其對稱性就有對稱軸為x= ，又因?yàn)閚是正整數(shù)，所以Sn最小值為S6和S7，因此，當(dāng)Sn最小時(shí)，n的值為6和7。

點(diǎn)撥：本道題結(jié)合了二次函數(shù)去求解，巧妙化解了數(shù)列難題，因此，在等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最值問題上，可從Sn的圖像以及性質(zhì)上進(jìn)行研究，既直觀明了，又提高了解題效率。

三、結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，巧解數(shù)列問題

單調(diào)性是研究函數(shù)思想的主要方向之一，也是函數(shù)思想的主要特征，在求解數(shù)列的最值問題中或者已知數(shù)列的單調(diào)性問題中，學(xué)生們?nèi)绻軌驑?gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解，難題就會不攻自破，同時(shí)研究函數(shù)的單調(diào)性將不斷強(qiáng)化學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的思維品質(zhì)。

例3：已知an= （n∈N*），試求數(shù)列{an}的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)。

解析：根據(jù)題意，可知an= =1+ ，于是令f（x）=1+ （x>0），那么當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，并且f（x）<1；當(dāng)x∈（ ，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，并且f（x）>1，因此數(shù)列{an}滿足：當(dāng)n≤8時(shí)，an<1并且an單調(diào)遞減；當(dāng)n≥9時(shí)，an>1并且an單調(diào)遞減，故a9>a10>…>1>a1>a2>…>a8，即數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為a9= ，最小項(xiàng)為a8= 。

點(diǎn)撥：本道數(shù)列題從構(gòu)造函數(shù)的角度出發(fā)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性去解決數(shù)列的單調(diào)性和最值問題，需要注意的是要關(guān)注數(shù)列{an}中n的取值的特殊性。

四、結(jié)束語

總之，學(xué)生們在面對數(shù)列問題時(shí)，要能夠首先想到結(jié)合函數(shù)的思想，運(yùn)用函數(shù)的解析式、圖像特征以及函數(shù)的單調(diào)性去化解數(shù)列難題，深刻剖析函數(shù)與數(shù)列之間的關(guān)系，只有掌握了兩者間的信息，解起題來才能得心應(yīng)手，隨機(jī)應(yīng)變。

參考文獻(xiàn)：

[1]嚴(yán)麗娟.中職數(shù)學(xué)數(shù)列教學(xué)的創(chuàng)新思路研究[J].新課程研究，2014（11）.

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