例析高中數(shù)學(xué)概念的生成

魏娟娟

河南省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2016年度課題（編號：（2016）-JKGHB-0586）

摘 要：《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》中有這樣一段話：“由于數(shù)學(xué)高度抽象體現(xiàn)的特點，注重體現(xiàn)基本概念的來龍去脈，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，在初步應(yīng)用中逐步理解概念的本質(zhì)。”作為高中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)認真設(shè)計教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷和感受數(shù)學(xué)概念的生成過程，才能上出符合新課標理念的好課。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；生成；教學(xué)設(shè)計；案例分析

據(jù)調(diào)查，對數(shù)學(xué)概念的理解不到位，容易造成學(xué)生對概念的生成過程不理解，從而導(dǎo)致數(shù)學(xué)成績差。在實際的高中數(shù)學(xué)課堂上，教師往往直接給出數(shù)學(xué)概念，再配以幾點注意，這個數(shù)學(xué)概念就算是講完了，很少會在教學(xué)環(huán)節(jié)中設(shè)計數(shù)學(xué)概念的生成。要知道”只有經(jīng)歷了數(shù)學(xué)概念的生成過程，學(xué)生才能知道數(shù)學(xué)概念的來龍去脈，才能理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，進而應(yīng)用數(shù)學(xué)概念解決問題，逐步體會蘊含在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)思想。學(xué)生只有“懂”了，才能“會”，進而會“用”，從而提高了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習的質(zhì)量。

所以，為使學(xué)生真正的“懂”和“會”，教師就必須在概念生成方面不惜時、不惜力，好好設(shè)計教學(xué)。下面，筆者就從我校的教學(xué)實踐出發(fā)，以幾個教學(xué)案例為出發(fā)點作些淺要分析。

一、在動手操作中生成數(shù)學(xué)概念

（一）案例1：《隨機事件的概率》中設(shè)計的活動：

活動1：每一位學(xué)生準備一枚一元硬幣，拋擲20次，記錄實驗結(jié)果，并計算自己數(shù)據(jù)的頻率

設(shè)計意圖：在動手操作中理解隨機事件的發(fā)生具有不確定性，進行隨機意識的培養(yǎng)。

活動2：小組合作統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并計算統(tǒng)計后數(shù)據(jù)的頻率

設(shè)計意圖：通過數(shù)據(jù)的統(tǒng)計，體會隨著實驗的次數(shù)增加頻率具有穩(wěn)定性。

活動3：小組合作畫出條形圖

設(shè)計意圖：加深對之前結(jié)論的理解。

活動4：電腦模擬拋硬幣實驗

設(shè)計意圖：通過計算機模擬實驗，更好地體驗以頻率估計概率的思想方法，進而得出概率的統(tǒng)計定義。

活動5：作實驗“拋擲一枚硬幣兩次”10次，記錄實驗數(shù)據(jù)。

活動6：摸球?qū)嶒灐?/p>

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生澄清一些日常生活中的錯誤認識。

（二）案例分析

本案例的教學(xué)試圖改變學(xué)生學(xué)習的方法，學(xué)生在合作中學(xué)會溝通和配合，在動手操作中經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的生成過程。雖然這節(jié)課只進行了這幾個實驗活動，例題習題都沒有進行，但是由于調(diào)動了學(xué)生的興趣，學(xué)生的參與度很高，所以教學(xué)效果很好，學(xué)生們久久不能忘記這節(jié)課。

（三）啟發(fā)和反思

在動手操作中生成數(shù)學(xué)概念：教師要精心設(shè)計操作活動，把數(shù)學(xué)概念的生成過程化為一個個小實驗，學(xué)生在操作實驗中，動手、動眼、動腦，有交流，又合作在交流中發(fā)現(xiàn)問題，進而想辦法解決問題。學(xué)生學(xué)習的主動性調(diào)動起來了，學(xué)習效果自然好了。

二、在問題中自然生成數(shù)學(xué)概念

（一）案例2：《任意角的三角函數(shù)》的部分教學(xué)環(huán)節(jié)：

1.回顧舊知

教師提問1：我們是如何把0°-360°的角擴展到任意角的？

設(shè)計意圖：體現(xiàn)任意角三角函數(shù)的出現(xiàn)是角的擴充后的結(jié)果。

教師提問2：我們是如何使角的集合與實數(shù)集建立了一一對應(yīng)？

設(shè)計意圖：指出在弧度制下角α∈R，為后面理解任意角三角函數(shù)定義域作鋪墊。

教師提問3：在初中，我們學(xué)過銳角三角函數(shù)，它是怎樣定義的？

<追問>：這種定義方法能推廣到任意角嗎？

設(shè)計意圖：溫故知新，發(fā)現(xiàn)問題，引入直角坐標系。

2.引申探究

教師提問：如何在直角坐標系中求銳角的三角函數(shù)值？

<追問>：這里的銳角α的取值范圍是什么？

設(shè)計意圖：從“舊”概念新學(xué)入手，引出“新”概念的定義。

教師提問：若點P在終邊上的位置發(fā)生了變化，則這些比值會隨之改變嗎？

<追問1>：那么，這些比值能簡化嗎？（令分母為1）

<追問2>：此時，點P（x，y）是怎樣的點？

設(shè)計意圖：得出平面直角坐標系下銳角三角函數(shù)的定義。

教師提問：這種定義方法能推廣到任意角嗎？

設(shè)計意圖：得出任意角三角函數(shù)的定義。

教師提問：sinα=y是函數(shù)嗎？符合高中函數(shù)的定義嗎？

設(shè)計意圖：深化理解任意角三角函數(shù)的定義。

（二）案例分析

本案例采用問題教學(xué)法，通過環(huán)環(huán)相扣的問題動態(tài)展示數(shù)學(xué)概念的生成過程。教師結(jié)合學(xué)生的接受能力，把問題設(shè)計得層層遞進，力求讓數(shù)學(xué)概念自然生成，在思考這些問題的過程中，學(xué)生體會到了數(shù)學(xué)知識間的緊密聯(lián)系，經(jīng)歷了數(shù)學(xué)概念的生成過程，自然能夠很好地理解這一數(shù)學(xué)概念，后面的知識應(yīng)用環(huán)節(jié)也進行得非常順利。

（三）啟發(fā)和反思

在問題中自然生成數(shù)學(xué)概念：教師精心設(shè)計“問題串”，把數(shù)學(xué)概念的生成過程化為一串問題，學(xué)生思考過程自然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)概念的生成過程，實現(xiàn)了學(xué)生的主動探索，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習的積極性和主動性，達到學(xué)習目的。

三、在情境中生成數(shù)學(xué)概念

（一）案例3：《簡單的線性規(guī)劃問題》的部分教學(xué)環(huán)節(jié)

1.情境1：回顧上節(jié)課后的思考題：已知x、y∈R，且滿足1≤x+y≤3-1≤x-y≤1，求4x+2y的取值范圍。

小組展示，出現(xiàn)兩種不同的答案：

答案1：由不等式的性質(zhì)得出：0≤x≤2和0≤y≤2，

從而得到：0≤4x+2y≤12。

答案2：因為4x+2y=3（x+y）+（x-y），所以先得出3≤3（x+y）≤9，

從而2≤4x+2y≤10

教師提問：究竟哪一個答案是正確的呢？

設(shè)計意圖：促進理解x和y并不是相互獨立的關(guān)系，是由不等式組確定的相互制約關(guān)系。

2.情境2：

教師提問：我們知道二元一次不等式組確定一個平面區(qū)域，運用這一知識點能否解決這一思考題？

教師追問：怎么確定4x+2y的取值范圍呢？

設(shè)計意圖：引出線性目標函數(shù)的幾何意義，促進學(xué)生加深理解二元一次不等式組對兩個變量的制約，進而理解線性規(guī)劃問題的概念。

（二）案例分析

本案例通過設(shè)置疑惑陷阱的情境，引起學(xué)生的思想沖突，引發(fā)學(xué)生思維的碰撞，促使學(xué)生進行辨析反思，進而理解數(shù)學(xué)概念是怎樣生成的。在此基礎(chǔ)上，教師聯(lián)系上節(jié)內(nèi)容，引出本節(jié)知識，在實際問題情境中應(yīng)用本節(jié)知識，學(xué)生體會到數(shù)學(xué)是很有用的，加大了學(xué)習的興趣和積極性，事半功倍。

（三）啟發(fā)和反思

在情境中生成數(shù)學(xué)概念：教師要合理創(chuàng)設(shè)情境，把數(shù)學(xué)概念的生成過程分解在一個個情境中，通過情境烘托良好的課堂氛圍，調(diào)動學(xué)生學(xué)習的興趣；通過情境，設(shè)置疑問，激發(fā)學(xué)生學(xué)習的動機；通過情境，引起思維沖突，促進學(xué)生主動思考問題，主動尋求解決問題的方法。學(xué)生學(xué)習的積極性調(diào)動起來了，學(xué)習效果自然就好了。

總說“授之以魚不如授之以漁”，揭示數(shù)學(xué)概念的生成過程就是“漁”，要揭示數(shù)學(xué)概念的生成過程有很多方法，教師要相信，多一點精心預(yù)設(shè)，就能夠多一份驚喜發(fā)現(xiàn)。

參考文獻：

1.中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標準[S].北京：人民教育出版社，2003.

2.濟南市教研室.高中新課程教學(xué)啟示錄數(shù)學(xué)案例分析[M].濟南：山東教育出版社，2005.

（作者單位：河南省洛陽市第十二中學(xué)）