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    周期函數(shù)的周期與定義域

    2017-12-27 12:34:00董恩榮曾濤
    考試周刊 2017年37期
    關鍵詞:周期上界下界

    董恩榮 曾濤

    摘要:在函數(shù)的幾大特性中,周期性應用比較廣泛,但在周期函數(shù)的應用中,往往忽略周期函數(shù)的定義域,總是不自覺的擴大化使用“周期函數(shù)定義域無界和周期T有無窮多個”這一結論,而忽視了周期函數(shù)定義域的“上界和下界”與周期T之間的關系,本文就周期函數(shù)的周期和它的定義域之間的關系進行探討,希望對讀者有所幫助和借鑒。

    關鍵詞:周期;周期函數(shù);上界;下界

    我們僅就大部分教材中常見的周期函數(shù)的定義進行討論。

    定義對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零的常數(shù)常數(shù)T,使得當x取定義域內的每一個值時,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的一個周期。

    對于一個周期函數(shù)f(x),如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小的正數(shù)就叫做這個周期函數(shù)f(x)的最小正周期。

    我們知道,周期函數(shù)的周期有無窮多個;周期函數(shù)的定義域無界。但有很多學生往往都是這樣理解的:如果周期函數(shù)f(x)有一個周期

    T,則kT,k∈Z,k≠0也是f(x)的周期。他們往往忽略了函數(shù)的定義域D。

    例如,正弦函數(shù)y=sinx,x∈R對于任何一個常數(shù)2kπ,k∈Z,k≠0

    都是這個函數(shù)的周期。最小正周期為2π。

    對于任意一個周期函數(shù),是否也有類似的結論?如此我們有必要進行討論。

    首先,我們有結論:

    設周期函數(shù)f(x)的定義域D,T是f(x)的一個周期,則kT(k∈N+)是f(x)的周期。

    證明:設f(x)的周期T,定義域為D,由周期函數(shù)的定義:

    對x∈D,有f(x)=f(x+T),于是x+T∈D;

    f(x)=f(x+T)=f((x+T)+T)=f(x+2T),2T是f(x)的一個周期,且x+2T∈D;

    f(x)=f(x+2T)=f((x+2T)+T)=f(x+3T),3T是f(x)的一個周期,且x+3T∈D;

    ……

    對x∈D,有f(x)=f(x+kT),k∈N+,即kT也是f(x)的周期。

    對于周期函數(shù)的定義域和它的周期,我們有如下的結論。

    1. 周期函數(shù)f(x)的定義域D有下界(m∈R,對x∈D,都有x≥m,則x≥m),則f(x)的周期T>0,且kT,k∈N+也是f(x)的周期,此時,定義域無上界(M∈R,對x∈D,都有x≤M)。

    下面,我們分別進行討論:(以下“[]”表示取整函數(shù))

    (1)周期函數(shù)f(x)的定義域D有下界,則f(x)周期T>0,我們采用反證法:

    設周期函數(shù)f(x)的定義域為D,D有下界m,若函數(shù)f(x)存在周期T<0,令x0∈D,有

    x0≥m,且f(x0+kT)=f(x0),k∈N+;

    令k=m-x0T+1,則k>m-x0T,于是kT

    所以,x0+kT

    所以,T一定大于0。

    (2)周期函數(shù)f(x)的定義域D有下界,則D無上界

    由(1)設f(x)的周期T>0,則kT,k∈N+是f(x)的周期,

    對x∈D,令k=|x|T+1,則x0=x+kT≥x+|x|≥0,且f(x0)=f(x+kT)=f(x),即存在x0∈D,且x0≥0。

    設x0∈D,且x0≥0,對M>0,令k=MT,由MT+1>MT

    得x1=x0+kT>x0+MT×T=x0+M≥M且f(x1)=f(x0+kT)=f(x0),于是x1∈D。

    即對M>0,都x1∈D,且x1>M,所以,f(x)的定義域D無上界。

    事實上,這樣的周期函數(shù)是存在的,例如f(x)=sin(x)2是周期函數(shù),它的定義域是[0,+∞)周期是2kπ,k∈N+。

    再如,數(shù)列{an}:1,-1,1,-1,1,-1,……,(-1)n+1,……

    f(n)=(-1)n+1,n∈N+,2k(k∈N+)都是函數(shù)f(n)的周期。

    同理:

    2. 周期函數(shù)f(x)的定義域D有上界,則f(x)的周期T<0,且kT,k∈N+也是f(x)的周期,此時定義域無下界。

    3. 周期函數(shù)f(x)的定義域D既無上界也無下界,T是f(x)的一個周期,則kT,k∈Z,k≠0也是f(x)的周期。

    設周期函數(shù)f(x)的定義域D既無上界也無下界,T是f(x)的一個周期,由周期函數(shù)的定義,對x∈D,f(x+T)=f(x)與f(x-T)=f(x)是等價的。

    即在定義域D上下均無界的條件下,f(x)的值每隔T函數(shù)值相等與f(x)每隔-T函數(shù)值相等是等價的(區(qū)別僅僅是自變量在定義域內的取值由左到右還是由右到左而已)。于是:

    若周期函數(shù)f(x)的定義域D既無上界也無下界,T是f(x)的一個周期,則-T也是f(x)的一個周期。

    反之,如果周期函數(shù)f(x)存在周期T>0,則f(x)的定義域D無上界;如果周期函數(shù)f(x)存在周期T<0,則f(x)的定義域D無下界;如果周期函數(shù)f(x)存在周期T1>0,也存在周期T2<0,則f(x)的定義域D無上、下界。

    綜上所述,周期函數(shù)的周期可能只是正數(shù),可能只是負數(shù),也可能是正負數(shù)互存,它們受函數(shù)的定義域制約,所以在討論周期函數(shù)時,定義域是一個不可忽略的條件。

    參考文獻:

    [1]姚紹義.大學數(shù)學上冊.1版.北京.人民教育出版社.2002:18.

    [2]王天輝,王玉清.高等數(shù)學.1版.天津.南開大學出版社.2011:7-8.

    [3]劉玉璉,傅沛仁.數(shù)學分析講義.2版.北京.人民教育出版社編.1981:20-22.

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